黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题

黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题

鹤岗一中高二学年下学期4月月考 数学试卷（理）‎ ‎1．已知位学生的某次数学测试成绩茎叶图如图，则下列说法正确的是( )‎ A．众数为7 B．极差为19 C．中位数为64.5 D．平均数为64‎ ‎2．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了次试验，得到组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程为．若已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎3．观察如图所示的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量x，y之间有关系的是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎5．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：（ ）‎ A． B． C． D． ‎6．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎7．已知函数在处的导数为，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎8．一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎9．书架上有三本数学书和两本语文书，某同学一共取了两次书，每次取一本，取后不放回，若第一次从书架取出一本语文书记为事件A，第二次从书架取出一本数学书记为事件B，那么第一次取得语文书的条件下第二次取得数学书的概率的值是（　 　）‎ A． B． C． D． ‎10．设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎11．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）‎ A． B． C． D． ‎12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 的解集为（ ）‎ A． B． C． D． 二、填空题：‎ ‎13．已知函数.若曲线在点处的切线方程为，则 ___________.‎ ‎14．某地区高二女生的体重X(单位:kg)服从正态分布N(50,25),若该地区共有高二女生2 000人,则体重在区间(50,65)内的女生人数约为 ‎ ‎15．如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：‎ ‎① -2是函数的极值点；‎ ‎② 函数在处取最小值；‎ ‎③ 函数在处切线的斜率小于零；‎ ‎④ 函数在区间上单调递增.‎ 则正确命题的序号是__________．‎ ‎16．设函数，则__________．‎ 三、解答题：‎ ‎17．已知函数在处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间与极值.‎ ‎18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 违章驾驶员人数 ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ 参考公式： ,参考数据： .‎ ‎19．鹤岗市教育局为调查在校中学生每天放学后的自学时间情况，在本市的所有中学生中随机抽取了120名学生进行调查，现将日均自学时间小于1小时的学生称为“自学不足”者根据调查结果统计后，得到如下列联表，已知在调查对象中随机抽取1人，为“自学不足”的概率为 ．‎ 非自学不足 自学不足 合计 配有智能手机 ‎30‎ 没有智能手机 ‎10‎ 合计 请完成上面的列联表；‎ 根据列联表的数据，能否有的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关？‎ 附表及公式: ，其中 ‎20．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：‎ 方案一：交纳延保金7000元，在延保两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；‎ 方案二：交纳延保金10000元，在延保两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.‎ 某医院准备一次性购买2台这种机器.为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更加合算.‎ ‎21．如图，在四面体中，分别是线段的中点，，，，直线与平面所成的角等于．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）讨论的单调区间；‎ ‎（2）若，求证：.‎ 答案 ‎1.C ‎2.C ‎3.D ‎4.A ‎5.C ‎6.C ‎7.B ‎8.A ‎9.C ‎10.B ‎11.B ‎12.B ‎13．3 14．997 15．①④ 16．2017‎ ‎17．（1），‎ 根据题设得方程组，解得 .‎ ‎（2）由(1)可知，‎ 令，（舍去），‎ 当时，，当时，，‎ 的单增区间为，的单减区间为，，无极大值.‎ ‎18．（1）由表中数据知， ，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴所求回归直线方程为.‎ ‎（2）令，则人.‎ ‎19．（I）由题意可得，自学不足的认识为，非自学不足的人数80人，结合已知可得下表，‎ 根据上表可得 有的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关．‎ ‎20．解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，‎ ，，，‎ ，，‎ ，，‎ ‎∴的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：‎ ‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ ‎13000‎ ‎15000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （元）.‎ 选择延保二，所需费用元的分布列为：‎ ‎ ‎10000‎ ‎11000‎ ‎12000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （元）.‎ ‎∵，∴该医院选择延保方案二较合算.‎ ‎21．（Ⅰ）在中，是斜边的中点，‎ 所以.‎ 因为是的中点，‎ 所以，且，‎ 所以，‎ 所以. ‎ 又因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，‎ 因为，‎ 所以.‎ 又因为，，‎ 所以平面，‎ 所以平面．‎ 因此是直线与平面所成的角．‎ 故，‎ 所以.‎ 过点作于，则平面，‎ 且．‎ 过点作于，连接，‎ 则为二面角的平面角．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因此二面角的余弦值为．‎ 方法二：‎ 如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 因为 (同方法一,过程略) ‎ 则，,．‎ 所以,,，‎ 设平面的法向量，‎ 则，即，取,得． ‎ 设平面的法向量 则，即，取,得．‎ 所以，‎ 由图形得二面角为锐角， ‎ 因此二面角的余弦值为．‎ ‎22（1）依题意定义域为，，‎ 令，则，‎ ‎①当时，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增；‎ ‎②当时，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减；‎ 综上，当时，在单调递减，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）①当时，设，‎ ；‎ ‎②当时，设 则，当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以；‎ 设，则，‎ 所以单调递增，所以，所以即单调递增，‎ 故；‎ 因为，所以 即，所以，‎ 即.‎ 解法二：‎ ‎（1）同解法一；‎ ‎（2）设，则，‎ 设，则，‎ 设，则，所以在上单调递增，‎ 所以，，所以在上单调递增，‎ 又因为，，即，‎ 所以恰有一个零点；‎ 即，即，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以，‎ 设，因为，‎ 所以，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以，即.‎ 解法三：‎ ‎（1）同解法一；‎ ‎（2）同解法二得，‎ 设，因为，所以 设则 所以当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以，即，‎ 所以在上单调递增，则，‎ 所以，即.‎