2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-1　直线方程与圆的方程（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-1　直线方程与圆的方程（讲解部分）

专题九　平面解析几何 9.1 　直线方程与圆的方程 高考理数 考点一    直线方程 考点清单 考向基础 1.直线的倾斜角与斜率 名称 定义 求法 范围 倾斜角 当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴 正方向 与直线 l 向上方向 之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 ° 解法一:构造三角形求角 α ; 解法二:利用斜率求角 α ,即由 k =tan α ( α ≠ 90 ° )求 α 0 ° ≤ α <180 ° 斜率 一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率 解法一:由 k =tan α ( α ≠ 90 ° )求 k ; 解法二:由 k =   求 k (其中( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 )分别是直线上两个不同点的坐标) k ∈R 　　任何直线都有倾斜角,当倾斜角为90 ° 时,斜率不存在. 2.直线方程的几种形式 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y = kx + b k 是 斜率 与 x 轴不垂直的直线 b 是 纵截距 点斜式 y - y 0 = k ( x - x 0 ) ( x 0 , y 0 )是直线上的已知点, k 是斜率 两点式   =   ( x 1 ≠ x 2 , y 1 ≠ y 2 ) ( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 )是直线上的 两个已知点 与两坐标轴均不垂直 的直线 截距式   +   =1 a 是直线的横截距, b 是直线的纵截距 不过原点且与 两坐标轴均不 垂直的直线 一般式 Ax + By + C =0 ( A 2 + B 2 ≠ 0) 当 B =0时,-   是直线的横截距 所有直线 当 A ≠ 0, B ≠ 0时,-   ,-   , -   分别为直线的斜 率、横截距、纵截距 注意 　(1)当直线与 x 轴不垂直时,可设直线的方程为 y = kx + b ;当直线与 y 轴不 垂直时,可设直线的方程为 x = my + n ,注意 m , n 的意义. (2)特殊直线的方程,过 P 1 ( x 1 , y 1 )且垂直于 x 轴的直线方程为 x = x 1 ;过 P 1 ( x 1 , y 1 )且 垂直于 y 轴的直线方程为 y = y 1 . 3.两条直线的位置关系 　　特别地,当直线 l 1 与 l 2 垂直时, k 1 · k 2 =-1, A 1 A 2 + B 1 B 2 =0. 斜截式 一般式 l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 =0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 =0 相交 k 1 ≠ k 2 A 1 B 2 - A 2 B 1 ≠ 0 平行 k 1 = k 2 且 b 1 ≠ b 2   或   重合 k 1 = k 2 且 b 1 = b 2 A 1 B 2 - A 2 B 1 = A 1 C 2 - A 2 C 1 = B 1 C 2 - B 2 C 1 =0 4.距离公式 【知识拓展】 (1)用点到直线的距离公式时,直线方程必须化为一般式,还要注意公式中 的分子含有绝对值符号,分母含有根号. (2)求两平行线间的距离时,可转化为其中一条直线上的点到另一条直线的 距离,也可以代入公式求解,但此时必须先将两直线方程转化为一般形式且 x 、 y 的系数分别对应相等. 点 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 )之间的距离 | P 1 P 2 |=   点 P 0 ( x 0 , y 0 )到直线 l : Ax + By + C =0的距离 d =   两条平行直线 Ax + By + C 1 =0与 Ax + By + C 2 =0间的距 离 d =   (3)点到几种特殊直线的距离,可直接求出: ① 点 P ( x 0 , y 0 )到 x 轴的距离 d =| y 0 |; ② 点 P ( x 0 , y 0 )到 y 轴的距离 d =| x 0 |; ③ 点 P ( x 0 , y 0 )到与 x 轴平行的直线 y = a 的距离 d =| y 0 - a |; ④ 点 P ( x 0 , y 0 )到与 y 轴平行的直线 x = b 的距离 d =| x 0 - b |. 考向突破 考向一    求直线的倾斜角与斜率 例1     (2018河北衡水期末,6)过不重合的 A ( m 2 +2, m 2 -3), B (3- m - m 2 ,2 m )两点的 直线 l 的倾斜角为45 ° ,则 m 的值为   (　　) A.-1　　　　    B.-2 C.-1或2　　　　    D.1或-2 解析 　过 A ( m 2 +2, m 2 -3), B (3- m - m 2 ,2 m )两点的直线 l 的斜率 k =   . ∵直线 l 的倾斜角为45 ° ,∴ k =   =1, 解得 m =-1或 m =-2. 当 m =-1时, A 、 B 重合,故舍去,∴ m =-2.故选B. 答案     B 考向二    求直线的方程 例2     (2019河南林州一中联考,18)已知△ ABC 的三边所在直线方程分别为 AB :4 x -3 y +10=0, BC : y =2, CA :3 x -4 y -5=0.求: (1) AC 边上的高所在直线的方程; (2)∠ BAC 的平分线所在直线的方程. 解析 　(1)∵ k AC =   ,∴ AC 边上的高所在直线的斜率 k =-   . 由   得   ∴ B (-1,2). ∴ AC 边上的高所在直线的方程为 y -2=-   ( x +1),即4 x +3 y -2=0. (2)设 P ( x , y )是∠ BAC 平分线上任意一点,则有   =   , 即7 x -7 y +5=0或 x + y +15=0, 又∠ BAC 的平分线所在直线的斜率范围为   , 故7 x -7 y +5=0为所求. 考向三    两直线的平行与垂直 例3 　已知直线 l 1 : ax +2 y +6=0和 l 2 : x +( a -1) y + a 2 -1=0. (1)试判断 l 1 与 l 2 是否平行; (2)当 l 1 ⊥ l 2 时,求 a 的值. 解析 　(1)解法一:当 a =1时,直线 l 1 的方程为 x +2 y +6=0,直线 l 2 的方程为 x =0, l 1 不平行于 l 2 ; 当 a =0时,直线 l 1 的方程为 y =-3,直线 l 2 的方程为 x - y -1=0, l 1 不平行于 l 2 ; 当 a ≠ 1,且 a ≠ 0时,两条直线的方程可化为 l 1 : y =-   x -3, l 2 : y =   x -( a +1),由 l 1 ∥ l 2 ⇔   解得 a =-1. 综上可知,当 a =-1时, l 1 ∥ l 2 ,否则 l 1 与 l 2 不平行. 解法二:由 A 1 B 2 - A 2 B 1 =0,得 a ( a -1)-1 × 2=0; 由 A 1 C 2 - A 2 C 1 ≠ 0,得 a ( a 2 -1)-1 × 6 ≠ 0, 因此 l 1 ∥ l 2 ⇔   ⇔   ⇒ a =-1. 故当 a =-1时, l 1 ∥ l 2 ,否则 l 1 与 l 2 不平行. (2)由 A 1 A 2 + B 1 B 2 =0,得 a +2( a -1)=0,故 a =   . 考点二    圆的方程 考向基础 圆的方程 【温馨提示】 (1)方程( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 中,若没有给出 r >0,则圆的半径为| r |,实数 r 可以取负值. (2)方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0中, 若 D 2 + E 2 -4 F =0,方程表示点   ;若 D 2 + E 2 - 名称 方程 圆心 半径 标准方程 ( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0) ( a , b ) r 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0 ( D 2 + E 2 -4 F >0)   -   ,-         4 F <0,方程不表示任何图形. (3)圆的一般方程的形式特点: ① x 2 和 y 2 的系数相等且大于0; ② 没有含 xy 的二次项; ③ A = C ≠ 0且 B =0是二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0表示圆的必要 不充分条件. (4)已知 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),则以 PQ 为直径的圆的方程为( x - x 1 )( x - x 2 )+( y - y 1 )( y - y 2 ) =0. 考向突破 考向    求圆的方程 例     (2019贵州师大附中2月月考,14)已知圆 C 的圆心在直线 x + y =0上,圆 C 与 直线 x - y =0相切,且在直线 x - y -3=0上截得的弦长为   ,则圆 C 的方程为 　     　　　　　     . 解析 　解法一:∵所求圆的圆心在直线 x + y =0上, ∴设所求圆的圆心为( a ,- a ). 又∵所求圆与直线 x - y =0相切,∴半径 r =   =   | a |. 又所求圆在直线 x - y -3=0上截得的弦长为   ,圆心( a ,- a )到直线 x - y -3=0的距 离 d =   , ∴ d 2 +   = r 2 ,即   +   =2 a 2 , 解得 a =1,∴圆 C 的方程为( x -1) 2 +( y +1) 2 =2. 解法二:设所求圆的方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0), 则圆心( a , b )到直线 x - y -3=0的距离 d =   , ∴ r 2 =   +   ,即2 r 2 =( a - b -3) 2 +3.① 由于所求圆与直线 x - y =0相切,∴   = r , ∴( a - b ) 2 =2 r 2 .② 又∵圆心在直线 x + y =0上,∴ a + b =0.③ 联立①②③,解得   故圆 C 的方程为( x -1) 2 +( y +1) 2 =2. 解法三:设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0, 则圆心为   ,半径 r =     , ∵圆心在直线 x + y =0上,∴-   -   =0,即 D + E =0,① 又∵圆 C 与直线 x - y =0相切, ∴   =     ,即( D - E ) 2 =2( D 2 + E 2 -4 F ),∴ D 2 + E 2 +2 D · E -8 F =0.② 又知圆心   到直线 x - y -3=0的距离 d =   ,由已知得 d 2 +   = r 2 , ∴( D - E +6) 2 +12=2( D 2 + E 2 -4 F ),③ 联立①②③,解得   故所求圆的方程为 x 2 + y 2 -2 x +2 y =0, 即( x -1) 2 +( y +1) 2 =2. 答案 　( x -1) 2 +( y +1) 2 =2 方法1      对称问题的处理方法 常见对称问题的处理方法: (1)中心对称 ①若点 M ( x 1 , y 1 )与 N ( x , y )关于 P ( a , b )对称,则由中点坐标公式得   ②若直线关于点对称,则在已知直线上取一点,求出对称点,再利用两直线 平行,斜率相等,由点斜式得到所求直线方程. (2)轴对称 ①点关于直线的对称 若两点 P 1 ( x 1 , y 1 )与 P 2 ( x 2 , y 2 )关于直线 l : Ax + By + C =0对称,则线段 P 1 P 2 的中点在 对称轴 l 上,而且过点 P 1 , P 2 的直线垂直于对称轴 l ,由方程组 方法技巧   可得到点 P 1 关于 l 对称的点 P 2 的坐标( x 2 , y 2 )(其中 A ≠ 0, x 1 ≠ x 2 ). ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已知 直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行. 例1 　已知直线 l :2 x -3 y +1=0,点 A (-1,-2),求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A '的坐标; (2)直线 m :3 x -2 y -6=0关于直线 l 的对称直线 m '的方程; (3)直线 l 关于点 A (-1,-2)对称的直线 l '的方程. 解题导引 　(1)设点 A '( x , y ),利用垂直平分列关于 x , y 的方程组,解方程组得点 A '的坐标. (2)在直线 m 上取一点 M (2,0),求出点 M 关于直线 l 的对称点 M '的坐标,再求出 直线 m 与 l 的交点 N 的坐标,从而由两点式求出直线 m '的方程. (3)利用相关点法求出直线 l '的方程. 解析 　(1)设 A '( x , y ),由已知得   解得   ∴ A '   . (2)在直线 m 上取一点,如 M (2,0), 则 M (2,0)关于直线 l 的对称点必在 m '上. 设 M 的对称点为 M '( a , b ),则   解得   则 M '   . 易知 m 与 l 不平行,设 m 与 l 的交点为 N , 则由   得 N (4,3). 又∵ m '经过点 N (4,3), ∴由两点式得直线 m '的方程为9 x -46 y +102=0. (3)设 P ( x , y )为 l '上任意一点, 则 P ( x , y )关于点 A (-1,-2)的对称点为 P '(-2- x ,-4- y ), ∵ P '在直线 l 上,∴2(-2- x )-3(-4- y )+1=0, 化简得2 x -3 y -9=0,∴直线 l '的方程为2 x -3 y -9=0. 例2     (2018豫北六校联考,15)已知点 P 在直线 l :3 x - y -1=0上, A (4,1), B (0,4),则 || PA |-| PB ||最大时点 P 的坐标为 　　　     . 解题导引   解析 　设点 B (0,4)关于直线 l 的对称点为 B '( x 0 , y 0 ), 则有   解得   即 B '(3,3), ∴直线 AB '的方程为2 x + y -9=0, 易知当点 P 与 B '、 A 共线时,|| PA |-| PB ||最大. 由   得   ∴ P (2,5), 即|| PA |-| PB ||取最大值时点 P 的坐标为(2,5). 答案 　(2,5) 方法2      解与圆有关的最值问题的方法 涉及与圆有关的最值问题,一般要借助图形性质,利用数形结合和函数思想 求解,一般地: (1)最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题; (2)圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到圆外的点(直 线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值; (3) u =   型的,转化为直线斜率的最值问题求解; (4) t = ax + by 型的,转化为动直线截距的最值问题求解; (5) m =( x - a ) 2 +( y - b ) 2 型的,转化为两点间的距离平方的最值问题求解. 例3 　已知实数 x 、 y 满足方程 x 2 + y 2 -4 x +1=0. (1)求   的最大值和最小值; (2)求 y - x 的最大值和最小值; (3)求 x 2 + y 2 的最大值和最小值. 解题导引   解析 　(1)原方程化为( x -2) 2 + y 2 =3,表示以点(2,0)为圆心,   为半径的圆. 设   = k ,则 y = kx ,当直线 y = kx 与圆相切时,斜率 k 取最值,此时有   =   ,解 得 k = ±   ,故   的最大值为   ,最小值为-   . (2)设 y - x = b ,则 y = x + b ,当直线 y = x + b 与圆相切时,纵截距 b 取得最值,此时   =   ,解得 b =-2 ±   .所以 y - x 的最大值为-2+   ,最小值为-2-   . (3) x 2 + y 2 表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在过原点与 圆心的直线和圆的两个交点处取得最值. 又圆心到原点的距离为2,所以 x 2 + y 2 的最大值是(2+   ) 2 =7+4   ,最小值是(2 -   ) 2 =7-4   .