数学卷·2018届宁夏育才中学孔德学区高二上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届宁夏育才中学孔德学区高二上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2016-2017学年宁夏育才中学孔德学区高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（　　）‎ A．无数多条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎3．对于两个命题：①∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，②∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，下列判断正确的是（　　）‎ A．①假②真 B．①真②假 C．①②都假 D．①②都真 ‎4．已知与椭圆+y2=1共焦点且过点Q（2，1）的双曲线方程是 （　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1‎ ‎5．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎6．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎8．在下列结论中，正确的结论是（　　）‎ ‎①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；‎ ‎②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；‎ ‎③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；‎ ‎④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎9．已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）‎ A．（，﹣1） B．（，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎10．已知F1，F2是椭圆上的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．椭圆=1的焦点F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|：|PF2|的值为（　　）‎ A．7：1 B．5：1 C．9：2 D．8：3‎ ‎12．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．若命题P：“∀x＞0，ax﹣2﹣2x2＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．抛物线x=ay2（a＞0）的焦点坐标是　　．‎ ‎15．若双曲线经过点，且其渐近线方程为y=±x，则此双曲线的标准方程　　．‎ ‎16．方程表示的曲线为C，则给出的下面四个命题：‎ ‎（1）曲线C不能是圆 ‎（2）若1＜k＜4，则曲线C为椭圆 ‎（3）若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4‎ ‎（4）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 其中正确的命题是　　（填序号）‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共56分）‎ ‎17．设命题P：“∀x∈R，x2﹣2x＞a”，命题Q：“∃x∈R，x2+2ax+2=0”；如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．‎ ‎18．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．‎ ‎19．已知向量=（0，x），=（1，1），=（x，0），=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量=+， =﹣，且∥，点P（x，y）的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．‎ ‎20．设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．‎ ‎21．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，椭圆C1： =1（a＞b＞‎ ‎0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．‎ ‎（Ⅰ）求C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏育才中学孔德学区高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】由题意可知：l⊥α时，由线面垂直性质定理知，l⊥m且l⊥n．但反之不能成立，由充分必要条件概念可获解．‎ ‎【解答】解：l，m，n均为直线，m，n在平面α内，l⊥α⇒l⊥m且l⊥n（由线面垂直性质定理）．‎ 反之，如果l⊥m且l⊥n推不出l⊥α，也即m∥n时，l也可能平行于α．‎ 由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者成立的充分非必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（　　）‎ A．无数多条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=0；当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2；当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，把y=kx+2，代入抛物线方程，由判别式等于0，求得k的值，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=0，即直线为y轴时，‎ 与抛物线y2=8x只有一个公共点．‎ 当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为 y=2，与抛物线y2=8x只有一个公共点．‎ 当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，那么直线方程为：y﹣2=kx，即：y=kx+2，代入抛物线方程 可得 k2x2+（4k﹣8）x+4=0，由判别式等于0 可得：64﹣64k=0，∴k=1，此时，直线的方程为 y=kx+2．‎ 综上，满足条件的直线共有3条，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．对于两个命题：①∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，②∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，下列判断正确的是（　　）‎ A．①假②真 B．①真②假 C．①②都假 D．①②都真 ‎【考点】特称命题；全称命题；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据三角函数的性质可知：∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，∀x∈R，sin2x+cos2x=1，从而判断出①②两个命题的真假．‎ ‎【解答】解：根据三角函数的性质可知：‎ ‎∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，∀x∈R，sin2x+cos2x=1，‎ 故：①∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，是真命题；‎ ‎②∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，是假命题．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．已知与椭圆+y2=1共焦点且过点Q（2，1）的双曲线方程是 （　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆+y2=1可得焦点为．设要求的双曲线的标准方程为：﹣=1，（a，b＞0）．可得a2+b2=3，﹣‎ ‎=1，联立解出即可得出．‎ ‎【解答】解：由椭圆+y2=1可得焦点为．‎ 设要求的双曲线的标准方程为：﹣=1，（a，b＞0）．‎ 则a2+b2=3，﹣=1，‎ 解得a2=2，b2=1．‎ ‎∴要求的双曲线的标准方程为： =1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎【考点】椭圆的定义．‎ ‎【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ‎∴故0＜k＜1‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的定义；抛物线的定义．‎ ‎【分析】根据题意，a＞b＞0，可以整理椭圆a2x2+b2y2=1与抛物线ax+by2=0变形为标准形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案．‎ ‎【解答】解：由a＞b＞0，‎ 椭圆a2x2+b2y2=1，即+=1，焦点在y轴上；‎ 抛物线ax+by2=0，即y2=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；‎ 分析可得，D符合，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由 得 b=2a，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎8．在下列结论中，正确的结论是（　　）‎ ‎①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；‎ ‎②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；‎ ‎③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；‎ ‎④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】先判断命题的正误，可知①③是正确的，②④是假命题，然后再根据¬p，必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：①③是正确的，②④是假命题，‎ 其中②中，“p∧q”为假是“p∨q”为真的既不充分也不必要条件，‎ ‎④“¬p”为真，“p”为假，‎ ‎∴“¬p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件．‎ ‎　‎ ‎9．已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）‎ A．（，﹣1） B．（，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，连接FM，利用抛物线的定义可得|PM|=|FP|．可知当PQ∥x轴时，点P、Q、M三点共线，因此|PM|+|PQ|取得最小值|QM|，求出即可．‎ ‎【解答】解：设准线为l：x=﹣1，焦点为F（1，0）．‎ 如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，连接FM，则|PM|=|FP|．‎ 故当PQ∥x轴时，|PM|+|PQ|取得最小值|QM|=2﹣（﹣1）=3．‎ 设点P（x，1），代入抛物线方程12=4x，解得，∴．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知F1，F2是椭圆上的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用椭圆的通经与焦距的关系，求解即可．‎ ‎【解答】解：F1，F2是椭圆上的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，‎ 可得，即，‎ ‎，‎ 即：，‎ 解得e=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．椭圆=1的焦点F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|：|PF2|的值为（　　）‎ A．7：1 B．5：1 C．9：2 D．8：3‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆 =1，得．再由两点间距离公式分别求出|PF1|和|PF2|，由此得到|PF1|与|PF2|的比值．‎ ‎【解答】解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），‎ ‎∵线段PF1的中点在y轴上，‎ ‎∴P（3，b），把P（3，b）代入椭圆 =1，得．‎ ‎∴|P F1|=，|P F2|=．‎ ‎．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义、勾股定理，△F1PF2面积是9，可得c2﹣a2=9，结合双曲线的离心率是=，求出a，c，可得b，即可求出a+b的值．‎ ‎【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则|m﹣n|=2a①‎ 由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=4c2，②‎ 则①2﹣②得：﹣2mn=4a2﹣4c2，‎ ‎∴mn=2c2﹣2a2，‎ ‎∵△F1PF2面积是9，‎ ‎∴c2﹣a2=9，‎ ‎∵双曲线的离心率是=，‎ ‎∴c=5，a=4，‎ ‎∴b=3，‎ ‎∴a+b=7．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．若命题P：“∀x＞0，ax﹣2﹣2x2＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，4）　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；全称命题．‎ ‎【分析】令f（x）=2x2﹣ax+2，利用“∀x＞0，ax﹣2﹣2x2＜0”是真命题⇔或△=a2﹣16＜0，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵命题P：“∀x＞0，ax﹣2﹣2x2＜0”是真命题⇔“∀x＞0，2x2﹣ax+2＞0”是真命题．‎ 令f（x）=2x2﹣ax+2，则必有或△=a2﹣16＜0，‎ 解得a＜4．‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，4）．‎ 故答案为（﹣∞，4）．‎ ‎　‎ ‎14．抛物线x=ay2（a＞0）的焦点坐标是　（，0）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】把抛物线的方程化为标准方程，求出p值，确定开口方向，从而写出焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线x=ay2（a＞0）即y2 =x，开口向右，p=，‎ 故焦点坐标为（，0），‎ 故答案为：（，0）．‎ ‎　‎ ‎15．若双曲线经过点，且其渐近线方程为y=±x，则此双曲线的标准方程　　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由已知设双曲线方程为=λ，（λ≠0），利用待定系数法能求出此双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线经过点，且其渐近线方程为y=±x，‎ ‎∴设双曲线方程为=λ，（λ≠0）‎ 把点代入，得：，解得λ=1．‎ ‎∴此双曲线的标准方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．方程表示的曲线为C，则给出的下面四个命题：‎ ‎（1）曲线C不能是圆 ‎（2）若1＜k＜4，则曲线C为椭圆 ‎（3）若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4‎ ‎（4）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 其中正确的命题是　（3）（4）　（填序号）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可．‎ ‎【解答】解：方程表示的曲线为C，‎ 对于（1），曲线C，当4﹣k=k﹣1＞0，解得k=时，方程表示圆，∴（1）不正确；‎ 对于（2），当1＜k＜4且k≠，此时曲线表示椭圆，故（2）不正确；‎ 对于（3），若曲线C表示双曲线，则（4﹣k）（k﹣1）＜0，可得k＜1或k＞4，故（3）正确；‎ 对于（4），若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，此时4﹣k＞k﹣1＞0，∴，故（4）正确；‎ 故答案为：（3）（4）．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共56分）‎ ‎17．设命题P：“∀x∈R，x2﹣2x＞a”，命题Q：“∃x∈R，x2+2ax+2=0”；如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先求出命题为真的等价条件，根据复合命题真假之间的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：P真：a＜﹣1，‎ Q真：a≥1或a≤﹣2，‎ 若“P或Q”为真，“P且Q”为假，‎ 则P，Q一真一假，‎ 当P真Q假时，，即﹣2＜a＜﹣1，‎ 同理，当Q真P假时，a≥1，‎ 综上所述，a的取值范围为﹣2＜a＜﹣1或a≥1．‎ ‎　‎ ‎18．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞﹣1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，‎ ‎∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，‎ ‎∴4+∴p=4‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=8x ‎（Ⅱ）由消去y，得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0‎ ‎∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，‎ 又=2，‎ 解得 k=2，或k=﹣1（舍去）‎ ‎∴k的值为2．‎ ‎　‎ ‎19．已知向量=（0，x），=（1，1），=（x，0），=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量=+， =﹣，且∥，点P（x，y）的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由已知求得的坐标，结合∥列式化简求得曲线C的方程；‎ ‎（2）联立直线方程与椭圆方程，化为（1+2k2）x2+4kx=0，再由弦长公式求得k，则直线方程可求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知=+=（0，x）+（，）=（，x+），‎ ‎=﹣=（x，0）﹣（，）=（x﹣，﹣），‎ ‎∵∥，∴﹣2y2﹣（x+）（x﹣）=0．‎ 即﹣2y2﹣x2+2=0．‎ ‎∴所求曲线C的方程是：；‎ ‎（Ⅱ）联立，消去y得：（1+2k2）x2+4kx=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则△=16k2≥0．‎ ‎．x1x2=0．‎ ‎∴|MN|==‎ ‎，‎ 解得：k=±1．‎ ‎∴所求直线的方程为x﹣y+1=0或x+y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎20．设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意可求得a=2，b2=3，从而可求得椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）利用椭圆的参数方程，利用配方法与正弦函数的性质即可求得|PQ|的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2的距离之和等于4，‎ ‎∴2a=4，a=2．‎ ‎∴+=1，‎ ‎∴b2=3，‎ ‎∴椭圆的方程为： +=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；‎ ‎（Ⅱ）设P（2cosθ， sinθ），‎ ‎∵Q（0，），‎ ‎∴|PQ|2=4cos2θ+‎ ‎=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+‎ ‎=﹣sin2θ﹣sinθ+‎ ‎=﹣+5≤5．‎ ‎∴|PQ|的最大值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；‎ ‎（2）首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y得x的方程，由于直线与双曲线恒有两个不同的交点，则关于x的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出xA+xB，xAxB，进而把条件转化为k的不等式，又求出k的一个取值范围，最后求k的交集即可．‎ ‎【解答】解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0）．‎ 由已知得．‎ 故双曲线C的方程为．‎ ‎（2）将．‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即．①‎ 设A（xA，yA），B（xB，yB），‎ 则，‎ 而=．‎ 于是．②‎ 由①、②得．‎ 故k的取值范围为．‎ ‎　‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，椭圆C1： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．‎ ‎（Ⅰ）求C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．‎ ‎【考点】圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先利用F2是抛物线C2：y2=4x的焦点求出F2的坐标，再利用|MF2|=‎ 以及抛物线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）先利用，以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入，即可求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由C2：y2=4x知F2（1，0）．‎ 设M（x1，y1），M在C2上，因为，‎ 所以，得，．M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，‎ 于是 消去b2并整理得9a4﹣37a2+4=0，解得a=2（不合题意，舍去）．‎ 故椭圆C1的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，‎ 因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，‎ 故l的斜率．设l的方程为．‎ 由 消去y并化简得9x2﹣16mx+8m2﹣4=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），，．‎ 因为，所以x1x2+y1y2=0．‎ x1x2+y1y2‎ ‎=x1x2+6（x1﹣m）（x2﹣m）‎ ‎=7x1x2﹣6m（x1+x2）+6m2‎ ‎==．‎ 所以．此时△=（16m）2﹣4×9（8m2﹣4）＞0，‎ 故所求直线l的方程为，或．‎