【数学】2021届一轮复习人教A版放缩法课时作业

【数学】2021届一轮复习人教A版放缩法课时作业

第5课时 放缩法 A．基础巩固 ‎1．设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为(　　)‎ A．A≥B　 B．A≤B C．A＞B　 D．A＜B ‎【答案】D　【解析】∵x＞0，y＞0，∴B＝＋＞＋＝＝A，∴A＜B．故选D．‎ ‎2．函数y＝sin 2x＋sin2x，(x∈R)的值域是(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】C　【解析】y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋，又x∈R，∴－1≤sin≤1.‎ ‎∴－＋≤y≤＋.‎ ‎3．设a>0，b>0，c>0，且S＝＋＋＋，则下列判断中正确的是(　　)‎ A．0＜S＜1 B．1＜S＜2‎ C．2＜S＜3 D．3＜S＜4‎ ‎【答案】B　【解析】∵a>0，b>0，c>0，‎ ‎∴S＝＋＋＋ ‎＞＋＋＋ ‎＝＝1，即S＞1.‎ 又S＜＋＋＋＝＋＝2，‎ 即S＜2，故1＜S＜2.‎ ‎4．已知正整数a，b满足4a＋b＝30，则使得＋取最小值时，实数对(a，b)是(　　)‎ A．(5,10) B．(6,6) ‎ C．(10,5) D．(7,2)‎ ‎【答案】A　【解析】方法一：代值检验即可．‎ 方法二：∵(4a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当4a＋b＝30且＝，即a＝5，b＝10时，＋取最小值.‎ ‎5．(2017年三明期末)已知a>0，b>0，c>0，设S＝＋＋，则S与1的大小关系是__________．‎ ‎【答案】S＞1　 【解析】S＝＋＋＞＋＋＝＝1.故答案为S＞1.‎ ‎6．若a，b，c均大于零，且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值为______________．‎ ‎【答案】2　【解析】(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥a2＋2ab＋2ca＋4bc＝12，‎ 当且仅当b＝c时，a＋b＋c的最小值2.‎ ‎7．求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．‎ ‎【证明】∵1＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜＋＋＋…＋＝2[1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝2，‎ 又∵1＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ‎＞＋＋＋…＋ ‎＝2[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2－2，‎ 故2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．‎ B．能力提升 ‎8．证明：对任意的n∈N*，不等式＋＋＋…＋＜恒成立．(提示：构造函数f(x)＝，利用最值进行放缩)‎ ‎【证明】设函数f(x)＝，f′(x)＝，‎ 令f′(x)＝0，得x＝.‎ 当x∈(0， )时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(0，]上单调递增；当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在[＋∞)上单调递减；‎ 所以f(x)≤f()＝，故≤.‎ 当n≥2时，有＋＋＋…＋ ‎＝0＋·＋·＋…＋· ‎≤ ‎＜ ‎＝ ‎＝＜.‎ 综上可知对任意的n∈N*，不等式＋＋＋…＋＜成立．‎