2018-2019学年广东省佛山市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年广东省佛山市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．点的直角坐标是，则点的极坐标为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直角坐标和极坐标的互化公式进行求解.‎ ‎【详解】‎ 由可得；，结合点所在的象限，可得，对照选项可得B正确.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直角坐标和极坐标的相互转化，直角坐标化为极坐标时注意角的多样性.‎ ‎2．设点的柱坐标为 ，则点的直角坐标是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据柱坐标中点的特征可得直角坐标．‎ ‎【详解】‎ 设点的直角坐标为，‎ 则x=2co，‎ ‎∴点的直角坐标为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查柱坐标与直角坐标间的转化，考查学生的转化能力，属于容易题．‎ ‎3．极坐标系中，点之间的距离是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得,‎ 由余弦定理得, ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标、余弦定理的应用,属于基础题．‎ ‎4．曲线经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从变换规则入手，代入新方程化简可得.‎ ‎【详解】‎ 把代入得，化简可得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查坐标变换，明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键.‎ ‎5．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是  ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新旧两个坐标的对应关系，求得伸缩变换的公式.‎ ‎【详解】‎ 旧的，新的，故，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.‎ ‎6．在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线和圆的极坐标化为直角坐标，利用勾股定理可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，结合可得圆的直角坐标方程为，圆心为，半径.‎ 直线化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大值为6.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标系下直线和圆的最值问题，一般是化为直角坐标进行求解，属于容易题.‎ ‎7．直线为参数被曲线所截的弦长为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离，再利用关系：即可求出弦长．‎ 详解：直线为参数化为普通方程：直线 ． ∵曲线，展开为 化为普通方程为 ，即 ， ∴圆心 ‎ 圆心C到直线距离 ， ∴直线被圆所截的弦长． 故选：C．‎ 点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l、圆心到直线的距离、半径r三者的关系： 是解题的关键．‎ ‎8．将函数图像上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的倍,再把所得的图像沿轴向右平移个单位,这样所得的曲线与的图像相同,则函数的表达式是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用逆推方法可以求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，把的图像向左平移个单位，即；再把所得图像上各点横坐标缩为原来的，即可以得到函数图像，即 ‎.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数图像的变换，平移变换时，明确平移方向和平移单位是解决平移问题的关键.‎ ‎9．曲线的极坐标方程为, 直线与曲线交于两点，则为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立两个极坐标方程可得两个交点，从而可求.‎ ‎【详解】‎ 联立，可得；联立，可得；‎ 由于A,B都在直线上，所以,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标系下两点间的距离问题，从极点出发的直线上两点间距离，就是极径的和与差.‎ ‎10．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入 得：（其中）=，故知的最大值为．‎ 考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．‎ ‎11．已知双曲线的两顶点为虚轴两端点为，两焦点为若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：有题意可知，且，菱形的边长为，由于以为直径的圆内切于菱形，根据面积相等可得，整理得即，结合双曲线离心率的定义，两边同除以可得，解得，又，所以，故选B.‎ 考点：双曲线的简单几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于中档题.求双曲线的离心率基本的集体思路就是根据题意构造基本量的关系式，本题解答的关键是根据“以为直径的圆内切于菱形”，利用菱形的面积建立方程，从而构造出关于离心率的方程，解答时应当注意双曲线离心率的取值范围进行舍解.‎ ‎12．已知函数若存在，使得，则实数b的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：求出，问题转化为在恒成立，令，，求出b的范围即可.‎ 详解：函数，‎ ‎，‎ 存在，使得，‎ 则若存在，使得，‎ 即存在，使得成立，‎ 令，，‎ 则 ‎ 在单调递增，‎ ‎，‎ 故.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用及函数恒成立问题，是一道中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算 ，则至少有______的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．‎ ‎ ‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.01‎ ‎ 0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎ 6.635‎ ‎ 7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对照表中数据可知，7.069<7.879,可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由于6.635<<7.879，结合表中数据可得，至少有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验，利用卡方检验时，注意所计算的卡方值所在区间.‎ ‎14．观察下列各式：，，，，，则_________ ．‎ ‎【答案】76‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从所给式子归纳呈现的规律，可得结论.‎ ‎【详解】‎ 观察，，，，‎ ‎,不难发现后一项的数值是它前面相邻两项数值的和，‎ 所以故答案为76.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，根据所给项观察出内含的规律是解决此类问题的关键.‎ ‎15．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为 的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，‎ 因为 ，所以渐近线方程为.‎ ‎【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.‎ 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当， ， 时为椭圆，当时为双曲线.‎ ‎2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．‎ ‎16．设抛物线（）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设， 与相交于点，若，且的面积为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：抛物线的普通方程为， ， ，‎ 又，则，由抛物线的定义得，所以，则，‎ 由得，即，‎ 所以， ，‎ 所以，解得．‎ ‎【考点】抛物线定义 ‎【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．‎ ‎2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ 视频 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．如图，在三棱锥中，，，点E、F分别为AC、AD的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中位线可得，从而可证；‎ ‎（2）根据可得线面垂直，从而得到面面垂直.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在中，∵，是，的中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面． ‎ ‎（2）证明：在中，，，‎ ‎∴， ‎ ‎∵在中，，为的中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∵平面，平面，且，‎ ‎∴平面， ‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般通过线线平行来证明；面面垂直一般通过线面垂直来证明.‎ ‎18．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限与所支出的总费用（万元）有如表的数据资料：‎ 使用年限 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 总费用 ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎(1) 在给出的坐标系中作出散点图；‎ ‎（2）求线性回归方程中的、；‎ ‎（3）估计使用年限为年时，车的使用总费用是多少？‎ ‎（最小二乘法求线性回归方程系数公式， .）‎ ‎【答案】（1）见解析； （2） ； （3）估计使用12年时，支出总费用是14.84万元．.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在坐标系中描点可得散点图；（2）代入公式可求；（3）根据方程代入x=12可得费用.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）散点图如图，由图知与间有线性相关关系．‎ ‎ ‎ ‎（2）∵，，，，‎ ‎∴；‎ ‎． ‎ ‎（3）线性回归直线方程是，‎ 当（年）时，（万元）．‎ 即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归直线在生活中的应用，明确所给公式中各个模块的含义，代入公式可求.题目难度不大，侧重于应用性.‎ ‎19．已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程;‎ ‎（2）求函数的单调区间。‎ ‎【答案】（1）（2）单调递减区间是单调递增区间为 ‎【解析】分析：（1）先求导，再求切线斜率和切点坐标，再写出切线方程.(2)利用导数求函数的单调区间.‎ 详解:（1）因为 所以 所以又因为 所以曲线在点处的切线方程为即 ‎（2）因为函数的定义域为 由得;‎ 得 所以函数的单调递减区间是单调递增区间为.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用导数求函数的单调区间一般步骤：求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.‎ ‎20．在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．‎ ‎(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若，设直线与曲线交于两点，求 ‎(3)在（2）条件下，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（为参数） ； （2）； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式求解；‎ ‎(2)利用参数方程中参数的意义，求解;‎ ‎(3)求出三角形的高，即点到直线的距离，从而可求面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的参数方程为：（为参数）． ‎ 曲线的极坐标方程是，即，‎ 由，得， ‎ 的直角坐标方程为：；‎ ‎（2）当时，直线的参数方程为：（为参数），‎ 代入得到：.（和为和的参数），‎ 所以：，．‎ 所以：． ‎ ‎（3）到的距离为：，则．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标和直角坐标的相互转化，参数的意义等.明确参数的含义能简化计算，快速得到结果.‎ ‎21．在直角坐标系中，椭圆的方程为(为参数)；以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求椭圆的极坐标方程，及圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若动点在椭圆上，动点在圆上，求的最大值；‎ ‎（3）若射线分别与椭圆交于点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1） ，； （2）； （3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先消去参数得到普通方程，再化为极坐标方程；‎ ‎（2）利用椭圆参数方程求出椭圆上的点到圆心的最远距离，从而可得；‎ ‎（3）根据射线垂直的特征，求出交点的极坐标，证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆化为普通方程为：；‎ 将，代入得的极坐标方程为 ‎ 又圆的普通方程：，‎ 由，得，，即 ‎ ‎（2）由（1）知圆心为，半径为8，则 利用椭圆参数方程，设： ‎ 得， ‎ 当即时，，则 ‎ ‎（3）椭圆极坐标方程：‎ 因为射线，互相垂直，即， ‎ 设：，，所以，． ‎ ‎ ‎ 为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程和极坐标，参数方程在求解最值时，有着得天独厚的优势，要注意使用.‎ ‎22．如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标 试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为．依题意，得，‎ 且，‎ 解得．‎ 所以，椭圆的方程是．‎ ‎（Ⅱ）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为．‎ 将直线的方程代入，‎ 消去，整理得．‎ 设，，‎ 则，．（1）‎ 因为，且直线的斜率均存在，‎ 所以， 整理得．（2）‎ 因为，，‎ 所以，．（3）‎ 将（3）代入（2），整理得 ‎．（4）‎ 将（1）代入（4），整理得．‎ 解得，或（舍去）．‎ 所以，直线恒过定点．‎ 证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为．‎ 将直线的方程代入，消去，得 解得，或．‎ 设，所以，，‎ 所以．‎ 以替换点坐标中的，可得．‎ 从而，直线的方程是．‎ 依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上．‎ 在上述方程中，令，解得．‎ 所以，直线恒过定点．‎ 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程