2017-2018学年湖南省双峰一中隆回一中高二上学期1月联考数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年湖南省双峰一中隆回一中高二上学期1月联考数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年湖南省双峰一中、邵东一中、邵阳一中、邵阳二中、武冈二中、隆回一中高二（上）1月联考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=x2+2}，则A∩∁UB=（　　）‎ A．（1，2） B．（1，4） C．[2，4） D．（0，2）‎ ‎2．（5分）为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（X3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知x1+x2+x3+x4+x5=150，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.67x+54.9，则y1+y2+y3+y4+y5的值为（　　）‎ A．75 B．155.4 C．375 D．466.2‎ ‎3．（5分）已知直线 l1：mx+（ m+1）y+2=0，l 2：（ m+1）x+（ m+4）y﹣3=0，则“m=﹣2”是“l1⊥l2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（　　）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎7．（5分）一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．4π D．8π ‎8．（5分）若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知点（a，b）是平面区域内的任意一点，则3a﹣b的最小值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0‎ ‎10．（5分）如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）‎ ‎12．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）‎ A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．‎ ‎13．（5分）已知=　 　．‎ ‎14．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是　 　．‎ ‎15．（5分）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AD⊥底面ABC，AB=BC=CA=3，AD=2，则球O的表面积为　 　．‎ ‎16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP=3，点Q是△BCD内（包括边界）的动点，则•的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（10分）已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn•bn+2＜bn+12．‎ ‎18．（12分）已知，‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC的内角A满足f（A）=2，而，求边BC的最小值．‎ ‎19．（12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”．‎ ‎（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并据此判断哪种教学方式的教学效果更 佳；‎ ‎（2）甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率；‎ ‎（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 成绩不优良 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 总计 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 附：‎ 独立性检验临界值表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=AD=2BC=2，CD=．‎ ‎（1）求证：PE∥平面BDM；　‎ ‎（2）求三棱锥P﹣MBD的体积．‎ ‎21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB=﹣，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．‎ ‎（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；‎ ‎（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年湖南省双峰一中、邵东一中、邵阳一中、邵阳二中、武冈二中、隆回一中高二（上）1月联考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=x2+2}，则A∩∁UB=（　　）‎ A．（1，2） B．（1，4） C．[2，4） D．（0，2）‎ ‎【分析】求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【解答】解：A={x|0＜log2x＜2}={x|1＜x＜4}，B={y|y=x2+2}={y|y≥2}，‎ 则∁UB=（﹣∞，2），A∩∁UB=（1，2），‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（X3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知x1+x2+x3+x4+x5=150，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.67x+54.9，则y1+y2+y3+y4+y5的值为（　　）‎ A．75 B．155.4 C．375 D．466.2‎ ‎【分析】将数据中心代入回归方程得出．‎ ‎【解答】解：（x1+x2+x3+x4+x5）=30．‎ 将代入回归方程得=0.67×30+54.9=75．‎ ‎∴y1+y2+y3+y4+y5=5=375．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程经过数据中心的特点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知直线 l1：mx+（ m+1）y+2=0，l 2：（ m+1）x+（ m+4）y﹣3=0，则“m=﹣2”是“l1⊥l2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据直线的垂直关系求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：若“l1⊥l2”，‎ 则m（m+1）+（m+1）（m+4）=0，解得：m=﹣1，或m=﹣2‎ 故“m=﹣2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的垂直关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得总的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，‎ 事件P包含的基本事件为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，‎ 它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，‎ 故所求概率P==，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，数形结合是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【分析】根据题意，由双曲线的方程可以确定其焦点在位置，由直线的方程可得直线与x轴交点的坐标，即可得双曲线焦点的坐标，由双曲线的几何性质可得9+m=25，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，进而由双曲线的渐近线方程计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，则其焦点在x轴上，‎ 直线x+y=5与x轴交点的坐标为（5，0），‎ 则双曲线的焦点坐标为（5，0），‎ 则有9+m=25，‎ 解可得，m=16，‎ 则双曲线的方程为：﹣=1，‎ 其渐近线方程为：y=±x，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出焦点的坐标，确定m的值．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（　　）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=16时，满足条件a＞10，退出循环，输出a的值为16．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有 a=2，b=2‎ 不满足条件a＞10，a=4‎ 不满足条件a＞10，a=16‎ 满足条件a＞10，退出循环，输出a的值为16．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．4π D．8π ‎【分析】几何体为一个球切割掉球体，根据几何体的体积为 球的体积，把数据代入球的体积公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：‎ 几何体为一个球切割掉球体，‎ 故几何体的体积V=•=8π，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积和体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值．‎ ‎【解答】解：△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，所以6a=4b=3c，不妨令a=2，b=3，c=4，‎ 所以由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，所以cosB=，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知点（a，b）是平面区域内的任意一点，则3a﹣b的最小值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 点（a，b）是平面区域内的任意一点，‎ 由z=3a﹣b得b=3a﹣z，‎ 平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，‎ 直线y=3x﹣z的截距最大，‎ 此时z最小．‎ 由，解得A（0，2），‎ 此时z=3×0﹣2=﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意，可先用x表示出点P的坐标，得出=（﹣sinx，cosx+1），再求出射影的表达式，从而得出函数的图象．‎ ‎【解答】解：由图，可得点P（﹣sinx，cosx+1），故=（﹣sinx，cosx+1），‎ 向量在=（1，0）方向的射影y=﹣sinx．‎ 故y关于x的函数y=f（x）的图象是C．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查向量与三角函数及圆的综合，解答的关键是正确得出点P的坐标表达式，正确理解有关向量的概念也很重要．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）‎ ‎【分析】首先将问题转化为在所给定义域上f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，然后分别利用函数的单调性求得最值，最后求解不等式即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：满足题意时应有：f（x）在 的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，‎ 由对勾函数的性质可知函数 在区间 上单调递减，‎ f（x）在 的最小值为f（1）=5，‎ 当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，‎ g（x）在x2∈[2，3]的最小值为g（2）=a+4，‎ 据此可得：5⩾a+4，解得：a⩽1，‎ 实数a的取值范围是（﹣∞，1]，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了恒成立问题，对勾函数的单调性，指数函数的单调性，转化的思想等，属于常考的典型题目．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）‎ A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x ‎【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），‎ ‎∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，‎ ‎∵以MF为直径的圆过点（0，2），‎ ‎∴设A（0，2），可得AF⊥AM，‎ Rt△AOF中，|AF|==，‎ ‎∴sin∠OAF==，‎ ‎∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，‎ ‎∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，‎ ‎∵|MF|=5，|AF|=‎ ‎∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8‎ 因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．‎ 故选：C．‎ 方法二：‎ ‎∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），‎ 设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，‎ 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，‎ 由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，‎ 即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．‎ 故答案C．‎ ‎【点评】‎ 本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．‎ ‎13．（5分）已知=　﹣　．‎ ‎【分析】先利用诱导公式化简cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，求出cosα，然后根据sin2α+cos2α=1，以及α∈（﹣，0），求出sina，进而求得tanα，再利用二倍角的正切，求出结果．‎ ‎【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣‎ ‎∴cosα=∴sinα=±=±‎ ‎∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣‎ ‎∴tanα=﹣‎ tan2α==﹣‎ 故答案为﹣．‎ ‎【点评】本题考查了二倍角正切以及诱导公式，解题过程中要注意α的范围，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是　k≥1　．‎ ‎【分析】求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调性，从而求出满足条件的k的范围即可．‎ ‎【解答】解：令f（x）=sinx﹣kx，x∈[0，π]，‎ f′（x）=cosx﹣k，‎ k≥1时，f′（x）≤0，‎ f（x）在[0，π]递减，‎ f（x）的最大值是f（0）=0，‎ 符合题意，‎ 结合y=sinx和y=kx的图象，如图示：‎ ‎，‎ k＜0时，不合题意，‎ 故答案为：k≥1．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AD⊥底面ABC，AB=BC=CA=3，AD=2，则球O的表面积为　16π　．‎ ‎【分析】根据AB=BC=CA=3，求解外接圆的半径r，根据球半径R2=r2+求解R，可得球O的表面积．‎ ‎【解答】解：底面ABC，AB=BC=CA=3，‎ ‎∴底面ABC外接圆的半径r=．‎ ‎∵AD⊥底面ABC，AD=2，‎ ‎∴球半径R2=r2+=3+1=4，‎ 即R=2．‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=16π．‎ 故答案为：16π．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP=3，点Q是△BCD内（包括边界）的动点，则•的取值范围是　[9，18]　．‎ ‎【分析】设与的夹角为θ，则•==，为向量在方向上的投影．据此即可得出．‎ ‎【解答】解：设与的夹角为θ，则•==，为向量在方向上的投影．‎ 因此：当点Q取点P时，•取得最小值==9．‎ 当点Q取点C时，•取得最大值==2×9=18．‎ 故答案为：[9，18]．‎ ‎【点评】本题考查了向量的投影的定义及其应用，考查了推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（10分）已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn•bn+2＜bn+12．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将点代入到函数解析式中即可；‎ ‎（Ⅱ）比较代数式大小时，可以用作差的方法．‎ ‎【解答】解：解法一：‎ ‎（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1﹣an=1，又a1=1，‎ 所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．‎ 故an=1+（n﹣1）×1=n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1﹣bn=2n．‎ bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1‎ ‎=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1‎ ‎=‎ ‎∵bn•bn+2﹣bn+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2‎ ‎=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2•2n+1+1）‎ ‎=﹣2n＜0‎ ‎∴bn•bn+2＜bn+12‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）∵b2=1‎ bn•bn+2﹣bn+12=（bn+1﹣2n）（bn+1+2n+1）﹣bn+12‎ ‎=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1‎ ‎=2n（bn+1﹣2n+1）‎ ‎=2n（bn+2n﹣2n+1）‎ ‎=2n（bn﹣2n）‎ ‎=…‎ ‎=2n（b1﹣2）‎ ‎=﹣2n＜0‎ ‎∴bn•bn+2＜bn+12‎ ‎【点评】高考考点：本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．‎ 易错提醒：第二问中的比较大小直接做商的话还要说明bn的正负，而往往很多学生不注意．‎ 备考提示：对于递推数列要学生掌握常见求法，至少线性的要懂得处理．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知，‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC的内角A满足f（A）=2，而，求边BC的最小值．‎ ‎【分析】利用和差角及二倍角公式对函数化简可得 ‎（1）令，解不等式可得答案，‎ ‎（2）由f（A）=及0＜A＜π可得，由，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC中 ‎=，从而可求 ‎【解答】解：（1）=（4分）‎ 由得，‎ 故所求单调递增区间为．（7分）‎ ‎（2）由得，（9分）‎ ‎∵，即，∴bc=2，（10分）‎ 又△ABC中，=，‎ ‎∴（14分）‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，辅助角公式的应用，正弦函数的单调区间的求解，向量的数量积与三角函数的综合，余弦定理的应用，及基本不等式，综合知识比较多，解决本题要求考生不但熟练掌握基础知识，还要能灵活的应用知识解决问题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”．‎ ‎（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并据此判断哪种教学方式的教学效果更 佳；‎ ‎（2）甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率；‎ ‎（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎　10　‎ ‎　16　‎ ‎　26　‎ 成绩不优良 ‎　10　‎ ‎　4　‎ ‎　14　‎ 总计 ‎　20　‎ ‎　20　‎ ‎　40　‎ 附：‎ 独立性检验临界值表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【分析】（1）根据茎叶图计算甲、乙两班化学成绩前10名学生的平均分即可；‎ ‎（2）确定基本事件的个数，即可求出这2人来自不同班级的概率；‎ ‎（3）填写列联表，计算K2，对照数表即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为 ‎；‎ 乙班样本化学成绩前十的平均分为；‎ 甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳．‎ ‎（2）样本中成绩6（0分）以下的学生中甲班有4人，记为：a，b，c，d，乙班有2人，记为：1，2．‎ 则从a，b，c，d，1，2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，一共有15个基本事件，‎ 设A表示“这2人来自不同班级”有如下：a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，一共有8个基本事件，‎ 所以．‎ ‎（3）‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 成绩不优良 ‎10‎ ‎4‎ ‎14‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．‎ ‎【点评】本题考查了计算平均数与独立性检验的应用问题，考查概率的计算，解题时应根据列联表求出观测值，对照临界值表得出结论，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=AD=2BC=2，CD=．‎ ‎（1）求证：PE∥平面BDM；　‎ ‎（2）求三棱锥P﹣MBD的体积．‎ ‎【分析】（1）本小题是一个证明线面平行的题，一般借助线面平行的判定定理求解，连接BE，因为BC∥AD，DE=BC，所以四边形BCDE为平行四边形，连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，则根据线面平行的判定定理可知PE∥平面BDM．‎ ‎（2）由于平面PAD⊥底面ABCD，PE⊥AD，由面面垂直的性质定理可知PE⊥底面ABCD，所以PE是三棱锥P﹣DBC的高，且，又因为VP﹣DMB可看成VP﹣DBC和VM﹣DBC差构成，由（1）知MO是三棱锥M﹣DBC的高，由此能求出三棱锥P﹣MBD的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BE，因为BC∥AD，DE=BC，‎ 所以四边形BCDE为平行四边形 连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，‎ 又MO⊂平面BDM，PE⊄平面BDM，‎ 所以PE∥平面BDM．‎ ‎（2）解：VP﹣DMB=VP﹣DBC﹣VM﹣DBC，‎ 由于平面PAD⊥底面ABCD，PE⊥AD，PE⊥底面ABCD，‎ 所以PE是三棱锥P﹣DBC的高，且 由（1）知MO是三棱锥M﹣DBC的高，，，‎ 所以，则．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB=﹣，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用直线与圆相切的性质和点到直线的距离公式、椭圆的标准方程及其性质即可得出；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线的方程与椭圆的方程联立可化为关于x的一元二次方程得到根与系数的关系、再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，‎ ‎∴=，‎ 又a2=b2+c2，，‎ 解得a2=4，b2=3，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由化为（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，‎ ‎△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2﹣m2＞0．‎ ‎∴，．‎ y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，‎ ‎，化为2m2﹣4k2=3，‎ ‎|AB|===，‎ 又，‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可化为关于x的一元二次方程得到根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．‎ ‎（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；‎ ‎（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；‎ ‎（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，‎ ‎∴f′（x）=；‎ ‎∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；‎ 当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；‎ ‎∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；‎ ‎（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），‎ 令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；‎ 设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），‎ ‎∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；‎ 当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，‎ 当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；‎ ‎∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，‎ ‎∴x=1是φ（x）的最大值点，‎ ‎∴φ（x）的最大值为φ（1）=；‎ 又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；‎ 可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；‎ ‎②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；‎ ‎③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；‎ ‎④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；‎ 综上，当m＞时，函数g（x）无零点；‎ 当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；‎ 当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；‎ ‎（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，‎ 等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；‎ 设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），‎ 则h（b）＜h（a）．‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），‎ ‎∴m≥；‎ 对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；‎ ‎∴m的取值范围是[，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．‎ ‎　‎