2017-2018学年贵州省遵义四中高二上学期第一次月考数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年贵州省遵义四中高二上学期第一次月考数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年贵州省遵义四中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案填涂在答题卡内相应序号上）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{0} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）‎ A．y=x3 B．y=cosx C．y=tanx D．y=ln|x|‎ ‎3．（5分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）‎ A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20‎ ‎4．（5分）如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎5．（5分）不论实数m取何值，直线（m﹣1）x﹣y+2m﹣1=0都过定点（　　）‎ A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）‎ ‎6．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D与BC1所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎8．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A．m⊂α，n∥m⇒n∥α B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α C．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β D．m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α⇒α∥β ‎10．（5分）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D．[﹣2，]‎ ‎11．（5分）若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，且PA⊥平面ABC，PA=2，则球O的表面积为（　　）‎ A．48π B．4π C．20π D．32π ‎12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=ex+sinx，则（　　）‎ A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1） C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡内相应横线上）‎ ‎13．（5分）已知关于x的偶函数f（x）=x2﹣ax+b的图象经过点（2，3），则f（x）的零点为　 　．‎ ‎14．（5分）若直线ax+by+c=0的斜率，倾斜角为α，则sinα=　 　．‎ ‎15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是　 　．‎ ‎16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，则2sinA﹣sinC的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，只写答案不给分.）‎ ‎17．（10分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）‎ ‎（1）若，求tanx的值；‎ ‎（2）若f（x）=（）•，求f（x）的单调递增区间．‎ ‎18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面AFC；‎ ‎（2）求证：平面A1B1D⊥平面AFC．‎ ‎19．（12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎20．（12分）如图，三棱锥中A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎（2）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥M﹣ABC的体积．‎ ‎21．（12分）在公差d≠0的等差数列{an}中，a2=6，且a1，a3，a7成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，证明：Tn=b1+b2+b3+…+bn＜．‎ ‎22．（12分）如图，四棱锥C﹣ABED中，AC=4，BC=3，四边形ABED是边长为5的正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．‎ ‎（1）求证：GF∥底面ABC ‎（2）若点P在直线CD上，试确定点P的位置，使得平面PFG∥平面ABC？并证明你的结论；试求此时三角形PGF的面积．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年贵州省遵义四中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案填涂在答题卡内相应序号上）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{0} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，‎ ‎∴A∩B={﹣1，0}，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）‎ A．y=x3 B．y=cosx C．y=tanx D．y=ln|x|‎ ‎【分析】直接利用函数y=x3与y=tanx是奇函数，排除答案A，C；再利用y=cosx在（0，+∞）上有增有减排除答案B，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：对于A，因为y=x3是奇函数，故不成立；‎ 对于B，因为y=cosx在（0，+∞）上有增有减，故不成立；‎ 对于C，y=tanx是奇函数，故不成立．‎ 对于D，设ln|x|=g（x），因为g（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=g（x），，故其为偶函数；‎ 又x＞0时，g（x）=lnx在（0，+∞）上单调递增．满足要求 故选 D ‎【点评】本题是对常见函数单调性和奇偶性的综合考查．考查的都是基本函数，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）‎ A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．‎ ‎【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，‎ 则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，‎ 高三年级抽取的人数是400×=20人，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得B（1，1），‎ 令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B时直线在y轴上的截距最大，z最大为2×1+1=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）不论实数m取何值，直线（m﹣1）x﹣y+2m﹣1=0都过定点（　　）‎ A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）‎ ‎【分析】直线（m﹣1）x﹣y+2m﹣1=0化为：m（x+2）﹣x﹣y﹣1=0，令，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：直线（m﹣1）x﹣y+2m﹣1=0化为：m（x+2）﹣x﹣y﹣1=0，‎ 令，解得x=﹣2，y=1．‎ 因此不论实数m取何值，直线（m﹣1）x﹣y+2m﹣1=0都过定点（﹣2，1）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了直线系的应用、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：‎ K S 是否继续循环 循环前 1 1/‎ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4‎ 故答案选A．‎ ‎【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D与BC1所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【分析】如图所示，连接B1C，可得B1C∥A1D，B1C⊥BC1．即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，连接B1C，‎ 则B1C∥A1D，B1C⊥BC1．‎ ‎∴A1D⊥BC1，‎ ‎∴A1D与BC1所成的角为90°．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了正方体的性质、异面直线所成的角，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，‎ 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），‎ ‎∴要求的概率是 =．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A．m⊂α，n∥m⇒n∥α B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α C．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β D．m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α⇒α∥β ‎【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．‎ ‎【解答】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；‎ 在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；‎ 在C选项中，由平面与平面垂直的判定定理得正确．‎ 在D选项中，两平面有可能相交，故错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，正确理解与运用空间中线线、线面、面面间的位置关系是关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D．[﹣2，]‎ ‎【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），‎ 连接P与线段AB上的点A（1，3）时直线l的斜率最小，为，‎ 连接P与线段AB上的点B（﹣2，﹣1）时直线l的斜率最大，为．‎ ‎∴k的取值范围是．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，且PA⊥平面ABC，PA=2，则球O的表面积为（　　）‎ A．48π B．4π C．20π D．32π ‎【分析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积 ‎【解答】解：△ABC是边长为2的正三角形，可得外接圆的半径2r==4，即r=2．‎ ‎∵PA⊥平面ABC，PA=2，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半，‎ 即d=1，‎ 那么球的半径R==．‎ ‎∴得球O的表面积S=4πR2=20π．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键 ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=ex+sinx，则（　　）‎ A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1） C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）‎ ‎【分析】根据函数的对称性和函数的单调性即可比较大小．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=f（π﹣x），则f（x）关于x=对称 ‎∴f（3）=f（π﹣3），f（2）=f（π﹣2）‎ 当时，y=ex+y=sinx，单调递增，‎ ‎∴此时函数f（x）=ex+sinx是增函数．‎ ‎∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，‎ ‎∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），‎ 即f（3）＜f（1）＜f（2）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查函数对称性和函数单调性的应用，根据条件求出函数f（x）的单调性是解决本题的关键，考查函数性质的综合应用．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡内相应横线上）‎ ‎13．（5分）已知关于x的偶函数f（x）=x2﹣ax+b的图象经过点（2，3），则f（x）的零点为　±1　．‎ ‎【分析】由已知中偶函数f（x）=x2﹣ax+b的图象经过点（2，3），求出函数解析式，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ax+b为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），‎ 即x2+ax+b=x2﹣ax+b，即a=0，‎ ‎∴f（x）=x2+b，‎ 由函数f（x）的图象经过点（2，3），‎ 可得：4+b=3，解得：b=﹣1，‎ 故f（x）=x2﹣1，‎ 令f（x）=x2﹣1=0，‎ 解得：x=±1，‎ 故答案为：±1‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的零点，函数解析式的求法，难度中档．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若直线ax+by+c=0的斜率，倾斜角为α，则sinα=　　．‎ ‎【分析】首先由斜率和倾斜角的关系以及倾斜角的范围求出α，然后根据特殊角的三角函数值得出结果．‎ ‎【解答】解：∵直线ax+by+c=0的斜率k=﹣，斜角为α ‎∴tanα=﹣‎ 又∵0≤α＜π ‎∴α=‎ ‎∴sinα=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出直线的倾斜角是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是　π+2　．‎ ‎【分析】由三视图知原几何体是一个圆锥的一半，结合图中数据求出它的表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图知该几何体是一个圆锥的一半，‎ 圆锥的高为2，底面半径为1，‎ 则几何体的表面积为 S表面积=•πr2+•πrl+•2rh ‎=•π•12+•π•1•+•2•1•2‎ ‎=π+2．‎ 故答案为：π+2．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，则2sinA﹣sinC的取值范围为　　．‎ ‎【分析】A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，又A+B+C=π，可得B=．因此2sinA﹣sinC=2﹣sinC=，由于，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，‎ 又A+B+C=π，∴B=．‎ ‎∴2sinA﹣sinC=2﹣sinC==，‎ ‎∵，‎ ‎∴cosC∈，‎ ‎∴∈．‎ ‎∴2sinA﹣sinC的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列、三角形内角和定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，只写答案不给分.）‎ ‎17．（10分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）‎ ‎（1）若，求tanx的值；‎ ‎（2）若f（x）=（）•，求f（x）的单调递增区间．‎ ‎【分析】（1）根据向量的平行即可得到答案，‎ ‎（2）根据向量的数量积公式和二倍角公式，和正弦函数的图象和性质即可求出 ‎【解答】解：（1）∵=（sinx，1），=（cosx，2），∥，‎ ‎∴2sinx=cosx，‎ ‎∴tanx==，‎ ‎（2）f（x）=（）•=（sinx﹣cosx，﹣1）•（cosx，2）=sinxcosx﹣cos2x﹣2=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，‎ ‎∵﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z 解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z 故f（x）的单调递增区间为得[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面AFC；‎ ‎（2）求证：平面A1B1D⊥平面AFC．‎ ‎【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OF，根据中位线定理可得OF∥A1B，故而A1B∥平面AFC；‎ ‎（2）证明AC⊥平面B1BD得出AC⊥B1D，同理得出CD1⊥B1D，故而B1D⊥平面ACD1，于是面A1B1D⊥平面AFC．‎ ‎【解答】证明：（1）连接BD交AC于O，连接OF，‎ 则O是BD的中点，又F是A1D的中点，‎ ‎∴OF∥A1B，‎ 又OF⊂平面AFC，A1B⊄平面AFC，‎ ‎∴A1B∥平面AFC．‎ ‎（2）连接CD1，AD1，则F为AD1的中点．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴BB1⊥AC，‎ 又BB1∩BD=B，‎ ‎∴AC⊥平面BB1D，‎ ‎∴AC⊥B1D，‎ 同理可证：CD1⊥B1D，‎ 又AC∩CD1=C，‎ ‎∴B1D⊥平面ACD1，即B1D⊥平面AFC．‎ 又B1D⊂平面A1B1D．‎ ‎∴平面A1B1D⊥平面AFC．‎ ‎【点评】本题考查了线面平行与线面垂直、面面垂直的判定，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎【分析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值；设图中虚线所对应的车速为x，由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值．‎ ‎（2）从频率分布直方图求出车速在[60，65）的车辆数、车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，利用列举法能求出车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，‎ 即众数的估计值等于77.5，‎ 设图中虚线所对应的车速为x，‎ 则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，‎ 解得x=77.5，‎ 即中位数的估计值为77.5，‎ 平均数的估计值为：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．‎ ‎（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），‎ 车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）‎ 设车速在[60，65）的车辆设为a，b，‎ 车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，‎ 则所有基本事件有：‎ ‎（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），‎ ‎（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种 其中车速在[65，70）的车辆恰有一辆的事件有：‎ ‎（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8种 ‎∴车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率为．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，三棱锥中A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎（2）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥M﹣ABC的体积．‎ ‎【分析】（1）由已知可得AB⊥CD，又CD⊥BD，结合线面垂直的判定可得CD⊥平面ABD；‎ ‎（2）利用等积法，可得VM﹣ABC=VC﹣ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，‎ ‎∴AB⊥CD，‎ ‎∵CD⊥BD，AB∩BD=B，‎ ‎∴CD⊥平面ABD；‎ ‎（2）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，‎ ‎∴AB⊥BD．‎ ‎∵AB=BD=1，‎ ‎∴S△ABD=，‎ ‎∵M为AD中点，‎ ‎∴S△ABM=S△ABD=，‎ ‎∵CD⊥平面ABD，‎ ‎∴VM﹣ABC=VC﹣ABM=S△ABM•CD=．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）在公差d≠0的等差数列{an}中，a2=6，且a1，a3，a7成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，证明：Tn=b1+b2+b3+…+bn＜．‎ ‎【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求通项；‎ ‎（2）求得bn===﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．‎ ‎【解答】（1）解：在公差d≠0的等差数列{an}中，a2=6，‎ 且a1，a3，a7成等比数列，‎ 可得a1+d=6，a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），‎ 解得a1=4，d=2，‎ 数列{an}的通项公式为an=4+2（n﹣1）=2n+2，n∈N*；‎ ‎（2）证明：bn==‎ ‎==﹣，‎ 则Tn=b1+b2+b3+…+bn ‎=﹣+﹣+…+﹣+﹣‎ ‎=﹣＜．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，四棱锥C﹣ABED中，AC=4，BC=3，四边形ABED是边长为5的正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．‎ ‎（1）求证：GF∥底面ABC ‎（2）若点P在直线CD上，试确定点P的位置，使得平面PFG∥平面ABC？并证明你的结论；试求此时三角形PGF的面积．‎ ‎【分析】（1）取CD的中点H，连接GH，FH，通过证明平面FGH∥平面ABC得出GF∥平面ABC；‎ ‎（2）根据（1）的证明过程可知P为CD的中点，利用中位线定理计算△PGF的面积．‎ ‎【解答】证明：（1）取CD的中点H，连接GH，FH，‎ ‎∵G，F，H分别是线段EC，BD，CD的中点，‎ ‎∴FH∥BC，GH∥DE∥AB，‎ 又FH∩GH=H，BC∩AB=B，‎ ‎∴平面FGH∥平面ABC，‎ 又GF⊂平面FGH，‎ ‎∴GF∥底面ABC．‎ 解：（2）由（1）可知当P为CD的中点时，平面PFG∥平面ABC．‎ ‎∵AC=4，BC=3，AB=5，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ ‎∵FP∥BC，GP∥AB，‎ ‎∴sin∠FPG=sin∠ABC=，‎ 又FP==，GP=DE=AB=，‎ ‎∴S△FGP==．‎ ‎【点评】本题考查了线面平行的判定，三角形的面积计算，属于中档题．‎ ‎　‎