2017-2018学年江苏省清江中学高二12月月考数学试题（解析版）

2017-2018学年江苏省清江中学高二12月月考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年江苏省清江中学高二12月月考数学试题（解析版）‎ 一、填空题 ‎1．命题“”的否定是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由含一个量词的命题的否定可得，所给命题的否定是： 。‎ 答案： 。‎ ‎2．抛物线上一点到焦点的距离是2，则点坐标为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得抛物线的准线方程为。‎ 设点的坐标为，则由抛物线的定义得，解得。‎ 此时，解得。‎ 所以点坐标为。‎ 答案： ‎ ‎3．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= ． ‎ ‎【答案】2 ；‎ ‎【解析】略 ‎4．已知正四棱锥中，底面面积为16，一条侧棱的长为3，则该棱锥的高为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设正四棱锥的底面边长为，高为。‎ 则有，故。‎ 由题意可得，解得。‎ 所以该棱锥的高为1.‎ 答案：1‎ ‎5．若条件： ，条件： ，且是的充分不必要条件，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得。‎ 若是的充分不必要条件，则，‎ 故。‎ 所以实数的取值范围为.‎ 答案： 。‎ ‎6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：双曲线右焦点为，其中一条渐近线为，因为圆与渐近线相切，由点到直线距离公式得半径.‎ 考点：圆的方程.‎ ‎7．已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，其中错误的命题是_______.‎ ‎①若， ，则 ②若， ，则 ‎③若， ，则 ④若， ，则 ‎【答案】④‎ ‎【解析】①中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线平行，故正确。‎ ‎②中，满足条件的直线垂直，故正确。‎ ‎③中，由面面垂直的性质可得，交线与垂直，故正确。‎ ‎④中，直线与可能平行，也可能在内，故不正确。‎ 综上④不正确。‎ 答案：④‎ ‎8．已知椭圆的离心率，则m的值为 ‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：当焦点在x轴时，同理可知当焦点在y轴时，所以m的值为或 考点：椭圆性质 ‎9．已知，函数在上是单调递增函数，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 又函数在单调递增，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立。‎ 又当时， ，‎ ‎∴。‎ 又，‎ ‎∴。‎ 故实数的取值范围是。‎ 答案： ‎ 点睛：对于导函数和函数单调性的关系要分清以下结论：‎ ‎（1）当时，若，则在区间D上单调递增（减）；‎ ‎（2）若函数在区间D上单调递增（减），则在区间D上恒成立。即解题时可将函数单调性的问题转化为的问题，但此时不要忘记等号。‎ ‎10．已知圆锥底面半径为，母线长是底面半径的3倍，底面圆周上有一点，则一个小虫自点出发在侧面上绕一周回到点的最短路程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，作出圆锥的侧面展开图。‎ 由几何知识可得动点P自A出发在侧面上绕一周回到A点的最短路程为弧所对的弦AA′的长。‎ 设展开图扇形的圆心角为，‎ ‎∵圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，‎ ‎∴由弧长公式得到，‎ 解得。‎ ‎∴。‎ 答案： 。‎ 点睛：‎ 研究几何体表面上两点的最短距离问题时，常选择恰当的母线或棱将几何体剪开后展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．这种方法体现了解决立体几何问题时常用的一种基本思想，即把空间问题转化为平面问题处理。‎ ‎11．设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当或时， 单调递增；‎ 当时， 单调递减。‎ ‎∵，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 故实数的取值范围是。‎ 答案： ‎ ‎12．已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴。‎ 由题意得，解得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ 所以函数的单调减区间为。‎ 由题意得 ，‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴实数的取值范围是。‎ 答案： ‎ 点睛：由函数的单调性求参数取值范围的方法 ‎（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间内都不恒等于0）恒成立，通过分离参数转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎（2）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．‎ ‎13．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，‎ 又，解得。‎ ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎∴椭圆右焦点的坐标为，‎ 设线段的中点为，‎ 由三角形重心的性质知，从而，‎ 解得，‎ 所以点Q的坐标为。‎ 设，则，且，‎ 以上两式相减得，‎ ‎∴，‎ 故直线的方程为，即．‎ 答案： ‎ 点睛：弦中点问题的解决方法 ‎（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ‎①设点——设出弦的两端点坐标；‎ ‎　②代入——代入圆锥曲线方程；‎ ‎　③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；‎ ‎　④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解。‎ ‎（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交。‎ ‎14．设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式 的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数在上单调递增。‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ 即，‎ ‎∴,‎ ‎∴，解得。‎ 所以原不等式的解集为。‎ 答案： 。‎ 二、解答题 ‎15．（理）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）直线与曲线相离（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系的判断。（1）把直线、曲线方程化为直角坐标方程后根据圆心到直线的距离和半径的关系判断即可。（2）利用圆的参数方程，根据点到直线的距离公式和三角函数的知识求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，消去得直线的普通方程为： ‎ 由，得.‎ ‎∴，‎ 即 .‎ 化为标准方程得： .‎ ‎∴ 圆心坐标为，半径为1，‎ ‎∵ 圆心到直线的距离，‎ ‎∴ 直线与曲线相离.‎ ‎（2）由为曲线上任意一点，可设，‎ 则，‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎16．已知，，若是充分条件，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意 p: ∴ ∴ ‎ q： ∴： ‎ 又∵是充分而不必要条件 ‎∴ ∴ ‎ 考点：本题考查了不等式的解法及充要条件的判断 点评：简易逻辑是高中数学的基础知识，命题热点有以下两个方面：一是判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力 ‎17．如图，在四棱锥中， ， ， ， .‎ ‎（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；‎ ‎（2）证明：平面平面.‎ ‎【答案】（1）棱的中点，证明见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查直线和平面平行的判断和平面与平面垂直的判断。（1）先猜测点为棱的中点，然后再证明平面即可。（2）先证明， ，从而可得平面，所以可证得平面平面.‎ 试题解析：‎ ‎（1）取棱的中点，点即为所求的一个点。理由如下：‎ 连，因为， ，‎ 所以，且，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面， 平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）证明：由已知得，‎ 因为， ，‎ 所以直线与相交，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以.‎ 因为， ，‎ 所以，且，‎ 连，则四边形是平行四边形.‎ 所以，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎18．（理）如图，在三棱柱中， 是边长为4的正方形，平面平面， ， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查线面垂直的判定和二面角的求法。（1）利用面面垂直的性质证明即可。（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解。‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：因为为正方形，所以.‎ 又平面平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 又，所以.‎ 所以两两垂直。‎ 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则， .‎ 设平面的法向量为，则 即，‎ 令，则得。‎ 同理可得平面的法向量为，‎ 所以.‎ 由图形知二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为。‎ 点睛：‎ 用法向量法求二面角的大小时，两个法向量的夹角与二面角大小不一定相等，这里有两种情形，即法向量的夹角可能与二面角相等，也可能互为补角．解题时，在求得两个法向量的夹角的基础上，再根据所给的图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再得出二面角的大小．‎ ‎19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点． ‎ ‎（Ⅰ）求出椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若直线与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆上，求m的值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意得，， , 解得： ‎ 所以椭圆C的方程为： ‎ ‎（Ⅱ）设点A,B的坐标分别为，，线段AB的中点为M，‎ 由，消去y得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点 M在圆上， ‎ 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以及椭圆性质的综合运用，属于中档题。‎ ‎20．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．‎ ‎①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎②求该容器的建造费用最小时的r.‎ ‎【答案】①y＝4π(c－2)r2＋，0时，建造费用最小时，r＝ .‎ ‎【解析】①设容器的容积为V，‎ 由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，‎ ‎∴l＝.‎ 由于l≥2r，∴≥2r，∴03，‎ ‎∴c－2>0.由y′＝0得r＝ ‎ 若0< <2，即c>时，此时00.‎ ‎∴r＝时，y取得极小值．‎ 若 ≥2，即3时，建造费用最小时，r＝ .‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．‎ ‎【答案】（1）＝1.（2）见解析 ‎【解析】(1)解：由题意知b＝＝.‎ 因为离心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.‎ 所以椭圆C的方程为＝1.‎ ‎(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①‎ 直线QN的方程为y＝x＋2.②‎ ‎(证法1)联立①②解得x＝，y＝，即T.‎ 由＝1可得＝8－4.‎ 因为 ‎＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．‎ ‎(证法2)设T(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝.‎ 因为＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.‎ 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．‎ ‎22．设，函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为，证明：.‎ ‎【答案】（1）当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为 ‎（2）时， 无极值； ， 有极大值，无极小值.（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查导数在研究函数中的应用以及不等式的证明。（1）求导后根据导函数的符号判断求解。（2）由题意得，求导数后根据函数的单调性求极值即可。（3）由题意要证，即证，即证，即证，令， ，故只需证，构造函数根据单调性证明即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：函数的定义域为上，‎ 由题意得。‎ ‎①当时，则恒成立， 上单调递增。‎ ‎②当时，由，得，‎ ‎∴的单调递增区间为。‎ 综上可得，当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为 ‎（2）由题意得，‎ ‎∴‎ 当时，恒有， 在单调递增，故无极值；‎ 当时，令，得 当， ， 单调递增；‎ 当， ， 单调递减.‎ ‎∴当时， 有极大值，且极大值为，无极小值。‎ 综上所述，当时， 无极值；当， 有极大值，无极小值.‎ ‎（3）证明：由题意得 又，‎ ‎∴。‎ 要证，即证，‎ 设，‎ 即证，‎ 即证 设，只需证 即证， ‎ 设， ‎ 则 ‎∴在上单调递增，‎ 因此，‎ ‎∴。‎ ‎∴成立.‎ 点睛：‎ ‎①求函数的单调区间时，常常通过求导，转化为解方程或不等式，解题时常用到分类讨论思想，分类时要根据参数的特点选择合适的标准进行分类。‎ ‎②求函数的极值时要根据函数的单调性去解，注意导函数的零点与函数极值点之间的关系，不要将导函数的零点与极值点混为一谈。‎ ‎③利用单调性证明不等式或比较大小时，常用构造函数的方法进行求解。构造时要根据所证不等式的特点并选择适当的变量构造出函数，再根据函数的单调性证明。‎