2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期第七次半月考（双周考）数学试题 解析版

2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期第七次半月考（双周考）数学试题 解析版

‎2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期第七次半月考（双周考）数学试卷 ‎ ‎ 考试时间：2018年12月27日 ‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2． “”是“方程表示椭圆”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎3．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．运行如图所示程序，则输出的的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 开始 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ 否 侧视图 正视图 是 ‎2‎ 输出 俯视图 ‎2‎ 结束 ‎ （第4题图） （第5题图）‎ ‎5．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积(结果保留π)为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知数列中，，，则的值为（ ）‎ A． 31 B． 30 C． 15 D． 63‎ ‎7．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设实数， 满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间的人数为（ ）‎ A． 10 B． 11 C． 12 D． 13‎ ‎10．某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．设点是曲线上的点，，，则 （ ）‎ A． B．‎ C． D．与10的大小关系不确定 ‎12．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为______．‎ ‎14．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中 ，则的最小值为_______．‎ ‎15．圆，过点的直线与圆相交于两点， ,则直线的方程是 ．‎ ‎16．椭圆内有一点，则经过并且以为中点的弦所在直线方程为 ．‎ 三、解答题（本大题共6个答题，共70分，请写出必要的文字说明或演算推理过程）‎ ‎17．在中，内角所对的边分别为，满足， .‎ ‎（Ⅰ）求边；（Ⅱ）若的面积为，且，求的值.‎ ‎18．已知且，设：指数函数在上为减函数，：不等式的解集为．若为假，为真，求的取值范围． ‎ ‎19．如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且 ‎（1）求三棱锥D－ABC的表面积；‎ ‎（2）求证AC⊥平面DEF；‎ ‎（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．‎ ‎20．已知椭圆的左焦点为为坐标原点 ‎（1）求过点，并且与直线相切的圆的方程；‎ ‎（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.‎ ‎21． “累积净化量（）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（）有如下等级划分：‎ 累积净化量（克）‎ ‎12以上 等级 为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：和，并绘制了如下频率分布直方图：‎ ‎0.14‎ ‎0.15‎ ‎（1）求的值及频率分布直方图中的值；‎ ‎0.12‎ ‎（2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）‎ ‎0.03‎ x 中等级为的空气净化器有多少台？‎ ‎6 ‎ ‎4 ‎ ‎8 ‎ ‎14‎ ‎12 ‎ ‎10 ‎ ‎（3）从累积净化量在的样本中随机抽取2台，求恰好 克 有1台等级为的概率.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.‎ 高二年级第七次双周练数学答案 ‎1．D 详解：因为集合，化简,‎ 所以，故选D.‎ ‎2． B 【解析】设， 表示圆，不一定为椭圆.反之，若方程表示椭圆，则.故为必要不充分条件.‎ ‎3．【答案】D【解析】， ， ，所以.故选D.‎ ‎4.B【解析】程序是计算,记,,两式相加得.故,故选.‎ ‎5.C【解析】球的半径为1，故半球的表面积的公式为，半球下底面表面积为 长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为。‎ ‎6． C 【解析】由题意，得；故选C.‎ ‎7．D 【解析】根据向量运算的几何性质可知,以为邻边的平行四边形对角线相等,所以该四边形为矩形,两个向量相互垂直,且且对角线与的夹角为,与的夹角为,故选.‎ ‎8. B 【解析】设,由图可知，取值范围为，即.‎ ‎9． C 【解析】900人分成45组，每组20人，每组取1人，其编号构成等差数列，‎ 故编号落在区间的人数为，故选C.‎ ‎10. A 【解析】看见黄灯的概率是，则看不见黄灯的概率是，故选A.‎ ‎11． A 【解析】曲线可化为：，∴曲线围成的图形是一正方形，与坐标轴的交点分别为（±5，0），（0，±3），和已知椭圆是内接的关系，根据图形的对称性，当且仅当点P为（0，±3）时，|PF1|+|PF2|最大为10，又因为，故取不到最大值。故选A．‎ ‎12.A 【解析】 ，所以 ，那么 ， ，根据对称性可知 ， ，整理为 ，因为 ，所以 ，计算 ，所以 ，故选A.‎ ‎13． 或 ‎14. 【解析】由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A（-2，-1），可得2m+n=1，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为 ‎15． 【解析】直线与圆相交于两点，且所以点到直线的距离等于1，当直线斜率不存在时，设方程， 满足题意；当直线斜率存在时，设方程，由得 ‎，所以方程为.‎ ‎16．x+2y﹣4=0． 【解析】设所求直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，．两式相减得．‎ 又x1+x2=4，y1+y2=2，∴kAB=．因此所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．故答案为：x+2y﹣4=0．‎ ‎17.（I）；（II）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，‎ 由余弦定理得，‎ 即，因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为， .所以， .‎ 因为，所以，‎ 由余弦定理得，‎ 所以， ，所以.‎ ‎18.【答案】 ‎【解析】先求出p真，q真的条件，然后根据为假，为真分p真q假和p假q真两种情况进行分类讨论，最后再求并集即可．‎ 当正确时，函数在上为减函数 ，‎ ‎∴当为正确时，；‎ 当正确时，‎ ‎∵不等式的解集为，∴当时，恒成立．∴，∴∴当为正确时，．‎ 由题设，若和有且只有一个正确，则 ‎（1）正确不正确，∴∴ ‎（2）正确不正确∴∴ ‎∴综上所述， 的取值范围是 ‎19．【答案】（1）（2）先证EF⊥AC，再证DE⊥AC，即可证AC⊥平面DEF（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．‎ ‎∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．‎ 设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．‎ ‎∴，，．‎ 三棱锥D－ABC的表面积为．‎ ‎（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．‎ ‎∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．‎ ‎∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．‎ ‎∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．‎ ‎∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．‎ ‎∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．‎ ‎∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF． ‎ ‎（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．‎ 连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．‎ ‎∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝‎ ‎20．（1）（2）‎ ‎【解析】（1） 圆过点O、F，M在直线上, ‎ 设则圆半径 由得 解得 所求圆的方程为 ‎（2）设直线AB的方程为 代入整理得 ‎ ‎ ‎ 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根. ‎ 记中点 则 的垂直平分线NG的方程为令得 ‎ 点G横坐标的取值范围为 ‎21.【答案】（1）（2）这批空气净化器等级为的空气净化器共有560台. （3）‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为之间的数据一共有6个，‎ 再由频率分布直方图可知：落在之间的频率为．‎ 因此， ．‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在之间共： 台，‎ 又因为在之间共4台，‎ ‎∴落在之间共28台，‎ 故，这批空气净化器等级为的空气净化器共有560台．‎ ‎（Ⅲ）设“恰好有1台等级为”为事件 依题意，落在之间共有6台．记为： ，属于国标级有4台，我们记为： ，‎ 则从中随机抽取2个，所有可能的结果有15种，它们是： ，‎ 而事件的结果有8种，它们是： ． 因此事件的概率为．‎ ‎22．（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题设知， ， ，又，解得，由此可得求椭圆的方程；（2）①，则有，化简得，对于直线，同理有，于是是方程的两实根，故，即可证明结果；②考虑到时， 是椭圆的下顶点， 趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.‎ 由，得，于是有，直线的斜率为，直线的方程为，令，得，即可证明直线过定点.‎ 试题解析：（1）由题设知， ， ，又，‎ 解得. 故所求椭圆的方程是.‎ ‎（2）①，则有，化简得，‎ 对于直线，同理有，‎ 于是是方程的两实根，故.‎ 考虑到时， 是椭圆的下顶点， 趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.‎ 由，得，于是有 ‎.‎ 直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 令，得，‎ 故直线过定点.‎