2018-2019学年四川省三台中学实验学校高二3月月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年四川省三台中学实验学校高二3月月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省三台中学实验学校高二3月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“” 的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“” 的否定是“”；‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，全称命题与特殊命题的否定关系，属于基础题。‎ ‎2．给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复合命题真假的判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；根据正弦定理及充分必要条件可判断④。‎ ‎【详解】‎ 根据复合命题真假的判断，若“且”为假命题，则或至少有一个为假命题，所以①错误；‎ 根据否命题定义，命题“若，则”的否命题为“若，则”为真命题，所以②正确；‎ 根据含有量词的否定，“”的否定是“‎ ‎”，所以③正确；‎ 根据正弦定理，“”“”且“”“”，所以④正确。‎ 综上，正确的有②③④‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题真假的判断、否命题及含有量词的否定，正弦定理和充分必要条件的应用，属于基础题。‎ ‎3．已知命题，命题,则命题是命题的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】利用指数不等式与对数不等式分别求出命题，的等价条件，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可。‎ ‎【详解】‎ 命题等价于“”，命题等价于“”，‎ 所以命题是命题的必要不充分条件，‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查必要不充分条件的判定，解题的关键是求出命题，的等价条件，属于基础题。‎ ‎4．长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】建立坐标系如图所示．‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ ‎5．若“使得成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为命题“，使得成立”为假命题，所以该命题的否定“，使得恒成立成立”，即对于恒成立，而（当且仅当，即时取等号），即；故选A.‎ ‎6．函数在点处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴切线斜率，‎ 又∵，∴切点为，‎ ‎∴切线方程为，‎ 即．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎7．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使在区间上是增函数，则在上恒成立，分离参数，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题得，要使在区间上是增函数，则在上恒成立，即，则在上恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以，‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题。‎ ‎8．如图在一个的二面角的棱上有两个点，，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则的长为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得，利用数量积的性质即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎，；‎ ‎，；‎ 又与分别所在面的二面角为，‎ ‎，即 ‎；‎ 由于，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的长为2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量在立体几何中的应用，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键，属于中档题。‎ ‎9．函数f(x)＝的图象大致为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可得，‎ 故当x∈(－∞,0)和x∈(0,1)时，，f(x)单调递减；‎ 当x∈(1,＋∞)时，，f(x)单调递增．‎ 又当x<0时，f(x)<0．‎ 结合图象可知选B．‎ 点睛：已知函数的解析式判断函数图象的方法主要是排除法，解题时注意以下几点：‎ ‎（1）求出函数的定义域，然后根据定义域进行排除；‎ ‎（2）判断求出函数的性质，如单调性、奇偶性等，并由此进行排除；‎ ‎（3）根据特殊点、函数的变化趋势进行排除．‎ ‎10．设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由倾斜角的范围，可以得到曲线在点处切线斜率的范围，利用导数的几何意义，即可得到点横坐标的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 设点的横坐标为；‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 利用导数的几何意义得（为点处切线的倾斜角）；‎ 又 ，‎ ‎ ，解得：;‎ 则点横坐标的取值范围为；‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数的几何意义求切线斜率，属于基础题。‎ ‎11．设是定义在R上的奇函数，，当时，有 恒成立，则的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，可得在定义域范围为偶函数，并得到在 上单调递减，在上单调递增，且，，结合函数的大致图像分析即可得到的解集。‎ ‎【详解】‎ 构造函数，则 由于是定义在上的奇函数,则，故在定义域范围为偶函数，图像关于轴对称；‎ ‎，则，；‎ 又时，有恒成立，故在上恒成立，即在 上单调递减；根据偶函数的对称性可得在上单调递增，所以的大致图像如下图：‎ 所以，则或；即的解集为 故答案选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题。‎ ‎12．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意构造函数，结合函数的解析式和导函数的符号可确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定题中所给的不等式是否正确.‎ ‎【详解】‎ 是函数定义在（0，+∞）上的导函数，满足，‎ 可得，‎ 令，则，‎ ‎∴函数在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与导数的应用，正确构造函数，熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据导数的定义和极限之间的关系进行求解。‎ ‎【详解】‎ 根据导数的定义可知：；‎ 由于，故；‎ 则；‎ 故答案为：-1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的定义的应用，利用导数和极限之间的关系是解决本题的关键。‎ ‎14．已知三点满足，则的值________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】表示出向量与，利用向量垂直的关系即可得到的值。‎ ‎【详解】‎ 由题可得：，；‎ 由于，则，即，解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量中向量的坐标表示以及向量垂直的条件，属于基础题。‎ ‎15．已知，，且，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式转化进行求解即可。‎ ‎【详解】‎ 函数的导数 ，则函数在上为增函数；‎ ‎ ‎ 函数是奇函数；‎ 则等价于；即，解得： ‎ 故实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题。‎ ‎16．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是___________．①平面； ②平面；③；④；⑤平面平面．‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】∵OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF＝O，‎ ‎∴OA⊥平面EOF，故①正确，②错误；‎ ‎∵EF⊂平面EOF，‎ ‎∴AO⊥EF，故③正确；‎ 同理可得：OE⊥平面AOF，∴OE⊥AF，故④正确；‎ 又OE⊂平面AOE，∴平面AOE⊥平面AOF，故⑤正确；‎ 故答案为：②．‎ 点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．‎ ‎(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．‎ 三、解答题 ‎17．设命题函数的定义域为；命题不等式,对上恒成立,如果命题“”为真命题,命题“”为假命题,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：由真则且,得到;‎ 若真则,对上恒成立,在 上是增函数，此时,得到；‎ ‎“”为真命题,命题“”为假命题,等价于,一真一假.故．‎ 若真则且,故;‎ 若真则,对上恒成立,在上是增函数，此时,故；‎ ‎“”为真命题,命题“”为假命题,等价于,一真一假.故．‎ ‎【考点】简单逻辑联结词，函数的单调性，不等式恒成立问题的解法.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎(2)讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）3；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，利用斜率求出实数的值即可；‎ ‎（2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 ，所以 ，即切线的斜率，‎ 又切线与直线平行，所以，即 ； ‎ ‎（2）由（1）得 ，的定义域为 ， ‎ 若，则 ，此时函数在上为单调递增函数；‎ 若，则，此时函数在上为单调递增函数；‎ 若，则 当 即 时，，‎ 当即时，，此时函数在上为单调递增函数，‎ 在 上为单调递减函数．‎ 综上所述：当时，函数在上为单调递增函数；‎ 当时，函数在上为单调递增函数，在 上为单调递减函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查学生分类讨论的思想，属于中档题。‎ ‎19．在正四棱柱中，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据题意以所在直线为 轴，以所在直线为 轴，以所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系, 求出平面内的两个相交向量以及，即可证明平面；‎ ‎（2）在（1）的基础上，表示出向量，由线面所成角的公式即可得到直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以所在直线为 轴，以所在直线为 轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则有，，，，，‎ 所以，，，；‎ ‎， ， ‎ ‎ ，‎ 又 ，平面 ‎ ‎ （2）由（1）知，平面的法向量为， ‎ 易知，‎ 设直线与平面所成角为，则.‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题。‎ ‎20．如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面，．‎ ‎(1)求侧棱与平面所成角的正弦值；‎ ‎(2)已知点满足，那么在直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）恰好为点．‎ ‎【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出AA1向量，平面AA1C1C的法向量，然后求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；‎ ‎（2）在（1）的前提下，求出，设出P的坐标，使DP∥平面AB1C，即与法向量共线，再求出P的坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵侧面底面ABC，作A1O⊥AC于点O，‎ ‎∴平面．‎ 又，且各棱长都相等，‎ ‎∴，，． ‎ 故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，． ‎ 设平面的法向量为 则，取，得．‎ 设侧棱AA1与平面AB1C所成角的为θ，‎ 则，‎ ‎∴侧棱与平面所成角的正弦值为． ‎ ‎（2）∵，而，‎ ‎∴，又∵，∴点．‎ 假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为，∴‎ ‎∵DP∥平面，为平面的法向量，∴，得z=,‎ 又由，得，∴． ‎ 又平面，故存在点P，使DP∥平面，其坐标为，‎ 即恰好为点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用空间向量法求解线面平行的条件及求解线面角，考查了运算能力，关键是选择合适的坐标系，属于中档题.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出函数的定义域以及导数，结合定义域，讨论和情况下，导数的正负，即可得到的单调性；‎ ‎（2）求出，则在上是单调增函数等价于在上恒成立，分离参数，即在恒成立，令，‎ 利用导数求出函数在上的最大值，即可得到实数的取值范围 ‎【详解】‎ ‎（1）函数，则函数的定义域为．‎ ‎ ‎ ‎①当时，故函数在上单调递增；‎ ‎②当时，在有故在单调递减；‎ 在有故在上单调递增。‎ 综上所述：当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上为单调递减，在上为单调递减增 ‎ （2）由，得．‎ 若函数 为上的单调增函数，则在上恒成立，‎ 即不等式在上恒成立．也即在上恒成立．‎ 令，则 ．‎ 当时，，‎ 在上为减函数，则 ‎ 所以，即的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性与导数的关系，通过导数求单调性以及最值，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题。‎ ‎22．在三棱柱中，平面，，，‎ ‎，点D在棱上，且，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎（1）当时，求异面直线与的夹角的余弦值；‎ ‎（2）若二面角的平面角为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由建立的空间直角坐标系，表示出和，利用向量的夹角公式即可求出异面直线与的夹角的余弦值；‎ ‎（2）根据题意分别求出平面和平面的法向量，由二面角的平面角为，即可得到的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）易知，，，‎ 因为， ，所以 ．‎ 当时， ，所以，，‎ 所以．‎ 由于异面直线所成角的范围为，故异面直线与的夹角的余弦值为（2）由，可知， ，所以，‎ 由（1）知， 设平面 的法向量为，‎ 则 即 ，令，‎ 解得，，‎ 所以平面 的法向量为；‎ 设平面的法向量为， ‎ 则，即 ‎ 令，解得，，‎ 所以平面的一个法向量为．‎ 因为二面角的平面角为，‎ 所以 ，‎ 即，解得或，由于，‎ 故的值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量在立体几何中的综合应用，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题。‎