2020高中数学 专题强化训练3 新人教A版必修4

2020高中数学 专题强化训练3 新人教A版必修4

专题强化训练(三)‎ ‎ (建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．如图26所示，若向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为 ‎(　　)‎ 图26‎ A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a＋c D．b＋a－c C　[＝－＝＋－＝b＋c－a＝b－a＋c.]‎ ‎2．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(‎2a＋b)⊥(a－mb)，则m＝(　　) ‎ ‎【导学号：84352280】‎ A．－ B． C．2 D．－2‎ B　[因为a＝(1,2)，b＝(－3,0)，‎ 所以‎2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋‎3m,2)，‎ 由‎2a＋b与a－mb垂直，‎ 得－1－‎3m＋8＝0，解得m＝.]‎ ‎3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a·(a－b)＝，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. B　[设a与b的夹角为θ，则 a·(a－b)＝a2－a·b ‎＝|a|2－|a||b|cos θ ‎＝1－cos θ＝，‎ 6‎ 故cos θ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.]‎ ‎4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　)‎ A．2　　　　 B．4 ‎ C．6　　　　 D．12‎ C　[(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2‎ ‎＝|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2‎ ‎＝|a|2－2|a|－96＝－72，‎ 即|a|2－2|a|－24＝0，又|a|＞0，解得|a|＝6.]‎ ‎5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝(　　)‎ ‎ 【导学号：84352281】‎ A．－a＋b B．a－b C．a－b D．－a＋b B　[设c＝xa＋yb则 ‎(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)‎ ‎＝(x＋y，x－y)，‎ ‎∴解得 ‎∴c＝a－b.]‎ 二、填空题 ‎6．如图27，在边长为3的正方形ABCD中，AC与BD交于F，AE＝AD，则·＝________.‎ 图27‎ ‎－3　[建立平面直角坐标系如图所示，‎ 则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，E(0,1)，F，则 ·＝·(－3,3)＝×(－3)＋×3＝－3.]‎ ‎7．已知a＝(1，－2)，b＝(4,2)，设‎2a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝_______. ‎ 6‎ ‎【导学号：84352282】‎ 　[‎2a＝2(1，－2)＝(2，－4)，‎ a－b＝(1，－2)－(4,2)＝(－3，－4)，‎ cos θ＝＝＝.]‎ ‎8．设向量m＝‎2a－3b，n＝‎4a－2b，p＝‎3a＋2b，且a与b不共线，若用m，n表示p，则p＝________.‎ ‎－m＋n　[设p＝xm＋yn，则p＝x(‎2a－3b)＋y(‎4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b＝‎3a＋2b，‎ 又∵a与b不共线，∴解得 故p＝－m＋n.]‎ 三、解答题 ‎9．如图28，在▱ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与.‎ 图28‎ ‎[解]　＝＋＝＋＝＋＝a＋b.‎ ＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.‎ ‎10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点X为直线OP上的一个动点．‎ ‎(1)当·取最小值时，求的坐标．‎ ‎(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值. ‎ ‎【导学号：84352283】‎ ‎[解]　(1)设＝(x，y)，因为点X在直线OP上，‎ 所以向量与共线．又＝(2, 1)，‎ 所以x×1－y×2＝0，即x＝2y，‎ 6‎ 所以＝(2y，y)，‎ 又＝－＝(1－2y,7－y)，‎ ＝－＝(5－2y,1－y)，‎ 于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.‎ 可知当y＝2时，·取最小值－8，此时＝(4,2)．‎ ‎(2)当＝(4,2)即y＝2时，有＝(－3,5)，＝(1，－1)，·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8，‎ 所以cos∠AXB＝＝＝.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．如图29所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若⊥，则||等于(　　)‎ 图29‎ A.　　 B．2 C．3 D．2 B　[建立平面直角坐标系如图所示，设|AD|＝t，则A(0,0)，C(4，t)，D(0，t)，E(2,0)，‎ 则＝(2，－t)，＝(4，t)，‎ 由⊥得·＝8－t2＝0，‎ 解得t＝2，所以＝(2，－2)，||＝＝2.]‎ ‎2．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)‎ A．[0，] B．(1，]‎ C．[1,2] D．[，2]‎ 6‎ D　[∵a＋b＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)‎ ‎＝(1＋cos θ，sin θ)，‎ ‎∴|a＋b|2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ＝2＋2cos θ，‎ 又θ∈，∴cos θ∈[0,1]，‎ ‎∴|a＋b|2∈[2,4]．‎ ‎∴|a＋b|的取值范围是[，2]．]‎ ‎3．已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量，则角A＝________.‎ ‎ 【导学号：84352284】‎ 　[∵p∥q，‎ ‎∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(sin A－cos A)(cos A＋sin A)＝0，‎ ‎∴2－2sin‎2A＝sin‎2A－cos‎2A，‎ ‎∴sin‎2A＝.‎ 又A为锐角，∴sin A＝，∴A＝.]‎ ‎4．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的取值范围是________．‎ ∪(1，)　[由题意，设A(1,1)，B(1，a)，a和b的夹角为θ，所以＝(1,1)，＝(1，a)，‎ ·＝1＋a，||＝，‎ ‎||＝，‎ 所以cos θ＝＝.‎ 又因为θ∈，所以cos θ∈，‎ 所以＜＜1，‎ 解得a的取值范围为∪(1，)．]‎ 6‎ ‎5．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)．‎ ‎(1)求·，在上的投影；‎ ‎(2)证明：A，B，C三点共线，并在＝时，求λ的值；‎ ‎(3)求||的最小值.‎ ‎ 【导学号：84352285】‎ ‎[解]　(1)·＝8，设与的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝，‎ ‎∴在上投影为||cos θ＝4×＝2.‎ ‎(2)＝－＝(－2,2)，‎ ＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)，‎ ‎∴A，B，C三点共线．‎ 当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.‎ ‎(3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)·＋λ2＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，‎ ‎∴当λ＝时，||min＝2.‎ 6‎