【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式课时作业
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lg x(x>0)
B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案C
解析因为x>0,所以x2+≥2·x·=x,
所以lg≥lgx(x>0),故选项A不正确;
当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;
由基本不等式可知选项C正确;
当x=0时,=1,故选项D不正确.
2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案B
解析由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).
3.若a≥0,b≥0且a+b=2,则( )
A.ab≤ B.ab≥
C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3
解析:∵a2+b2≥2ab,
∴(a2+b2)+(a2+b2)≥(a2+b2)+2ab,
即2(a2+b2)≥(a+b)2=4,
∴a2+b2≥2.
答案:C
4.已知m=a+(a>2),n=22-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是( )
A.m>n B.m
2,所以a-2>0,
又因为m=a+=(a-2)++2,
所以m≥2+2=4,
由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=22-b2<4.
所以m>n.
答案:A
5.[2019·东北三省四校联考]已知首项与公比相等的等比数列{an}满足ama=a(m,n∈N*),则+的最小值为( )
A.1 B.
C.2 D.
解析:设该数列的首项及公比为a,则由题可得
am×a2n=a4×2,即am×a2n=am+2n=a4×2,得m+2n=8,所以+=(m+2n)=≥=1,当且仅当=,即m=4,n=2时等号成立,故选A.
答案:A
二、填空题
6.设00,x>0)的最小值为2,则实数a的值为________.
解析:因为a>0,x>0,
所以y=x+≥2=2,
当且仅当x=,
即x=时等号成立,
故2=2,解得a=5.
答案:5
8.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.
解析:设=t(t>0),由xy=2x+y+6≥2+6,即t2≥2t+6,(t-3)(t+)≥0,∴t≥3,则xy≥18,当且仅当2x=y,2x+y+6=xy,即x=3,y=6时等号成立,∴xy的最小值为18.
答案:18
三、解答题
9.若对任意x>0,≤a恒成立,求a的取值范围.
解析:因为x>0,
所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),
所以有=≤=,
即的最大值为,∴a≥.
故a的取值范围是[,+∞).
10.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
证明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
11.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中ab=12.
(1)试用x,y表示S;
(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?
解析:(1)由题可得,xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)=1 832-6x-
y(x>6,y>6,xy=1 800).
(2)解法一 S=1 832-6x-y≤1 832-2=1 832-480=1 352,
当且仅当6x=y,xy=1 800,即x=40,y=45时,S取得最大1 352.
解法二 S=1 832-6x-×=1 832-≤1 832-2=1 832-480=1 352,
当且仅当6x=时,即x=40,y=45时,S取得最大值1 352.