【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式课时作业

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【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式课时作业

‎1.下列不等式一定成立的是(  )‎ ‎                   ‎ A.lg>lg x(x>0)‎ B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ 答案C 解析因为x>0,所以x2+≥2·x·=x,‎ 所以lg≥lgx(x>0),故选项A不正确;‎ 当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;‎ 由基本不等式可知选项C正确;‎ 当x=0时,=1,故选项D不正确.‎ ‎2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案B 解析由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).‎ ‎3.若a≥0,b≥0且a+b=2,则(  )‎ A.ab≤ B.ab≥ C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3‎ 解析:∵a2+b2≥2ab,‎ ‎∴(a2+b2)+(a2+b2)≥(a2+b2)+2ab,‎ 即2(a2+b2)≥(a+b)2=4,‎ ‎∴a2+b2≥2.‎ 答案:C ‎4.已知m=a+(a>2),n=22-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是(  )‎ A.m>n B.m2,所以a-2>0,‎ 又因为m=a+=(a-2)++2,‎ 所以m≥2+2=4,‎ 由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=22-b2<4.‎ 所以m>n.‎ 答案:A ‎5.[2019·东北三省四校联考]已知首项与公比相等的等比数列{an}满足ama=a(m,n∈N*),则+的最小值为(  )‎ A.1 B. C.2 D. 解析:设该数列的首项及公比为a,则由题可得 am×a2n=a4×2,即am×a2n=am+2n=a4×2,得m+2n=8,所以+=(m+2n)=≥=1,当且仅当=,即m=4,n=2时等号成立,故选A.‎ 答案:A 二、填空题 ‎6.设00,x>0)的最小值为2,则实数a的值为________.‎ 解析:因为a>0,x>0,‎ 所以y=x+≥2=2,‎ 当且仅当x=,‎ 即x=时等号成立,‎ 故2=2,解得a=5.‎ 答案:5‎ ‎8.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.‎ 解析:设=t(t>0),由xy=2x+y+6≥2+6,即t2≥2t+6,(t-3)(t+)≥0,∴t≥3,则xy≥18,当且仅当2x=y,2x+y+6=xy,即x=3,y=6时等号成立,∴xy的最小值为18.‎ 答案:18‎ 三、解答题 ‎9.若对任意x>0,≤a恒成立,求a的取值范围.‎ 解析:因为x>0,‎ 所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),‎ 所以有=≤=,‎ 即的最大值为,∴a≥.‎ 故a的取值范围是[,+∞).‎ ‎10.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:‎ ‎(1)ab+bc+ac≤;‎ ‎(2)++≥1.‎ 证明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,‎ 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 由题设得(a+b+c)2=1,‎ 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.‎ ‎(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,‎ 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),‎ 即++≥a+b+c.‎ 所以++≥1.‎ ‎11.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中ab=12.‎ ‎(1)试用x,y表示S;‎ ‎(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?‎ 解析:(1)由题可得,xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)=1 832-6x-‎ y(x>6,y>6,xy=1 800).‎ ‎(2)解法一 S=1 832-6x-y≤1 832-2=1 832-480=1 352,‎ 当且仅当6x=y,xy=1 800,即x=40,y=45时,S取得最大1 352.‎ 解法二 S=1 832-6x-×=1 832-≤1 832-2=1 832-480=1 352,‎ 当且仅当6x=时,即x=40,y=45时,S取得最大值1 352.‎
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