【数学】2018届一轮复习人教A版 一元二次不等式及其解法 学案
专题35一元二次不等式及其解法
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1．“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1
0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式
解集
ab
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a0，
解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，
∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，
即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．
【变式探究】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
【方法规律】含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
【举一反三】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
【解析】 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得：x1＝－，x2＝.
①a＞0时，－＜，解集为；
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，－＞，解集为.
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
高频考点二 一元二次不等式恒成立问题
例2、若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A.(－3，0] B.[－3，0) C.[－3，0] D.(－3，0)
【答案】 D
【变式探究】设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
【解析】 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即
m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以，m的取值范围是.
【举一反三】设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]， f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
【答案】
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
法二 因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是
.
【感悟提升】(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
【变式探究】(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.[－1，4] B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) D.[－2，5]
(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是______.
【答案】 (1)A (2)
高频考点三 一元二次不等式的应用
例3、某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【解析】 (1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2]．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，
化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
【感悟提升】求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
【变式探究】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
【答案】D
【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－10时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，选择D.
1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|12}
【答案】 A
【解析】 由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，
所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．
2．已知函数f(x)＝
则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
【答案】 A
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是( )
A．{a|00，不等式－c0的解集是________________．
【答案】 {x|a0的解集为{x|－1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－1，)
【解析】 ∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<－1.
∴<－1⇔<0⇔(3a－2)(a＋1)<0，
∴－10的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
∴f(x)－m<0，即f(x)
查看更多
