数学卷·2018届江苏省海安中学高三下学期开学考试（2018

数学卷·2018届江苏省海安中学高三下学期开学考试（2018

江苏省海安高级中学2018届高三下学期开学考试 数学试卷 一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎5 5 6‎ ‎3 4‎ ‎0 1‎ ‎（第2题）‎ ‎1.  函数的最小正周期为 ▲ ．‎ ‎2.  某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表 示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 ‎7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ .‎ 开始 结束 输出S Y N n < a ‎（第6题）‎ ‎3.  已知复数（i是虚数单位），，则 ‎ 复数z的摸为 ▲ ． ‎ ‎4.   分别在集合{1，2，3，4}和集合{5，6，7，8}中 各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为 ▲ ．‎ ‎5. 已知曲线的一条切线斜率为，则切点的横坐标 为 ▲ ．‎ ‎6． 如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取 值范围是 ▲ ．‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中， 设点的集合，‎ ‎，且，则实数a的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎8. 若等比数列的各项均为正数，且，则的值为 ▲ ．‎ ‎9.   设，且，则的值为 ▲ ．‎ ‎10.  在平面直角坐标系xOy中，若点(m，n)在圆外，则直线与椭圆 的公共点的个数为 ▲ ．‎ ‎11．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，，，．点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的值为 ▲ ．‎ ‎12．设，则的最大值与最小值之和为 ▲ ．‎ ‎13.  设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知 函数 则函数在区间内零点的个数为 ▲ ．‎ ‎14.  设函数对任意的，都有成立．若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则实数M的最小值为 ▲ ． ‎ 二、解答题．（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求tanB的值．‎ ‎16．如图，一个平面与四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA分别相交于点M，N，P，Q，‎ A Q P C N B M D ‎（第16题）‎ 且截面四边形MNPQ是正方形．‎ ‎（1）求证：AC // 平面MNPQ；‎ ‎（2）求证：，并求异面直线MP与BD所成角的值．‎ ‎17．在某商业区周边有两条公路，在点O处交汇，该商业区为圆心角，半径的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB，与分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在上．‎ ‎（1）设，试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；‎ ‎（2）设，试用表示新建公路AB的长度，并且确定A，B的位置，使得新建公路AB ‎ 的长度最短．‎ ‎18.   在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，椭圆T上的 点到右焦点的距离的最小值为．‎ ‎（1）求椭圆T的方程；‎ ‎（2）设点A，B分别是椭圆T的左右顶点，点Q是x轴上且在椭圆T外的一点，过Q作直线 ‎ 交椭圆T于C，D两点（异于A，B），设直线AC与BD相交于点P，记直线PA，PB，‎ ‎ PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k3是k1，k2的等差中项．‎ ‎[]‎O x y Q B A C D P ‎（第18题）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令 ‎．‎ ‎（1）求 g(x)的表达式；‎ ‎（2）若使成立，求实数m的取值范围； ‎ ‎（3）设，，证明:对，恒有 ‎20．下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij．‎ ‎1 4 7 10 13 …‎ ‎4 8 12 16 20 …‎ ‎7 12 17 22 27 …‎ ‎10 16 22 28 34 …‎ ‎13 20 27 34 41 …‎ ‎… … … …‎ ‎（1）证明：存在常数，对任意正整数i，j，总是合数；‎ ‎（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列．试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；‎ ‎（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r ，使得成等差数列．若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．‎ 数学附加题 ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵 .求的特征值和特征向量.‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（R），曲线，相交于A，B两点，求线段AB的长度.‎ ‎22. 在这9个自然数中，任取3个不同的数．‎ ‎（1）求这3个数中至少有1个数是偶数的概率；‎ ‎（2）求这3个数的和为18的概率；‎ ‎（3）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望．‎ ‎23．设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．‎ ‎（1）用n，x表示数列的通项及前n项和；‎ ‎（2）若，用n，x表示．‎