2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练18 等差数列的运算和性质

2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练18 等差数列的运算和性质

考点18 等差数列的运算和性质 ‎【考点分类】‎ 热点一 等差数列基本量的计算 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设为等差数列的前项和，，则=（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）2‎ ‎2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列中,已知,则_____.‎ ‎3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（　　）‎ A．12 B．‎16 ‎C．20 D．24‎ ‎4．（2012年高考北京文）已知为等差数列,为其前项和.若,,则 ‎________;=________.‎ ‎5.（2012年高考重庆理）在等差数列中,,则的前5项和=（　　）‎ A．7 B．‎15 ‎‎ C．20 D．25 ‎ ‎6． （2012年高考福建理）等差数列中,,则数列的公差为 （　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列满足,,则______________.‎ ‎8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】‎ 等差数列的前n项和为.已知，且成等比数列，求的通项公式.‎ ‎9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】‎ 已知等差数列的公差=1，前项和为.(I)若；[来源:学_科_网]‎ ‎(II)若 ‎10．（2012年高考（山东文））已知等差数列的前5项和为105,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.‎ 解:(I)由已知得: 解得, ‎ 所以通项公式为. ‎ ‎(II)由,得,即. ‎ ‎∵,∴是公比为49的等比数列, ‎ ‎∴.‎ ‎【方法总结】‎ ‎(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ 热点二 等差数列性质的综合应用 ‎11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列中，若，则 ．‎ ‎12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（　　）‎ A．58 B．‎88 ‎C．143 D．176‎ ‎13．（2012年高考江西理）设数列都是等差数列,若,则__________。‎ ‎14．（2012年高考四川文）设函数,是公差不为0的等差数列,,则（　　）‎ A．0 B．‎7 ‎C．14 D．21‎ ‎15.（2012年高考大纲理）已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎16．（2012年高考山东理）在等差数列中,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列 的前项和.‎ ‎17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且，，成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求+a4+a7+…+a3n-2.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．‎ ‎2.将性质与前n项和公式结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．‎ ‎3. 等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎(4)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列．‎ ‎(5)S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．‎ 热点三 等差数列的定义与应用 ‎18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差的等差数列的四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为（　　）[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎19．（2012年高考四川理）设函数,是公差为的等差数列,‎ ‎,则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（　　）‎ A．若d<0,则数列{S n}有最大项 ‎ B．若数列{S n}有最大项,则d<0 ‎ C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0 ‎ D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列 ‎21.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值，‎ ‎2.常用的方法：‎ ‎(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；‎ ‎(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；‎ ‎(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．‎ ‎2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．‎ ‎3．考查等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．.‎ 二．命题方向 ‎1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点．‎ ‎2.归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点．‎ ‎3.题型以选择题、填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.‎ 三．规律总结 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：‎ Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①‎ Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②‎ ‎①＋②得：.‎ ‎ 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．‎ ‎(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….‎ ‎(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．‎ 四种方法 等差数列的判断方法 ‎(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；‎ ‎(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；‎ ‎(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；‎ ‎(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.‎ 注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】在等差数列中，2a4+a7=3，则数列的前9项和等于（ ）‎ ‎（A）9 （B）6 ‎ ‎（C）3 （D）12‎ ‎2. 【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷理科数学】设等差数列前n项和为，若为的两根，则的值是（ ）‎ A． B．‎7 C． D．-7‎ ‎3. 【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】已知为等差数列，其前n项和为，若，，则等于（ ）‎ A．288 B．‎90 C． 156 D． 126‎ ‎4. 【吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题】‎ 在等差数列中，，则此数列的前10项的和＝（ ）‎ ‎（A）10 （B）20 （C）40 （D）80‎ ‎5. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知数列是等差数列，且，则的值为（ ） ‎ ‎ A．　 B．　 C．　 D．‎ ‎6. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】设是等差数列{an}的前n项和，，则的值为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】已知数列，那么“”是“数列为等差数列”的 ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎8. 【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】 为等差数列，为其前项和，已知则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎9. 【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知各项均为正数的等差数列中，，则的最小值为（ ）‎ A.7 B. ‎8 ‎ C. 9 D. 10‎ ‎10. 【广州市2013届高三年级1月调研测试】 已知等差数列的前项和为，‎ 若，则的值为 .‎ 二．能力拔高 ‎11. 【2013年“江南十校”高三学生第二次联考（二模）测试】已知等差数列，公差为d，前n项和为，，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A． B． C． D．d<0‎ ‎【答案】B[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎12. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4 + a25 =5,则一定有（ ）‎ A. a6是常数 B.S7是常数 C.a13是常数 D.S13是常数 ‎13. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知为等差数列的前n项和，，，则=（ ）‎ A．-36 B．‎0 C．36 D．72‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎14. 【江西省宜春市2013届高三四月模拟考试】在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 因，故 ‎15. 【湖南师大附中2013届高三第六次月考】设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎16. 【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】已知等差数列满足，，则前n项和取最大值时，n的值为 A.20 B‎.21 C.22 D.23‎ ‎17. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】若是等差数列，首项公差，，且,则使数列的前n项和成立的最大自然数n是 （ ）‎ ‎ A．4027 B．‎4026 ‎C．4025 D．4024‎ ‎18. 【上海市2013届高考闵行二模卷】公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1=1，an=73，，则n+d的最小值等于 .‎ ‎19. 【北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）】‎ 在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列 为比等 差数列，称为比公差．现给出以下命题：‎ ‎①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；‎ ‎②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；‎ ‎③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列；‎ ‎④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．‎ 其中所有真命题的序号是 . [来源:学科网]‎ ‎20. 【湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测】 （本小题满分12分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.‎ ‎　　（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎　　（Ⅱ）令，记数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值.‎ 三．提升自我 ‎21. 【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，是1为首项、2为公比的等比数列．设， ，则当Tn>2013时，n的最小值是（ ）‎ ‎（A）7 （B）9 　（C）10 （D）11‎ ‎22. 【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】已知等差数列的通项公式为设,则当取最小值时，的取值为（ ）‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎23. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】在数列中，，，若，则等于（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎24. 【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测】‎ 已知数列满足.‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列的前项和.‎ ‎25. 【2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）】（本小题满分10分）已知等差数列{}的前n项和为，且，‎ ‎（1）求数列{}的通项公式。‎ ‎（2）求数列{}的前n项和的最大值。‎ ‎【考点预测】‎ ‎1.已知数列满足，，则（ ）‎ A. 143 B. ‎156 ‎ C. 168 D. 195‎ ‎2. 设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等(都为d)，则a1+d= .‎ ‎.‎ ‎3. 等差数列的前n项和为，公差为d，已知，‎ ‎，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎4. 某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2013时，对应的指头是 (填指头的名称)．‎ ‎ ‎ ‎【答案】小指 ‎【解析】∵小指对的数是5+8n，又∵2013=251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指．‎ ‎5.已知Sn是等差数列{an}(nÎN*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题，假命题的是( )‎ ‎(A)公差d<0 (B)在所有Sn<0中，S13最大 ‎ ‎(C)满足Sn>0的n的个数有11个 (D)a6>a7‎