数学理卷·2019届广东省东莞市翰林实验学校高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届广东省东莞市翰林实验学校高二上学期期中考试（2017-11）

‎2017-2018（上）高二期中试卷 高二理科数学期中考试试题卷 考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟． ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．‎ ‎1．若，则不等式恒成立的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于( )‎ A.135 B‎.100 C.95 D.80‎ ‎4. 若且直线过点，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎4 C. D. ‎ ‎5．原点和点在直线 的两侧，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎6．朱世杰是历史上最未打的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”.其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米‎3升，共发出大米‎40392升，问修筑堤坝多少天”.在这个问题中，前5天应发大米( )‎ A. ‎894升 B. ‎1170升 C. 1275升 D. ‎‎1457升 ‎7． 内角的对边分别为,若且，则的形状是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 ‎8．已知一元二次不等式的解集为,则的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 在中,,的面积,则的外接圆的直径为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11．已知等差数列的等差，且 成等比数列，若， 为数列的前项和，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设表示正整数的个位数，例如．若，则数列的前项的和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分． ‎ ‎13．内角的对边分别为. 已知，则= ． ‎ ‎14．在等差数列中，，则__________．‎ ‎15．已知关于，的不等式组所表示的平面区域的面积为，则实数的值为 ． ‎ ‎16．若关于的不等式的解集恰好为[]，那么=_____．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在锐角中，分别为内角所对和的边分别，且满足 ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若，且，求的面积．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：‎ 资金 单位产品所需资金(百元)‎ 月资金供 空调机 洗衣机 应量(百元)成本 ‎30‎ ‎20‎ ‎300‎ 劳动力(工资)‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎110‎ 单位利润 ‎6‎ ‎8‎ 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？‎ ‎19．（本小题满分12分）设等差数列满足，且是方程的两根。‎ ‎（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量， ．‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）记＝，求．‎ 高二理科数学期中考试参考答案 考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟． ‎ 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B A B B B C D C B C D 二、填空题 ‎13． 14．74 15． 16．4 ‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分10分）‎ 在锐角中，分别为内角所对和的边分别，且满足 ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若，且，求的面积．‎ 解：（1）∵， ∴由正弦定理得 …………1分 又由知 ∴ …………3分 ‎∵为锐角 ∴ …………5分 ‎（2）∵，‎ ‎∴由余弦定理得 ‎ 即……① …………7分 又 ……②‎ ‎∴②2－①整理得 …………9分 ‎ 故 …………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：‎ 资金 单位产品所需资金(百元)‎ 月资金供 空调机 洗衣机 应量(百元)成本 ‎30‎ ‎20‎ ‎300‎ 劳动力(工资)‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎110‎ 单位利润 ‎6‎ ‎8‎ 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？‎ 解：　设空调机、洗衣机的月供应量分别是x，y台，总利润是z，则z＝6x＋8y. ……2分 由题意有x，y均为整数． ……6分 ‎ ……9分 由图知直线y＝－x＋z过M(4,9)时，纵截距最大．‎ 这时z也取最大值zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)． ……11分 故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元． ……12分 ‎ ‎19．（本小题满分12分）设等差数列满足，且是方程的两根。‎ ‎（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和。‎ 解：（1）因为是方程的两根，且它们是等差数列的两项，利用等差中项，有， ………2分 解得， ………3分 所以， ………4分 所以， ………5分 故根据等差数列的通项公式可得： ………6分 ‎（2）设等差数列的前n项和为，所以， ………8分 由(1)可知,令,解得,所以该数列的前11项是非负数项,从12项起为负数项.‎ 当时，. ………10分 当时，. ………11分 综上所述，‎ ‎ ………12分 ‎20．（本小题满分12分）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).‎ 解:原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0(ax－2)(x＋1)≥0. ………1分 ‎(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0x≤－1. ………3分 ‎(2)当a＞0时，‎ 原不等式化为 (x＋1)≥0x≥或x≤－1； ………5分 ‎(3)当a＜0时，原不等式化为 (x＋1)≤0. ………7分 ‎①当＞－1，即a＜－2时，原不等式的解集为－1≤x≤； ………8分 ‎②当＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为x＝－1； ………9分 ‎③当＜－1，即－2＜a＜0时，原不等式的解集为≤x≤－1. ………10分 综上所述：当a＜－2时，原不等式的解集为；‎ 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；‎ 当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；‎ 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；‎ 当a＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪. ………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量， ．‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（1）在中，因为， ，‎ 所以， ， ………2分 从而 ．‎ ‎………4分 由正弦定理，得（）． ………6分 ‎（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处 ，‎ ‎ ………7分 所以由余弦定理得 ，‎ ‎ ………9分 由于，即， ………10分 故当时，甲、乙两游客距离最短． ………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）记＝，求．‎ 解：(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,…………………2分 由条件得方程组,…………………4分 故 …………………5分 ‎（2）法一：‎ ‎…………………7分 又因为 （令）………9分 所以 ……11分 ‎…………………12分 ‎（2）法二：‎ ‎…………………7分 令 ‎ 两式相减得到： ………………9分 ‎ ………………10分 所以， ………………11分 所以， ………………12分 法三：‎ 即 …………………6分 则 …………………7分 两式相减得到：…………………9分 ‎…………10分 ‎…………12分