专题72 利用对称性求解正态分布问题（理）-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题72 利用对称性求解正态分布问题（理）-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

考纲要求:‎ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1、正态分布：‎ ‎ ①密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的 面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“x∈(－∞，＋∞)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.‎ ‎ ②正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度函数为（x∈(－∞，＋∞)，实数μ和σ (σ>0)为参数），称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，用表示. 的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线。正态分布的期望与方差：若，则ξ的期望与方差分别为：.‎ ‎2．正态曲线的特点 ‎(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线对称．‎ ‎(3)曲线在处达到峰值.(4)曲线与x轴之间的面积为1.‎ ‎(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．‎ ‎(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ ‎3、标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即。非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若，则，据此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：。 ‎ ‎4、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(μ－σ0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为(　　)‎ A. 200 B. 400 C. 600 D. 800‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意得P(70≤ξ≤110)＝0.6，P(ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P(ξ≥110)＝0.2，‎ 于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有0．2×1 000＝200(人)．‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 ‎①熟记P(μ－σ

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