2011年数学文（全国）高考试题

2011年数学文（全国）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修II）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。‎ 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一、选择题 ‎1．设集合U=,则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数的反函数为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎3．权向量a,b满足,则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若变量x、y满足约束条件，则的最小值为 ‎ A．17 B．‎14 ‎ C．5 D．3‎ ‎5．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎6．设为等差数列的前n项和，若，公差为，则k=‎ ‎ A．8 B．‎7 ‎C．6 D．5‎ ‎7．设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知二面角，点C为垂足，点，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=‎ ‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 ‎ A．12种 B．24种 C．30种 D．36种 ‎10．设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=‎ ‎ A．- B． C． D．‎ ‎11．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=‎ ‎ A．4 B． C．8 D． ‎ ‎12．已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。‎ ‎2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）‎ ‎13．（1-）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: ．‎ ‎14．已知a∈（），= ‎ ‎15．已知正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 ‎ 。‎ ‎16．已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设等比数列的前n项和为,已知求和 ‎18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知 ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若 ‎19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。‎ ‎ （I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；‎ ‎ （II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。‎ ‎20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形， ‎ ‎．‎ ‎ （I）证明：平面SAB；‎ ‎ （II）求AB与平面SBC所成的角的大小。‎ ‎21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数 ‎ （I）证明：曲线处的切线过点（2，2）；‎ ‎ （II）若处取得极小值，，求a的取值范围。‎ ‎22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ‎（Ⅰ）证明：点P在C上；‎ ‎ （II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。‎ 参考答案 评分说明：‎ ‎ ‎ ‎ 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。‎ ‎ 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎ 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎ 4．只给整数分数，选择题不给中间分。‎ 一、选择题 ‎1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题 ‎13．0 14． 15． 16．6‎ 三、解答题 ‎17．解：设的公比为q，由题设得 ‎ …………3分 解得 …………6分 当 当 …………10分 ‎18．解：‎ ‎ （I）由正弦定理得 …………3分 ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 …………6分 ‎ （II）‎ ‎ …………8分 ‎ 故 ‎ …………12分 ‎19．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；‎ ‎ B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；‎ ‎ C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；‎ ‎ D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；‎ ‎ E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。‎ ‎ （I） …………3分 ‎ …………6分 ‎ （II） …………9分 ‎ …………12分 ‎20．解法一：‎ ‎ （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，‎ ‎ 连结SE，则 ‎ 又SD=1，故，‎ ‎ 所以为直角。 …………3分 ‎ 由，‎ ‎ 得平面SDE，所以。‎ ‎ SD与两条相交直线AB、SE都垂直。‎ ‎ 所以平面SAB。 …………6分 ‎ （II）由平面SDE知，‎ ‎ 平面平面SED。‎ ‎ 作垂足为F，则SF平面ABCD，‎ ‎ ‎ ‎ 作，垂足为G，则FG=DC=1。‎ ‎ 连结SG，则，‎ ‎ 又，‎ ‎ 故平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分 ‎ 作，H为垂足，则平面SBC。‎ ‎ ，即F到平面SBC的距离为 ‎ 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 ‎ 设AB与平面SBC所成的角为α，‎ ‎ 则 …………12分 ‎ 解法二：‎ ‎ 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。‎ 设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。‎ 又设 ‎ （I），，‎ 由得 故x=1。‎ 由 又由 即 …………3分 于是，‎ 故 所以平面SAB。‎ ‎ （II）设平面SBC的法向量，‎ 则 又 故 …………9分 取p=2得。‎ 故AB与平面SBC所成的角为 ‎21．解：（I） …………2分 由得曲线处的切线方程为 由此知曲线处的切线过点（2，2） …………6分 ‎ （II）由 ‎ （i）当没有极小值；‎ ‎ （ii）当得 故由题设知 当时，不等式无解。‎ 当时，解不等式 综合（i）（ii）得a的取值范围是 …………12分 ‎22．解：（I）F（0，1），的方程为，‎ 代入并化简得 ‎ …………2分 设 则 由题意得 所以点P的坐标为 经验证，点P的坐标为满足方程 故点P在椭圆C上。 …………6分 ‎ （II）由和题设知， ‎ PQ的垂直一部分线的方程为 ‎ ①‎ 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为 ‎ ②‎ 由①、②得的交点为。 …………9分 故|NP|=|NA|。‎ 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，‎ 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，‎ 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分