甘肃省金昌市永昌县第四中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题
高三年级理科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）
1. 已知集合M=｛x|-3
0 B. 存在x0∈R,2x0≥0
C. 对任意的x∈R,2x≤0 D. 对任意的x∈R,2x>0
【答案】D
【解析】
命题“存在x0∈R,2x0≤0是特称命题，特称命题的否定是全称命题；特称命题的条件的否定是结论的否定是故选D
3.下列命题中，为真命题的是 ( )
A. 若ac>bc，则a>b B. 若a>b，c>d，则ac>bd
C. 若a>b，则< D. 若ac2>bc2，则a>b
【答案】D
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一判断真假.
【详解】当c<0时，若ac>bc，则aa>b，0>c>d时，acb>0或0>a>b，则，但当a>0>b时，，故C为假命题；
若ac2>bc2，则，则a>b，故D为真命题．
故答案为D.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
4.己知等差数列中，，则（ ）
A. 7 B. 8 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求解.
【详解】，
.
故选A
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题型.
5.若满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. -1 B. -3 C. 0 D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】
作出可行域，根据平移法即可求出的最小值．
【详解】作出可行域，如图所示：
当直线经过点时，的最小值为-2.
故选：D．
【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的解法，属于基础题．
6.设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由得，又，两式相除即可解出．
【详解】解：由得，
又，
∴，∴，或，
又正项等比数列得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
7.函数的最大值是3，则它的最小值是（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 与有关
【答案】C
【解析】
【分析】
设，转化为在上的最大值是3,分的符号进行分类讨论，先求出的值，再求其最小值.
【详解】设，
当时，不满足条件.
当时,当时，有最大值3，
即，则，则当时，有最小值-1，
当时, 当时，有最大值3，
即，则，则当时，有最小值-1，
综上的最小值是-1.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦函数的最值，还可以由函数的最大值是3，得到，函数的最小值为，从而得到函数的最小值，属于基础题.
8.设表示直线，表示平面，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. ，则
C. 若，则 D. ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可.
【详解】对A项，直线可能在内，则A错误；
对B项，，则可以在内找到一直线，使得，由于，则，结合面面垂直判定定理，得出，则B正确；
对C项，直线有可能在内，则C错误；
对D项，直线可能平行，则D错误
故选：B
【点睛】本题主要考查了判断直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.
9.已知向量，，与平行，则实数x的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行的坐标运算列方程求解即可.
【详解】解：由已知，又，
，解得：，
故选：D.
【点睛】本题考查平行的坐标运算，是基础题.
10.已知函数，则（ ）
A. 在上递增 B. 在上递减
C. 在上递增 D. 在上递减
【答案】D
【解析】
【分析】
确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性.
【详解】函数定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=,
∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0
∴在上递减, 在上递增
故选D．
【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.
11.函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出分段函数的解析式，由此确定函数图象.
【详解】由于，根据函数解析式可知，D选项符合.
故选：D
【点睛】本小题主要考查分段函数图象的判断，属于基础题.
12.函数的零点所在的大致区间是
A. （1，2） B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由零点存在定理结合函数单调性得到结论.
【详解】因为函数单增，，，，∴零点所在的大致区间
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求的值，再求的值.
【详解】由题得，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14.若且，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据且，利用“1”的代换，将，转化为，再利用基本不等式求解.
【详解】因为且，
所以.
当且仅当，且，即时，取等号
所以的最小值是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15.已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】
【详解】
连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，
在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．
16.已知函数在[5，20]上具有单调性，实数k的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【详解】函数在上具有单调性，
只需或，即或
∴实数k的取值范围为
三、解答题（本题共6小题，第17小题10分、其余每小题12分，共70分）
17.已知函数
⑴求它的最小正周期和最大值；
⑵求它的递增区间.
【答案】（1）,（2）
【解析】
【分析】
（1）化简函数为，利用周期的公式以及三角函数的值域，即可求解；
⑵由三角函数的图象与性质，可得，即可求解函数的单调递增区间.
【详解】（1）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
又由，所以函数的最大值为.
⑵由，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式、正弦的倍角公式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18.已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)写出函数的解析式；
(2)若方程恰3有个不同的解，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的定义求解析式，即设，则有＞0，利用可求得
，然后写出完整的函数式；
（2）作出函数的图象，确定的极值和单调性，由图象与直线有三个交点可得的范围．
【详解】解：(1)当时，，
是奇函数，
.
(2)当时，，最小值为；
当，，最大值为.
据此可作出函数的图象，如图所示，
根据图象得，若方程恰有个不同的解，
则的取值范围是.
【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．
19.如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别为BC和PC的中点
（1）求证：EF//平面PBD;
（2）如果AB=PD，求EF与平面ABCD所成角正切值
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【解析】
【分析】
（1）先由三角形中位线定理证明出，进而根据线面平行的判定定理证明出平面；（2）先证明出为直线与平面所成的角，进而在中求得的值.
【详解】①E、F分别为BC和PC中点，EF//PB
又面PBD EF//面PBD.
②设，，
又EF//PB 且面 为所求角，
在△PBD中为所求.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面角的求法，属于中档题.求线面角的方法：1、根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.
20.记等差数列的前n项和为,已知．
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）令,求数列的前n项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差的方程组，即可解得，从而写出通项公式； (Ⅱ)由题意
，因为是等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，注意错位相减后利用等比数列前项和公式，化简要准确得．
试题解析：(Ⅰ)设等差数列的公差为d,由,
可得, 即,
解得, ∴,
故所求等差数列的通项公式为
(Ⅱ)依题意,,
∴
,
又,
两式相减得
,
∴
考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前项和；3、等比数列的前项和；4、错位相减法．
21.在中，，，．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合，可以求出
的值，运用正弦定理，可以求出a的值；
（Ⅱ）由，，运用诱导公式，可以求出的值，根据同角的三角函数关系式，可以求出的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出，最后利用二倍角的余弦公式求出的值.
【详解】解：（Ⅰ）在中，由，得．
因为，
由正弦定理，
得，即，
所以．
（Ⅱ）因为，，
所以，．
所以．
故．
【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.
22.已知函数，（），
（1）若曲线与曲线在它们交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值
（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在在区间上的最大值小于，由此可得结论．
试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以;
（2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为，即区间包含极大值点，所以．
考点：导数几何意义，函数的单调性与最值．
