四川省泸县第二中学2020届高三下学期第四次学月考试数学（理）试题

四川省泸县第二中学2020届高三下学期第四次学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第二中学高三第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设是虚数单位,如果复数的实部与虚部是互为相反数,那么实数的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，则 ‎ A．-14 B．-4 C．4 D．14‎ ‎4．在正项等比数列中，若，，则其前3项的和 ‎ A．3 B．6 C．13 D．24‎ ‎5．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是 ‎ A．甲同学三个科目都达到优秀 B．乙同学只有一个科目达到优秀 C．丙同学只有一个科目达到优秀 D．三位同学都达到优秀的科目是数学 ‎6．函数的图象大致为 ‎ A．B．C．‎ D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，令，若，则实数的取值范围是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.已知圆的半径为2，在圆内随机取一点，则过点的所有 弦的长度都大于的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知是双曲线的左、右焦点，设双 曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的周期可以为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，则 ‎ A． B．‎ C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，，，若，则的值为_____．‎ ‎14．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.‎ ‎15．已知倾斜角为的直线过曲线的焦点F，且与C相交于不同的两点A，B（A在第一象限），则________.‎ ‎16．已知平面内一正六边形的边长为，中心为点将该正六边形沿对角线折成二面角，则当二面角的平面角余弦值为时，三棱锥的外接球表面积为______．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎（I）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；‎ ‎（II）在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在内的概率.‎ ‎18．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足 ‎.‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若为的中点，且，求的最大值.‎ ‎19．（12分）．在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.‎ ‎ （I）求证：平面；‎ ‎（II）已知二面角的余弦值为，求直线与 平面所成角的正弦值.‎ ‎20．（12分）已知函数 ‎（I）当时，求的单调区间;‎ ‎（II）当时,求的最小值 ‎21．（12分）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.‎ ‎（I）证明：直线AB过定点：‎ ‎（II）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点.轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求和的直角坐标方程；‎ ‎（II）若与恰有4个公共点，求的取值范围.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知不等式的解集与关于的不等式的解集相等.‎ ‎（I）求实数值；‎ ‎（II）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.‎ ‎ ‎ ‎2020年春四川省泸县第二中学高三第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1-5：CDBCC 6-10:ADCBB 11-12:AB ‎13．1 14．40 15．2 16．‎ ‎17．解：（1）由频率分布直方图得频率为：‎ ‎，‎ 的频率为：，‎ ‎∴中位数为：.‎ ‎（2）在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，‎ 中的学生人数为人，编号为，‎ 中的学生人数为人，编号为，‎ 任意抽取2人的所有基本事件为，，，共15个，恰有一人身高在内包含的基本事件有，，，共8个，‎ ‎∴恰有一人身高在内的概率.‎ ‎18．（1）由正弦定理及得，‎ 由知，‎ 则，化简得，.‎ 又，因此，；‎ ‎（2）如下图，由，‎ 又为的中点，则，‎ 等式两边平方得，‎ 所以，‎ 则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.‎ ‎19．解：（1）证明：因为四边形是等腰梯形，，，所以.又，所以，因此，，‎ 又，且，，平面，所以平面.‎ ‎（2）取的中点，连接，，由于，因此，‎ 又平面，平面，所以.‎ 由于，，平面，所以平面，故，‎ 所以为二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，‎ 因此，又，因为，所以，所以 以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为 所以，即，令，则，，‎ 则平面的法向量，，‎ 设直线与平面所成角为，则 ‎ 20．解：当时，‎ 由，解得，由，解得 故在上为减函数在上为增函数.‎ 当时，在上为增函数 当时，在上为减函数，在上为增函数，‎ 当时，在上为减函数，‎ 综上所述，当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎21．(1)证明：设,,则．又因为，所以.则切线DA的斜率为，‎ 故，整理得.设，同理得.‎ ‎,都满足直线方程.‎ 于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立．所以直线恒过定点.‎ ‎（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，‎ 于是 ‎.‎ 设分别为点到直线的距离，则.‎ 因此，四边形ADBE的面积.‎ 设M为线段AB的中点，则，‎ 由于，而，与向量平行，所以，解得或.‎ 当时，；当时因此，四边形的面积为3或.‎ ‎22．(1)曲线的参数方程为(为参数),则,得,‎ 故的直角坐标方程为;‎ 由,得,‎ 故的直角坐标方程为.‎ ‎(2)因为与恰有4个公共点,则,‎ 当和相切时,此时与恰有2个公共点,‎ 圆的圆心到直线的距离,解得;‎ 当与恰有3个公共点时,此时圆过点,解得;‎ 故当与恰有4个公共点时,的取值范围为.‎ ‎23．（1）由，得或，即或 ‎ ‎∴不等式的解集为 ‎∴不等式的解集为 从而1、3为方程的两根，解得，‎ ‎（2） 的定义域为，‎ 由柯西不等式可得：‎ 当且仅当，时等号成立，，此时