2018-2019学年山西大学附中高二下学期2月模块诊断 数学（理） Word版

2018-2019学年山西大学附中高二下学期2月模块诊断 数学（理） Word版

山西大学附中 ‎2018～2019学年高二第二学期2月（总第一次）‎ 模块诊断 数学（理）试题 时间：120分钟 考试范围：（必修二、选修1-1） ‎ ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．双曲线的虚轴长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．到两定点、的距离之差的绝对值等于的点的轨迹为（　　）‎ A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线 ‎3．已知，则是的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设是两个不同的平面，是两条不同直线，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．若，则 ‎ B．若，则 与所成的角相等 ‎ C．若，则 ‎ D．若，则 ‎6．若命题，则为（　　）‎ A． B．‎ C． D ‎7．已知，是双曲线的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范 是（　　）‎ A．或 B．‎ ‎ C． D．或 ‎9．过双曲线左焦点的弦长为，则（为右焦点）的周长是（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，则的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中，正确命题的个数是（　　）‎ ‎①三棱锥的体积不变； ②平面；‎ ‎③平面⊥平面； ④与所成角的范围是．‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎12．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，过椭圆的右焦点作轴的垂线交直线于点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，其中为坐标原点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知向量，，若，则　 　．‎ ‎14．已知两条直线，则与的距离为　 　．‎ ‎15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是________．‎ ‎16．已知有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）已知圆外有一点，过点作直线．‎ ‎(1)当直线与圆相切时,求直线的方程；‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，四边形是矩形，平面，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点．若直线与的斜率之和为，求实数的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）如图，底面是边长为的正方形，平面，，，与平面所成的角为．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点为，且椭圆过点，直线不过点，且与椭圆交于不同的两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求证：直线与轴总围成一个等腰三角形．‎ 一． 选择题 1. A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.D 9.D 10.C 11. B 12.B 二．填空题 12. ‎__45___； 14.________； 15.__[1﹣，3]______；16.____2____.‎ 三．简答题 ‎17．已知圆外有一点，过点作直线．‎ ‎(1)当直线与圆相切时,求直线的方程；‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长．‎ ‎1．（1）或； （2）.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意. ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，‎ 则，解得，‎ 此时直线的方程为 ‎ 所以直线的方程为或 ‎（2）当直线的倾斜角为时，‎ 直线的方程为，‎ 即 ‎ 圆心到直线的距离为. ‎ 所以直线被圆所截得的弦长 ‎18．已知函数f（x）＝+（a﹣1）x+1，a∈R．‎ ‎（1）当a＝﹣1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）在区间（1，4）上单调递减，在（6，+∞）上单调递增，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为f'（x）＝x2﹣ax+（a﹣1），‎ 所以当a＝﹣1时，f'（x）＝x2+x﹣2，‎ 解f'（x）＞0得x＜﹣2或x＞1；f'（x）＜0得﹣2＜x＜1，‎ 即f（x）在（﹣∞，﹣2）与（1，+∞）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减．………………………（6分）‎ ‎（2）由（1）知f'（x）＝x2﹣ax+（a﹣1）＝（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]，‎ 因为f（x）在区间（1，4）上单调递减，在（6，+∞）上单调递增，‎ 所以当1＜x＜4时，f'（x）＜0；当x＞6时，f'（x）＞0；‎ 所以4≤a﹣1≤6，解得5≤a≤7．…………………………………………………………（12分）‎ ‎19．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；‎ ‎（Ⅱ）若PA＝AB＝2，BD＝，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设AC、BD交于点O，连接OM．‎ 因为四边形ABCD为矩形，所以点O是AC的中点，‎ 因为M为PA的中点，所以，‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，由题意可得，，‎ ‎，则．‎ 设平面PAC的法向量为，则，‎ 令，则，即，‎ 则，‎ 所以直线BM与平面PAC所成角的正弦值为．‎ ‎20．已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足＝3，记动点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），‎ ‎∵，‎ ‎∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∵|AB|＝4，‎ ‎∴m2+n2＝16，‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线C的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由，消去y得，‎ ‎37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，‎ 由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，‎ 可得﹣，‎ 又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），‎ 且直线HM与HN的斜率存在，‎ ‎∴t≠±1，‎ 又，，‎ ‎∴kHM+kHN＝‎ ‎＝‎ ‎＝4﹣＝1，‎ 解得t＝3，‎ 故t的值为3．‎ ‎21．1．如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，DE＝3CF，BE与平面ABCD所成的角为45°．‎ ‎（1）求证：平面ACE⊥平面BDE；‎ ‎（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．‎ ‎∴DE⊥AC．‎ 又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ 又BD∩DE＝D，‎ ‎∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACE，‎ ‎∴平面ACE⊥平面BDE．‎ ‎（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，‎ ‎∵BE与平面ABCD所成的角为45°，即∠EBD＝45°，‎ ‎∴DE＝BD＝AD＝3，CF＝DE＝．‎ ‎∴A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，3），F（0，3，），‎ ‎∴＝（﹣3，0，），＝（0，3，﹣2），‎ ‎ 设平面BEF的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，‎ 令z＝3，则＝（2，4，3）．‎ 又AC⊥平面BDE，∴＝（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．‎ ‎∴cos＜＞＝＝＝．‎ ‎∵二面角F﹣BE﹣D为锐角，‎ ‎∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．‎ ‎22．（16分）已知椭圆C的焦点为（，0），（，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：y＝x+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，‎ 由椭圆的定义可得＝，‎ ‎∴，b2＝a2﹣15＝5，‎ 因此，椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程，消去y并化简得5x2+8mx+4m2﹣20＝0，‎ 由韦达定理可得，，‎ ‎∵直线l与椭圆交于不同的两点A、B，所以，△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝16（25﹣m2）＞0，解得﹣5＜m＜5，‎ 所以，直线MA、MB的斜率都存在且不为零，‎ 设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，‎ 则＝‎ ‎＝＝‎ ‎＝，‎ 故原命题成立．‎