数学（理）卷·2018届福建省师大附中高二上学期期末考试（2017-01）

数学（理）卷·2018届福建省师大附中高二上学期期末考试（2017-01）

福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试 高二(理科班)数学试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 命题： 黄晓滨 审核： 江泽 试卷说明： (1)本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。 (2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求. 1．已知抛物线 的焦点到准线距离为 1，则 （） A. 4 B. 2 C. D. 2．双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为（ ） A． B．2 C． D．1 3．参数方程 ，( 为参数)表示的曲线是（） A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．椭圆 4．已知 ,则双曲线 : 与 : 的（ ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 5．若正数 满足 ，则 的最小值是( ) A． B． C． D． 6．下列命题： (1)“若 ，则 ”的逆命题； (2)“全等三角形面积相等”的否命题； (3)“若 ，则关于 的不等式 的解集为 ”的逆否命题； (4)命题“ 为假”是命题“ 为假”的充分不必要条件 其中真命题的个数是（） A． B． C． D． 7．设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是 底角为 的等腰三角形，则椭圆 的离心率为（） A． B． C． D． 8．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的 一个交点，若 ，则 =( ) . . .3 .2 9．已知椭圆 E： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点.若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆 E 的方程为（） A．x2 45＋y2 36＝1 B．x2 36＋y2 27＝1 C．x2 27＋y2 18＝1 D．x2 18＋y2 9 ＝1 10．已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两个焦点，若 ，则 的取值范围是( ) A．（ ， ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ， ） 11．以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|= ， = ，则 C 的焦点到准线的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 12．已知椭圆 C1： + =1（a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1 上不存在点 P， 使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直，则椭圆 C1 的离心率的取值范围是（ ） A．（0， ） B．（0， ） C．[ ，1） D．[ ，1） 第Ⅱ卷 共 90 分 二、填空题：本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答卷的相应位置. 13． ,集合 是奇数集,集合 是偶数集.若命题 则命题 的否定是 . 14．过抛物线 焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点 M 的纵坐标 为 4， 则|AB|= . 15．已知双曲线 x2－y2＝1，点 F1，F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1⊥PF2， 则|PF1|＋|PF2|的值为_ . 16．已知 是 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的 最小 值为 . 17．如图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米．水位下降 1 米 后， 则拱桥内水面的宽度为 米. 18．如右图， 的顶点 ， ， 的内切圆圆心在直线 上， 则顶点 的轨迹方程是 . 三、解答题：本大题有 5 题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分 12 分） 已知命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 双曲线 的 离心率 ，若命题 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围． 20．（本小题满分 12 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 为参数)，M 为 C1 上的动点， P 点满足OP → ＝2 OM → ，点 P 的轨迹为曲线 C2. (Ⅰ)求 C2 的普通方程； (Ⅱ) 设点（x，y）在曲线 C2 上，求 x+2y 的取值范围． 21．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，已知点 ， 是动点，且 的三边所在直线的斜率满 足 ． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 作倾斜角为 的直线 ，交曲线 于 ， 两点，求 的面积.[ 22．（本小题满分 12 分）选修 4—5：不等式选讲 23.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C： =1 的顶点 B 到左焦点 F1 的距离为 2，离心率 e= ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 A 为椭圆 C 的右頂点，过点 A 作互相垂直的两条射线，与椭圆 C 分別交于不同 的两点 M，N（M，N 不与左、右顶点重合），试判断直线 MN 是否过定点，若过定点， 求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由． 福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试 高二(理科班)数学试卷解答 一、选择题： DABCA, BCCDA,BA 第Ⅱ卷 共 90 分 二、填空题： 13． ;14 ． 12 ;15 ． 2 16 ． 9 ; 17 ． ; 18 ． ( ) ． 三、解答题：本大题有 5 题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分 12 分） 解：若 真，则有 ，即： ； …2 分 若 真，则有 ，且 ，即： ……… 4 分 若命题 为真命题， 为假命题，则 一真一假． …… 5 分 若 真、 假，则 ，且 ，即： ； …8 分 若 假、 真，则 ，且 ，即： ； … 11 分， ∴所求 的取值范围为 或 ． …12 分 20．（本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ)设 P(x，y)，则由条件知 M y 2. 由于 M 点在 C1 上，所以 ，即 ，消去参数α得 即 C2 的普通方程为 (Ⅱ) 由椭圆的参数方程可得 x=3cosθ，y=2sinθ， 则 x+2y=3cosθ+4sinθ=5（ ）=5sin（θ+φ）， 其中 tanφ= ．∴x+2y 的取值范围是[﹣5，5]． 21．（本小题满分 10 分） 解：（1）设点 P 的坐标为 P（x，y），则 ，kOQ=2， ，由 + = ， 得 ． 整理得点 P 的轨迹的方程为：y2=4x（y≠0,y≠2）； （ 2 ） 设 ， 由 得 ： = 22．（本小题满分 12 分） 解法一：（Ⅰ）（ⅰ） 当 时，原不等式可化为 ，解得 ， 此时原不等式的解是 ； 2 分 （ⅱ）当 时，原不等式可化为 ，解得 ， 此时原不等式无解； 4 分 （ⅲ）当 时，原不等式可化为 ，解得 ， 此时原不等式的解是 ； 6 分 综上， ． 7 分 （Ⅱ）因为 8 分 9 分 ． 10 分 因为 ，所以 ， ， 11 分 所以 ，即 ． 12 分 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为 ， 9 分 所以，要证 ，只需证 ， 即证 ， 10 分 即证 ， 即证 ，即证 ． 11 分 因为 ，所以 ，所以 成立， 所以原不等式成立． 12 分 23.(本小题满分 14 分) 解：（1）由题意可知： ， 解得： ， 故椭圆的标准方程为 ； （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 当直线 MN 的斜率不存在时，MN⊥x 轴， △MNA 为等腰直角三角形， ∴|y1|=|2﹣x1|， 又 ，M，N 不与左、右顶点重合，解得 ，此时，直线 MN 过点 ； 当直线的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y=kx+m， 由方程组 ，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， △=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得 4k2﹣m2+1＞0， ． 由已知 AM⊥AN，且椭圆的右顶点 A 为（2，0）， ∴ ， ， 即 ， 整理得 5m2+16km+12k2=0，解得 m=﹣2k 或 ，均满足△=4k2﹣m2+1＞0 成立． 当 m=﹣2k 时，直线 l 的方程 y=kx﹣2k 过顶点（2，0），与题意矛盾舍去． 当 时，直线 l 的方程 ，过定点 ， 故直线过定点，且定点是 ．