2020届二轮复习圆锥曲线学案（全国通用）

2020届二轮复习圆锥曲线学案（全国通用）

‎2020高中数学精讲精练 第九章 圆锥曲线 定义 标准方程 ‎【知识图解】‎ 椭圆 几何性质 标准方程 定义 几何性质 圆锥曲线 圆锥曲线应用 双曲线 标准方程 定义 抛物线 几何性质 ‎ ‎ ‎【方法点拨】‎ 解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。‎ ‎1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.‎ ‎2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.‎ ‎3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.‎ ‎4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 ‎ 第1课　椭圆A ‎【考点导读】‎ 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;‎ 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.‎ ‎【基础练习】‎ ‎1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ‎ ‎2.椭圆的离心率为 ‎3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ‎ ‎4. 已知椭圆的离心率，则的值为 ‎【范例导析】‎ 例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。‎ ‎（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。‎ ‎【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.‎ 解：（1）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），‎ 由椭圆的定义知，‎ ‎，‎ ‎∴，又∵，∴，‎ 所以，椭圆的标准方程为。‎ ‎（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为，‎ ‎∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为.‎ ‎②若焦点在y轴上，设方程为，‎ ‎∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为 方法二：设椭圆方程为.∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即 ‎,又∴，∴椭圆的方程为或.‎ ‎【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中 ‎.‎ 例2.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。‎ ‎【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.‎ ‎ 解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)‎ ‎ 设点P(,),则=（+6, ）,=（－4, ）,由已知可得 ‎ 则2+9－18=0, =或=－6. ‎ 由于>0,只能=,于是=. ∴点P的坐标是(,)‎ ‎ (2) 直线AP的方程是－+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是.‎ ‎ 于是=,又－6≤≤6,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ‎ ,‎ 由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值 点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）‎ ‎2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2‎ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ‎3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍 ‎4.若椭圆的离心率,则的值为 ‎ ‎5.．椭圆的右焦点到直线的距离为 ‎6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或 ‎7.椭圆上的点到直线的最大距离是 ‎8. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．‎ 分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．‎ 解：设两焦点为、，且，．‎ 从椭圆定义知．即．‎ 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，‎ 可求出，，从而．‎ ‎∴所求椭圆方程为或．‎ 第2课　椭圆B ‎【考点导读】‎ 1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;‎ 2. 能解决椭圆有关的综合性问题.‎ ‎【基础练习】‎ ‎1.曲线与曲线的（D）‎ A 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同 D 焦距相等 ‎2.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是 ‎ ‎3 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是 ‎【范例导析】‎ 例1.椭圆（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。 ‎ 求离心率e的取值范围.‎ 分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.‎ 解：设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ①‎ 又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。‎ ‎∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。‎ 又∵0＜＜1，∵≤≤1.‎ 例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.‎ ‎(1)求该弦椭圆的方程；‎ ‎(2)求弦AC中点的横坐标.‎ 例2‎ 分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.‎ 解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.‎ 故椭圆方程为=1.‎ ‎(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，‎ 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.‎ 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 ‎2．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为 ‎3.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为 ‎4.椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 12 ‎ ‎5.椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．‎ 求证:；‎ 证明：由椭圆方程知，，．‎ 由圆锥曲线的统一定义知：，∴ ．‎ 同理 ．‎ ‎∵ ，且，‎ ‎∴ ，即 ．‎ 第3课　双曲线 ‎【考点导读】‎ 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.‎ ‎【基础练习】‎ ‎1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 ‎2. 方程表示双曲线，则的范围是 ‎3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为 ‎4. 已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，则双曲线的标准方程为 ‎【范例导析】‎ 例1. (1) 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程;‎ ‎（2）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．‎ 分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.‎ 解：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；‎ ‎∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。‎ 将分别代入方程①中，得方程组：‎ 将和看着整体，解得，‎ ‎∴即双曲线的标准方程为。‎ 点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。‎ ‎（2）解法一：双曲线的渐近线方程为：‎ 当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为 ‎∵，∴ ①‎ ‎∵在双曲线上 ‎∴ ②‎ 由①－②，得方程组无解 当焦点在y轴时，设双曲线方程为 ‎∵，∴ ③‎ ‎∵在双曲线上，∴ ④‎ 由③④得，‎ ‎∴所求双曲线方程为：且离心率 解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：‎ ‎∵点在双曲线上，∴‎ ‎∴所求双曲线方程为：，即． ‎ 点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．‎ 例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)‎ 解：如图:‎ 以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）‎ 设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360‎ 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，‎ 依题意得a=680, c=1020，‎ y x o A B C P 用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,‎ 例2‎ 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.‎ 例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.‎ 解：直线的方程为，即 ‎ 由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，‎ 同理得到点（－1，0）到直线的距离 由 即 ‎ 于是得 ‎ 解不等式，得 由于所以的取值范围是 点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.双曲线的渐近线方程为 ‎2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为 ‎3.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是 ‎4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若=3,则=7‎ ‎5.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程 ‎6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．‎ ‎（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．‎ 解：（1）设所求双曲线方程为：，则，‎ ‎∴，∴，∴所求双曲线方程为 ‎（2）∵，∴或，∴渐近线方程为 当焦点在轴上时，由且，得．‎ ‎∴所求双曲线方程为 当焦点在轴上时，由，且，得．‎ ‎∴所求双曲线方程为 ‎7.设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．‎ 分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出的值．‎ 解：由过两点，，得的方程为．‎ 由点到的距离为，得．‎ 将代入，平方后整理，得．‎ 令，则．解得或．‎ 而，有．故或．‎ 因，故，‎ 所以应舍去．故所求离心率．‎ 说明：此题易得出错误答案：或．其原因是未注意到题设条件，从而离心率．而，故应舍去．‎ ‎8.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．‎ ‎（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；‎ ‎（3）对于（2）中的点，求的面积．‎ 解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得 ‎∴ 双曲线方程为； ‎ ‎（2）由（1）可知，，， ∴ ，‎ ‎∴ ，， ∴ ，‎ 又点在双曲线上， ∴ ， ‎ ‎∴ ， 即； ‎ ‎（3） ∴的面积为6． ‎ 第4课　抛物线 ‎【考点导读】‎ ‎1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.‎ ‎2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.‎ ‎【基础练习】‎ ‎1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是 ‎2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 ‎ ‎3.抛物线的焦点坐标是__(a,0)_‎ ‎4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ‎5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值 ‎【范例导析】‎ 例1. 给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．‎ 解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，‎ ‎∴d=｜PA｜=‎ ‎==．‎ ‎∵a＞0，x0≥0，‎ ‎∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，‎ 此时有x0=0时，dmin==a．‎ ‎（2）当a≥1时，1－a≤0，‎ 此时有x0=a－1时，dmin=．‎ 例2.如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．‎ 分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．‎ 例2‎ 解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．‎ 由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．‎ ‎∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标 令则，‎ ‎∴由两点间的距离公式，得方程组： 解得或 ‎∵△AMN为锐角三角形，∴，则，‎ 又B在曲线段C上，‎ 则曲线段C的方程为 ‎【反馈练习】‎ ‎1.抛物线的准线方程是 ‎2.抛物线的焦点到其准线的距离是 ‎3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为 ‎4.抛物线上的点到直线距离的最小值是 ‎5.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= ‎ ‎6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.‎ 解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，‎ 如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）‎ 设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,‎ 于是抛物线方程为x2=－25y.‎ 第6题 由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=‎ ‎(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.‎ ‎7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．‎ 分析：可设抛物线方程为．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.‎ 解：（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得∴所求抛物线方程为 ‎（2）证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：‎ 在直角梯形中：‎ ‎，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．‎ 点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．‎ ‎ ‎ 第5课　圆锥曲线的统一定义 ‎【考点导读】‎ 1. 了解圆锥曲线的第二定义.‎ 2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.‎ ‎【基础练习】‎ ‎1.抛物线的焦点的坐标是, 准线方程是 ‎2..如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是2 ‎ ‎3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则= ‎ ‎4.点M与点F的距离比它到直线:的距离小1,则点的轨迹方程是 ‎【范例导析】‎ 例1.已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．‎ 分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．‎ 解：∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为 ‎①若，则，‎ ‎∴准线方程为：，∴，∴‎ ‎②若，则，‎ ‎∴准线方程为：，∴，∴‎ ‎∴所求双曲线方程为：或 点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.‎ 例2.已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．‎ 解：∵，，∴，∴‎ 设点到与焦点相应准线的距离为则 ‎∴，∴‎ 至此，将问题转化成在双曲线上求一点，‎ 使到定点的距离与到准线距离和最小．‎ 即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，‎ 解之得，点．‎ 点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则 ‎2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 ‎ ‎3.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为 ‎4　双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 8 ‎ 第6课　圆锥曲线综合 ‎【考点导读】‎ 1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.‎ 2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.‎ ‎3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题.‎ ‎【基础练习】‎ ‎1. 给出下列四个结论：‎ ‎①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；‎ ‎②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；‎ ‎③抛物线；‎ ‎④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（－12，0）。‎ 其中所有正确结论的个数是4‎ ‎2.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ‎3.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ‎【范例导析】‎ 例1. 已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。‎ ‎（I）证明为定值；‎ ‎（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。‎ 解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为 由可得 因此 过A点的切线方程为 (1)‎ 过B点的切线方程为 (2)‎ 解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值 ‎（2）=0可得三角形面积 ‎ 所以 当且仅当时取等号 点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 ‎ ‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 ‎2.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 ‎3.设P是椭圆上一点，、 是椭圆的两个焦点，则的最小值是 ‎4.已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ‎5. 双曲线C与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是 ‎6.已知椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，则点到椭圆右焦点的距离等于__2 _ ‎ ‎7.如图，点A是椭圆C：的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP∥x轴，＝9,若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程.‎ ‎8.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．求圆的方程.‎ 解：设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 ‎=2‎ 即=4 ① ‎ 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 ②‎ 联立方程①和②组成方程组解得 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8‎ ‎ ‎ ‎9.已知动圆过定点，且与直线相切，其中,求动圆圆心的轨迹的方程.‎ 解：如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线 所以轨迹方程为；‎ 第9题