【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第11节　第2课时　导数与函数的极值、最值教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第11节　第2课时　导数与函数的极值、最值教案

第2课时　导数与函数的极值、最值 ‎(对应学生用书第37页)‎ 利用导数解决函数的极值问题 ‎◎角度1　根据函数图象判断函数极值的情况 ‎　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图2113所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ 图2113‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ D　[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]‎ ‎◎角度2　求已知函数的极值 ‎　(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x＋ax－1)e－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)‎ A．－1　　　　 B．－2e－3‎ C．5e－3 D．1‎ A　[函数f(x)＝(x＋ax－1)e－1，‎ 则f′(x)＝(2x＋a)e－1＋(x＋ax－1)·e－1‎ ‎＝e－1·[x＋(a＋2)x＋a－1]．‎ 由x＝－2是函数f(x)的极值点得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，‎ 所以a＝－1.‎ 所以f(x)＝(x－x－1)e－1，f′(x)＝e－1·(x＋x－2)．‎ 由e－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，‎ 且x<－2时，f′(x)>0；－21时，f′(x)>0.‎ 所以x＝1是函数f(x)的极小值点．‎ 所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.‎ 故选A．]‎ ‎◎角度3　已知函数极值求参数的值或范围 ‎　(1)已知f(x)＝x3＋3ax＋bx＋a在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.‎ ‎(2)(2018·湖北调考)已知函数f(x)＝－x＋4x－3ln x在(t，t＋1)上存在极值点，则实数t的取值范围为________．‎ ‎(1)－7　(2)(0,1)∪(2,3)　[(1)由题意得f′(x)＝3x＋6ax＋b，则 解得或 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.‎ ‎(2)由题意得f′(x)＝－x＋4－＝－＝－(x＞0)．由f′(x)＝0得x＝1或x＝3，所以要使函数f(x)在(t，t＋1)上存在极值点，则t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，即0＜t＜1或2＜t＜3，所以实数t的取值范围为(0,1)∪(2,3)．]‎ ‎[规律方法]　1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 ‎2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领 ‎(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解．‎ ‎(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax＋bx－a－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)‎ ‎【导学号：97190081】‎ A．－　 B．－2‎ C．－2或－ D．不存在 ‎(2)函数y＝2x－的极大值是________．‎ ‎(1)C　(2)－3　[(1)∵f(x)＝x3＋ax＋bx－a－7a，‎ ‎∴f′(x)＝3x＋2ax＋b，‎ 由题意知f′(1)＝3＋2a＋b＝0，‎ ‎∴b＝－3－2a①，‎ 又f(1)＝1＋a＋b－a－7a＝10②，将①代入②整理得a＋8a＋12＝0，解得a＝－2或a＝－6.当a＝－2时，b＝1；‎ 当a＝－6时，b＝9.‎ ‎∴＝－2或＝－，故选C．‎ ‎(2)y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.‎ 当x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜0时，y′＜0；当x＞0时，y′＞0，‎ 所以当x＝－1时，y取极大值－3.]‎ 利用导数解决函数的最值问题 ‎　(2017·北京高考)已知函数f(x)＝ecos x－x.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝ecos x－x，‎ 所以f′(x)＝e(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.‎ 又因为f(0)＝1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.‎ ‎(2)设h(x)＝e(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝e(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2esin x.‎ 当x∈时，h′(x)<0，‎ 所以h(x)在区间上单调递减．‎ 所以对任意x∈有h(x)

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