2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018 学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学（理）试题 时量：120 分钟 分值：150 分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. 是 的共轭复数. 若 （ 为虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．设全集为 R，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 3．设 ，则“ ”是 的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 4.设 是等差数列. 下列结论中正确的是 （ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 5．下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是 （ ） 【答案】B 6．已知 为正实数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D z z ( )2, 2z z z z i+ = + = i =z i+1 i−−1 i+−1 i−1 { 0 2}A x x= < < { 1}B x x= ≥ ( ) =RA B { 0 1}x x< ≤ { 0 1}x x< < { 1 2}x x≤ < { 0 2}x x< < x R∈ 1 1x − < 3 8x < { }na 1 2 0a a+ > 2 3 0a a+ > 1 3 0a a+ < 1 2 0a a+ < 1 20 a a< < 2 1 3a a a> 1 0a < ( )( )2 1 2 3 0a a a a− − > 1x = ( ). ln 1A y x= − ( ). ln 2B y x= − ( ). ln 1C y x= + ( ). ln 2D y x= + yx, lg lg lg lg2 2 2x y x y+ = + lg( ) lg lg2 2 2x y x y+ = ⋅ lg lg lg lg2 2 2x y x y⋅ = + lg( ) lg lg2 2 2xy x y= ⋅ 7．已知点 、 、 、 ，则向量 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 8．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（　　） A．6 B． 19 C．21 D．45 【答案】C 9．函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 10．在 中， ，BC 边上的高等于 ,则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 11．设 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 12．已知数列 满足 ，且 是递减数列， 是递增数列，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知向量 的夹角为 60°， ，则 . 【答案】 ( )1,1A − ( )1,2B ( )2, 1C − − ( )3,4D AB CD 3 2 2 3 15 2 3 2 2 − 3 15 2 − ,x y 5, 2 4, 1, 0, x y x y x y y + ≤  − ≤− + ≤  ≥ 3 5z x y= + ( ) cos( )f x xω ϕ= + ( )f x 1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈ ABC△ π 4B = 1 3 BC cos A = 3 10 10 10 10 10 10- 3 10 10- 1 3 1 1ln , log2 2a b= = 0a b ab+ < < 0ab a b< + < 0a b ab+ < < 0ab a b< < + { }na ( )1 1 11, , 23n n na a a n N n−= − = ∈ ≥ 2 1{ }na − 2{ }na 1012a = 10 16 3 − 9 16 3 − 10 111 3 − 9 111 3 − ,a b  2, 1a b= =  2a b+ =  2 3 14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层灯数为 【答案】3 15.已知函数 , 其中 是自然对数的底数.若 ,则实数 的取 值范围是 . 【答案】 16. 中， ，则 的最大值为 . 【答案】 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17.（本小题满分 12 分）已知集合 = ，集合 = . （1）若 ，求 ； （2）若 A B，求实数 的取值范围. 解析：（1）当 时， ，解得 .则 . 由 ，得 .则 . 所以 . ………………………………………6 分 （2）由 ，得 . 若 A B， 则 解得 . 所以实数 的取值范围是 . …………………………12 分 18．（本小题满分 12 分）已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； 3 1( ) 2 x xf x x x e e = − + − e 2( 1) (2 ) 0f a f a− + ≤ a 1[ 1, ]2 − ABC∆ 1, 2AB AB AC= ⋅ =  tan ACB∠ 2 4 A { }2 , 0x x a a− < > B 2 2 13 xx x  − < +  1a = A B∩ ⊂≠ a 1a = 2 1x- < 1 3x< < A = { }1 3x x< < 2 2 13 x x - <+ 3 5x- < < B = { }3 5x x- < < { }1 3A B x xÇ = < < 2 ( 0)x a a- < > 2 2a x a- < < + ⊂≠ 2 3 2 5 . 0 a a a ì - ³-ïïïï + £íïï >ïïî 0 3a< £ a { }0 3a a< £ { }na n nS ( )12 2n nS m m R+= + ∈ { }na （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 解析：(1)由 得 ， 当 时， ，即 ， 又 ，当 时符合上式，所以通项公式为 .……6 分 (2)由（1）可知 19．（本小题满分 12 分）已知 , , 分别为△ 三个内角 , , 的对边，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ,且 的面积为 ,求 的值. 解析：（1）由正弦定理得 ∵ ∴ ，即 . ∵ ∴ ∴ ∴ . （2）由： 可得 . ∴ ∵ ∴ 由余弦定理得： ∴ [] 20．（本小题满分 12 分）某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机 抽取了 100 人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图 1 所示的频事分布直方图，并发现 这 100 名学生中，身不低于 1.69 米的学生只有 16 名，其身高茎叶图如下图 2 所示，用样本的身高频率估计 该市高一学生的身高概率． { }nb ( ) ( )2 1 1 2 1 logn n n b n a a + = + ⋅ { }nb n nT ( )12 2n nS m m R+= + ∈ ( )12 2n nS m m R− = + ∈ 2n ≥ 12 2 2 2n n n na S S −= − = ( )12 2n na n−= ≥ 1 1 2 2 ma S= = + 2m = − 12n na −= ( ) ( )1 2 1 2log log 2 2 2 1n n n na a n− + = = − ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n  = = − + − − +  1 2 1 1 1 1 1 1... 1 ...2 2 2 3 2 1 2 1 2 1n n nT b b b n n n  = + + + = − + − + + − = − + +  a b c ABC A B C 3 cos 1 sin a A c C += A 5b c+ = ABC∆ 3 a 3sin cos 1 sin sin A A C C += sin 0C ≠ 3sin cos 1A A− = ( ) 1sin 30 2A− ° = 0 180A° < < ° 30 30 150A− ° < − ° < ° 30 30A− ° = ° 60A = ° 3ABCS∆ = 1 sin 32S bc A= = 4bc = 5b c+ = ( )22 2 2 2 cos 3 13a b c bc A b c bc= + − = + − = 13a = （1）求该市高三学生身高高于 1.70 米的概率，并求图 1 中 、 、 的值． （2）若从该市高三学生中随机选取 3 名学生，记 为身高在 的学生人数，求 的分布列和数学 期望； （3）若变量 满足 且 ，则称变量 满 足近似于正态分布 的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布 的概 率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常， 并说明理由． 【解析】（1）由图 2 可知，100 名样本学生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以样本的频率估计总体的概率， 可得这批学生的身高高于 1.70 的概率为 0.15． 记 为学生的身高，结合图 1 可得： ， ， ，] 又由于组距为 0.1，所以 ， ， ．…………………………4 分 （2）以样本的频率估计总体的概率， 可知从这批学生中随机选取 1 名，身高在 的概率为 ， 因为从这批学生中随机选取 3 名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量 服从二项分布 ， 故。的分布列为： ， 0 1 2 3 a b c ξ ( ]1 50,1 70. . ξ S ( ) 0 6826P Sµ σ µ σ− < ≤ + > . ( )2 2 0 9544P Sµ σ µ σ− < ≤ + > ． S ( )2,N µ σ ( )1.6,0.01N X ( ) ( ) 21.30 1.40 1.80 1.90 0.02100f X f X< ≤ = < ≤ = = ( ) ( ) 131.40 1.50 1.70 1.80 0.13100f X f X< ≤ = < ≤ = = ( ) ( ) ( )11.50 1.60 1.60 1.70 1 2 0.02 2 0.13 0.352f X f X< ≤ = < ≤ = − × − × = 0 2a = . 1 3b = . 3 5c = . [ ]1.50,1.70 ( ) ( ) ( )1.50 1.70 1.50 1.60 1.60 1.70 0.7P X f X f X< ≤ = < ≤ + < ≤ = ξ ( )3,0.7B ( ) ( )3 3C 0.3 0.7 0,1,2,3n n nP n nξ −⋅= ⋅= = ξ 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 身高（米） 图 1 图 2 0.027 0.189 0.441 0.343 （或 ） ………………8 分 （3）由 ，取 ， ， 由（2）可知， ， 又结合（1），可得： ， ， 所以这批学生的身高满足近似于正态分布 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体 是正常的． …………………………12 分 21．（本小题满分 12 分）已知 ， ． （1）讨论 的单调性； （2）若 ，求实数 的取值范围． 解析：（1） ， 当 时， ， ．∴ 在 上单调递增； 当 时，由 ，得 ． 当 时， ；当 时， ． 所以 在 单调递减；在 单调递增． （2）令 ，问题转化为 在 上恒成立， ，注意到 ． 当 时， ， ， 因为 ，所以 ， ， ( )P ξ ( ) 0 0 027 1 0189 2 0 441 3 0 343 21E ξ = × + × + × + × =. . . . . ( ) 3 0 7 21E ξ = × =. . ( )1.6,0.01N 1 60µ = . 01σ = . ( ) ( ). . . . ( ) ( )2 2 1.40 1.80P X P Xµ σ µ σ− < ≤ + = < ≤ ( )2 1.70 1.80 1.50 1.70) 0.96 0.544f X P X= × < ≤ + < ≤ = >（ ( )1.6,0.01N ( ) ( ) ( )21 1xf x x e a x= − − + [ )1,x∈ +∞ ( )f x ( ) 2 lnf x a x≥ − + a ( ) 2xf x xe ax′ = − ( )2xx e a= − 2 ea ≤ [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ )1,+∞ 2 ea > ( ) 0f x′ = ( )ln 2x a= ( )( )1,ln 2x a∈ ( ) 0f x′ < ( )( )ln 2 ,x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )( )1,ln 2a ( )( )ln 2 ,a +∞ ( ) ( ) ( )21 1 lnxg x x e a x x= − − − − ( ) 0g x ≥ [ )1,x∈ +∞ ( ) 12xg x xe ax x = − −′ ( )1 0g = 1 2 ea −> ( )1 2 1 0g e a′ = − − < ( )( ) ( ) ( ) 1ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1g a a a + = + − + ′ 2 1a e+ > ( )ln 2 1 1a + > ( )( )ln 2 1 0g a + >′ 所以存在 ，使 ， 当 时， ， 递减， 所以 ，不满足题意． 当 时， ， 因为 ， ， ， 所以 ， 在 上单调递增；所以 ，满足题意． 综上所述： ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分 10 分）选修 4–4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 为曲线 上的动点，动 点 满足 （ 且 ）， 点的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程，并说明 是什么曲线； （2）在以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 点的极坐标为 ，射线 与 的异于极点的交点为 ，已知 面积的最大值为 ，求 的值. 【解析】（1）设 ， ，由 得 .∴ ∵ 在 上，∴ 即 （ 为参数），消去参数 得 . ∴曲线 是以 为圆心，以 为半径的圆. （2）法 1： 点的直角坐标为 . ∴直线 的普通方程为 ，即 . ( )( )0 1,ln 2 1x a∈ + ( )0 0g x′ = ( )01,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) ( )1 0g x g< = 1 2 ea −≤ ( ) ( ) 11xg x xe e x x ≥ − − −′ ( ) 11xx e e x  = − − −  1x > ( )1 1xx e e − − >  10 1x < < ( ) 0g x′ > ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g≥ = 1 2 ea −≤ xOy 1C 2 2 , 2 x cos y sin θ θ = +  = θ M 1C P OP aOM=  0a > 1a ≠ P 2C 2C 2C x A 2, 3 π     θ α= 2C B AOB∆ 4 2 3+ a ( ),P x y ( )0 0,M x y OP aOM=  0 0 { x ax y ay = = 0 0 xx a yy a  =  = M 1C 2 2 { 2 x cosa y sina θ θ = + = 2 2{ 2 x a acos y asin θ θ = + = θ θ ( ) ( )2 2 22 4 1x a y a a− + = ≠ 2C ( )2 ,0a 2a A ( )1, 3 OA 3y x= 3 0x y− = 设 点坐标为 ，则 点到直线 的距离 . ∴ 当 时， ∴ 的最大值为 ∴ . 法 2：将 ， 代入 并整理得： ，令 得 . ∴ ∴ 当 时， 取得最大值 ，依题意 ， ∴ . 23．（本小题满分 10 分）选修 4–5：不等式选讲 已知函数 ． （Ⅰ）若 ，求不等式 的解集； （Ⅱ）若方程 有三个不同的解，求 的取值范围． B ( )2 2 cos ,2 sina a aα α+ B 3 0x y− = 2 3cos 2sin 2 3 2cos 32 6 a d a α α πα − +  = = + +   6 πα = − ( )max 3 2d a= + AOBS∆ ( )1 2 3 2 4 2 32 a× × + = + 2a = cosx ρ θ= siny ρ θ= ( )2 2 22 4x a y a− + = 4 cosaρ θ= θ α= 4 cosaρ α= ( )4 cos ,B a α α 21 4 sin 2sin cos 2 3cos2 3 sin2 3cos2 3 2sin 2 33 AOBS OA OB sin AOB acos a a a πα α α α α πα α α ∆  = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = − = −    = − − = − ∴ −  12 πα = − AOBS∆ ( )2 3 a+ ( )2 3 4 2 3a+ = + 2a = ( ) | 1| | |f x x x a= + − + 0a = ( ) 0f x ≥ ( )f x x= a