数学理卷·2018届陕西省黄陵中学（高新部）高三下学期第一次大检测（2018

数学理卷·2018届陕西省黄陵中学（高新部）高三下学期第一次大检测（2018

‎2018届陕西省黄陵中学（高新部）高三下学期第一次大检测数学（理）试题 第I卷 ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数z满足( 1+2i)z=4+3i，则z的虚部是 ‎ A．-1 B．1 C．-2 D．2‎ ‎2．已知A ={x|y=log2(3x -1)}，B={y|x2+y2=4），则(CRA )ClB=‎ A．[-2，] B．[-2，) C.( ，2] D．(，2)‎ ‎3．甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是 A．1 B． C． D． ‎ ‎4．如图所示程序框图的算法思路源于我国 古代数学名著《九章算术》中的一种运算方 法，执行该程序框图，若输入的a，b分别为 ‎12,20,则输出的a=‎ ‎ A．0 B．14‎ ‎ C．4 D．2‎ ‎5.已知向量，且，则（）‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎6.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，则得到的新函数图象的解析式为（）‎ A.B.‎ C. D.‎ ‎7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（）日两马相逢 A.16B. 12C.9 D.8‎ ‎8.设且，则的最小值是（）‎ A.B.C.D.‎ ‎9．已知函数f(x)＝sin x－x(x∈[0，π])，那么下列结论正确的是 ‎(　　)．‎ A．f(x)在上是增函数 B．f(x)在上是减函数 C．∃x∈[0，π]，f(x)>f D．∀x∈[0，π]，f(x)≤f ‎10．函数y＝esin x(－π≤x≤π)的大致图象为 ‎(　　)．‎ ‎11．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是 ‎(　　)．‎ A. B.∪[0，＋∞)‎ C. D. ‎12．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距等于 ‎(　　)．‎ A. B．2 C. D．2 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，满足，|，，则| ．‎ ‎14.已知变量，满足，则的最大值为 ．‎ ‎15.中，是斜边上一点，且满足：，点在过点的直线上，若则的最小值为 ．‎ ‎16．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为 .‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.已知p：方程x2+mx+4=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围． (12分 ) ‎ 18. 已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R” (12分 ) （1）若命题p为真，求实数a的取值范围； （2）若命题q为真，求实数a的取值范围； ‎ ‎19． (12分 )已知等边△AB′C′边长为，△BCD中，（如图1所示），现将B与B′，C与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得 ‎（如图2所示）．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（1）若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；‎ ‎（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．‎ ‎20． (12分 )已知圆，将圆E2按伸缩变换：后得到曲线E1，‎ ‎（1）求E1的方程；‎ ‎（2）过直线x=2上的点M作圆E2的两条切线，设切点分别是A，B，若直线AB与E1交于C，D两点，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=（x2+ax-2a-3）·e3-x （a∈R）‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）设g（x）=（a2+）ex （a>0），若存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）-g（x2）|<1成立，求a的取值范围．‎ 请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分分）选修4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线．‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ ‎23.（本小题满分分）选修4-5：不等式选讲【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若、，，，证明：.‎ 参考答案 ‎1-4.BADC 5-8.AACA 9-12.DDAB ‎13. 2 14. 12 15. 16．‎ ‎17. 解：p满足m2-16＞0，x1+x2=-m＜0，x1x2=4＞0， 解出得m＞4；                                 q满足[4（m-2）]2-4×4＜0， 解出得1＜m＜3， 又因为“p或q”为真，“p且q”为假， ∴p，q一真一假， ∴或 所以m∈（1，3）∪（4，+∞）． 18.解：（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R， 则（a2-1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分） 则a=-1或…（3分） 解得a≤-1或． ∴实数a的取值范围为（-∞，，+∞）．…（6分） （2）若命题q为真，即f（x）的值域是R， 设u=（a2-1）x2+（a+1）x+1的值域为A 则A⊇（0，+∞），…（8分） 等价于a=1或…（10分） 解得． ∴实数a的取值范围为[1，．…（12分） ‎ ‎19‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，‎ 且O为中点，‎ ‎∴BC⊥AO，BC⊥DO，‎ ‎∵AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD，‎ 又BC⊂面ABC ‎∴平面BCD⊥平面AOD…‎ ‎（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H，‎ 则平面BCD∩平面AOD=HD，则AH⊥平面BCD，‎ 在Rt△BCD中，，‎ 在Rt△ACO中，，‎ 在△AOD中，，‎ ‎∴，在Rt△ADH中AH=ADsin∠ADO=1，‎ 设，作EF⊥CH于F，平面AHC⊥平面BCD，‎ ‎∴EF⊥平面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由，∴（※），‎ 在Rt△CDE中，，‎ 要使ED与面BCD成30°角，只需使，‎ ‎∴x=1，当CE=1时，ED与面BCD成30°角…‎ ‎（法2）在解法1中接（※），以D为坐标原点，‎ 以直线DB，DC分别为x轴，y轴的正方向，‎ 以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系 则，，‎ 又平面BCD的一个法向量为，要使ED与面BCD成30°角，‎ 只需使成60°，‎ 只需使，即，∴x=1，‎ 当CE=1时ED与面BCD成30°角；‎ ‎（3）将原图补形成正方体，由AC=，可得正方体边长为1，‎ 则外接球的直径为，即半径，‎ 表面积：S=4πr2=3π…‎ ‎　‎ ‎20‎ ‎【解答】解：（1）按伸缩变换：得：（x′）2+2（y′）2=2，‎ 则E1：；‎ ‎（2）设直线x=2上任意一点M的坐标是（2，t），t∈R，切点A，B坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）；‎ 则经过A点的切线斜率k=，方程是x1x+y1y=2，经过B点的切线方程是x2x+y2y=2，‎ 又两条切线AM，BM相交于M（2，t），‎ 则有，‎ 所以经过A、B两点的直线l的方程是2x+ty=2，‎ 当t=0时，有A（1，1），B（1，﹣1），C（1，），D（1，﹣），‎ 则|CD|=，|AB|=2， =，‎ 当t≠0时，联立，整理得（t2+8）x2﹣16x+8﹣2t2=0；‎ 设C、D坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），则，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ 令t2+4=x，则x＞4，则f（x）=，‎ 又令u=∈（0，），φ（u）=﹣32u3+6u+1，u∈（0，），‎ 令φ′（u）=﹣96u2+6，令﹣96u2+6=0，解可得u0=，‎ 故φ（u）=﹣32u3+6u+1在（0，）上单调递增，且有φ（u）∈（1，），‎ 而，则＜＜1；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 综合可得≤＜1；‎ 所以的取值范围为[，1）．‎ ‎21．解：⑴，令，‎ 即所以 所以 ………………………………………………………………3分 ‎，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 当时，，此时在上为减函数；‎ 当时，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数． …………………………………………………………………………6分 ‎⑵ 当时，，则在上为增函数，在上为减函数【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 又 ‎∴在上的值域为 ………………………………………8分 又在上为增函数，其值域为……10分 等价于………………………………………12分 存在使得成立，只须 ‎，又 ‎∴a的取值范围为． ………………………………………………………………14分 ‎22.【解析】（Ⅰ）由，消去得，‎ 所以直线的普通方程为．由 ‎，得．‎ 将，，代入上式，‎ 得曲线的直角坐标方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）设曲线上的点为，‎ 则点到直线的距离为 ‎．当时，，‎ ‎23.解：（1）由得：，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：，‎ 因为，，即，，‎ 所以，‎ 所以，即，所以原不等式成立.‎