【数学】2020届一轮复习人教B版图形面积求最值，函数值域正当时学案

【数学】2020届一轮复习人教B版图形面积求最值，函数值域正当时学案

‎【题型综述】‎ ‎1、面积问题的解决策略：‎ ‎（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）‎ ‎（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 ‎2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 ‎3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析 ‎【典例指引】‎ 例1已知椭圆（）的一个顶点为，离心率为，直线（）与椭圆交于，两点，若存在关于过点的直线，使得点与点关于该直线对称．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）求实数的取值范围；‎ ‎（III）用表示的面积，并判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎，可得：‎ ‎，则有：（），故 ‎（III）法一（面积转化为弦长）：，到 的距离，，所以 ‎，设，，则，所以在上是减函数，所以面积无最大值．&‎ 法二（面积坐标化公式）：易得向量，，则有 ‎，‎ 因，在上均为减函数，则在上均为减函数，所以面积无最大值．‎ 可得的面积的取值范围为．‎ 点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线斜率与截距之间的关系；②据位置关系构建直线斜率与截距之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线的斜率与截距之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化； ‎ ‎（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程．&‎ 变式与引申：若过点的直线交椭圆于，求四边形的面积的取值范围．‎ 例2、已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点， 的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值.‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1） 由题意得，再由， 标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取 ‎； ②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组 ‎ ‎ ，又直线的距离 点到直线的距离为 面积的最大值为.‎ 解析：（1） 由题意得，解得，‎ 化简得，‎ 设 点到直线的距离 因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，‎ ‎∴‎ 综上， 面积的最大值为. ‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得 ，再求得点到直线的距离为 面积的最大值为.‎ 例3、已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C 的轨迹方程；‎ ‎（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．‎ ‎【思路引导】‎ ‎（Ⅰ）设，由题意得，化简可得曲线的方程为 ； （Ⅱ）设，切线方程为，与抛物线方程联立互为，由于直线与抛物线相切可得，解得，可切点，由，利用韦达定理，得到，得到为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值．‎ 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．‎ 例4、已知椭圆的焦距为2,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过点作圆的切线,切点分别为,直线与轴交于点,过点作直线交椭圆于两点,点关于轴的对称点为,求面积的最大值.‎ ‎【思路引导】‎ ‎ (Ⅰ)由椭圆的焦点为，离心率为，求出，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ) ‎ 由题意，得、 、、 四点共圆，该圆的方程为，得的方程为，直线的方程为，设，则，从而最大， 就最大，可设直线的方程为，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出的面积的最大值.‎ 试题解析：(Ⅰ)由题意, ,解得,由,解得;‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 又直线与椭圆交于不同的两点,则,即,‎ ‎,‎ 令,则,‎ 令,则函数在上单调递增,‎ 即当时, 在上单调递增,因此有；‎ 所以,当时取等号. &‎ 故面积的最大值为3.‎ ‎【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法面积的最大值的.‎ ‎【扩展链接】‎ 椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式：‎ ‎（1）椭圆：设为椭圆上一点，且，则 ‎（2）双曲线：设为双曲线上一点，且，则