数学理卷·2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟考试（2018

数学理卷·2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟考试（2018

山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试 数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设集合，，现有下面四个命题：‎ ‎；若，则；‎ ‎：若，则；：若，则.‎ 其中所有的真命题为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若随机变量服从二项分布，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．512‎ ‎5．若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎6．的展开式中的系数为（ ）‎ A． B．84 C． D．280‎ ‎7．设满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“ ”中，可以先后填入（ ）‎ A. 是偶数？ ‎ B. 是奇数？ ‎ C. 是偶数？ ‎ D. 是奇数？‎ ‎9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到 的图象.若在上单调递减，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设为数列的前项和，已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知向量满足，，与的夹角为，，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在等差数列中，，则 .‎ ‎14．设函数，若，则的最大值为 .‎ ‎15．设，双曲线：与圆：相切，，，若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为 . ‎ ‎16．如图，在矩形中，点分别在上，，沿直线将翻折成，使二面角为直角，点分别为线段上，沿直线将四边形向上折起，使与重合，则 . ‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．的内角所对的边分别为，已知，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的周长.‎ ‎18．根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前20天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.‎ ‎（1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数的频率；‎ ‎（2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数的分布列及数学期望与方差.‎ ‎19．如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，分别为棱与的中点，‎ 为线段上的动点，其中更靠近，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎20．已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线：与曲线有（）个公共点.‎ ‎（1）若，求的最小值； ‎ ‎（2）若，自上而下记这4个交点分别为，求的取值范围.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论的导函数零点的个数；‎ ‎（2）若函数的最小值为，求的取值范围.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线与曲线交点的极坐标.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ 理科数学答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B D C A C A D D D B B 二、填空题 ‎13. 21 14.8 15. 16. 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 三、解答题 ‎17．（1）由，得 ‎∵，∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，∴‎ 又的面积为，∴，‎ ‎∴，∴‎ 由余弦定理，∴.‎ 故的周长为.‎ ‎18. (1)∵的天数为10，∴的频率为.‎ ‎∵的天数为6，∴的频率为.‎ ‎ ∵的天数为2，∴的频率为.‎ ‎ ∵的天数为2，∴的频率为.‎ ‎（2）的分布列为 ‎19.（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，‎ ‎∴，‎ 在正三棱柱中，底面，则，‎ 又，∴平面，∴‎ 易证，又，∴平面.‎ ‎（2）解：取的中点，的中点，则，‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设，‎ 则，‎ 易知是平面的一个法向量，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎20.(1)联立与，得，‎ ‎∵，∴与抛物线恒有两个交点.‎ 联立与，得，‎ ‎∵,∴，∵，，∴的最小值为.‎ ‎（2）设点，，，，‎ 则两点在抛物线上，两点在抛物线上，‎ ‎∴，且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎21. （1），‎ 令，，故在上单调递增 则 因此当或时，只有一个零点；‎ 当或时，有两个零点.‎ ‎（2）当时，，则函数在处取得最小值 当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，‎ 使得.‎ 若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，‎ 又，故不符合题意.‎ 若，则，，函数在上单调递增，‎ 又，故不符合题意.‎ 若，则，设正数 则，‎ 与函数的最小值为矛盾.‎ 综上所述，，即.‎ ‎22. （1）∵，∴，即，‎ 又，∴，∴或，‎ ‎∴曲线的普通方程为（或）‎ ‎∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为 ‎.‎ ‎（2）由得 ‎∴（舍去），，‎ 则交点的直角坐标为，极坐标为.‎ ‎23．（1）因为，‎ 所以当时，由得；‎ 当时，由得；‎ 当时，由得.‎ 综上，的解集为.‎ ‎（2）（方法一）由得，‎ 因为，当且仅当取等号，‎ 所以当时，取得最小值5，‎ 所以当时，取得最小值5，‎ 故，即的取值范围为.‎ ‎（方法二）设，则，‎ 当时，取得最小值5，‎ 所以当时，取得最小值5，‎ 故，即的取值范围为.‎