(光华校区）（教师版）2019级高一下期期末三角数列中档高频考点练习

(光华校区）（教师版）2019级高一下期期末三角数列中档高频考点练习

‎（教师版）高一下期数学期末复习之三角数列中档高频考点练习 复习点：三角恒等变换，解三角形（三角图像性质为辅助，本学期不专门涉及），三角综合（三角最值，三角解应用题等）‎ 等差等比数列的基本计算（待定系数）和灵活计算（用性质），数列的递推与求和，‎ 数列综合（数列中的函数观点，数列与不等式，恒成立问题等）‎ 一、三角数列中档小题 定时练习建议时间：平均每个2-3分钟 正确率：___________________.‎ ‎1．设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝，则α＋β的值为(　　)‎ ‎ A.π B.π C.π D.π或π 解析　∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝－，sinβ＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0，又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β＝. ‎ ‎2.已知＝－，那么的值是______.‎ ‎3．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．‎ 解析:.　∵α为锐角，cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝，sin(2α＋)＝2sin(α＋)·cos(α＋)＝，‎ cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝，∴sin(2α＋)＝sin(2α＋－)＝[sin(2α＋)－cos(2α＋)]＝.‎ ‎4．设f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)的最大值为＋3，则常数a＝________.‎ 解析　±.　f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)＝cosx＋sinx＋a2sin(x＋)＝sin(x＋)＋a2sin(x＋)＝(＋a2)sin(x＋)．依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.‎ ‎5.在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________．‎ 解析 因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan＝，所以tan＋tan＋tantan＝tan＋tantan ‎＝＋tantan＝.‎ ‎6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，‎ 第7页 则tanC等于__________.‎ 解析　由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝＝＝－1，所以cosC＋1＝，即2cos2＝sincos，所以tan＝2，即tanC＝＝＝－.‎ ‎7.设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列，则(　　)‎ A．d<0 B．d>‎0 C．a1d<0 D．a1d>0‎ 解析　C.设bn＝，则bn＋1＝，由于{}是递减数列，则bn>bn＋1，即.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.‎ ‎8．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值是___.‎ 解析　∵an＋1－an＝－3，∴an－an－1＝－3，∴{an}是以19为首项，以－3为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前n项和最大，故有∴∴≤n≤，∵n∈N*.‎ ‎9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为(　　)‎ A．{1,2} B．{1,2,3,4} C．{1,2,3} D．{1,2,4}‎ 解析　B.因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝‎2a1－1，解得a1＝1，‎ 故{an}的通项公式为an＝2n－1.而≤2，即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.‎ ‎10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若2S1,3S2,4S3成等差数列，则等比数列{an}的公比q＝________.‎ 解析　.由2S1,3S2,4S3成等差数列，得6S2＝2S1＋4S3，即3S2＝S1＋2S3,2(S2－S3)＋S2－S1＝0, ‎ 则－‎2a3＋a2＝0，所以公比q＝＝.‎ ‎11.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：B.‎ ‎12．设数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}前2019项的和为________．‎ 解析　－4.由“凸数列”的定义，可写出数列的前几项，即b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…故数列{bn}为周期为6的周期数列．又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，‎ 第7页 故S2019＝S336×6＋3＝b1＋b2＋b3＝1－2－3＝－4.故填－4.‎ 二、三角数列中档解答题 定时练习建议时间：三角和数列各自的前三道8-10分钟左右，后三道10-12分钟左右 ‎ 平均得分：________.‎ ‎13.已知函数f(x)＝2cos2x＋2 sin xcos x.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，若f(C)＝2, 2sin B＝cos(A－C)－cos(A＋C) ，求tan A的值．‎ 解：(1)f(x)＝2cos2x＋2 sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1.‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)因为f(C)＝2sin＋1＝2，所以sin＝.‎ 因为0＜C＜π，所以<‎2C＋<2π＋，所以‎2C＋＝，C＝.‎ 因为2sin B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C，所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Asin C.‎ 则tan A＝＝＝.‎ ‎14．已知函数f(x)＝2sinx·cos2＋cosxsinφ－sinx(0<φ<π)在x＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C.‎ 解：(1)f(x)＝2sinx·＋cosxsinφ－sinx＝sinx＋sinxcosφ＋cosxsinφ－sinx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)．因为f(x)在x＝π处取最小值，所以sin(π＋φ)＝－1，所以sinφ＝1.因为0<φ<π，所以φ＝.‎ ‎(2)由(1)，知f(x)＝sin(x＋)＝cosx.由f(A)＝，得cosA＝.因为角A是△ABC的内角，所以角A＝.‎ 由正弦定理＝，得＝，所以sinB＝.因为b>a，所以B＝或B＝.‎ 当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝；当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝.‎ 故C＝或C＝.‎ ‎15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知acos B－bsin B＝c.(1)若B＝，求A；(2)求sin A＋sin B的取值范围．‎ 解：(1)由已知条件及正弦定理，得sin Acos B－sin2B＝sin C，‎ ‎∵sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，∴sin Acos B－sin2B＝sin(A＋B)，‎ 即sin Acos B－sin2B＝sin Acos B＋cos Asin B，∴cos Asin B＝－sin2B，‎ ‎∵sin B≠0，∴cos A＝－sin B＝－sin ＝－，∵0，∵A＋B<π，∴0，因为|m|＝2sin .而|n|＝2，‎ 所以cos θ＝＝＝＝cos ，即cos ＝.由0b＝，所以Tn＋1，且T1＝10，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an等价于5－λ>，记b 第7页 n＝，n≥2时，＝＝，所以n≥3时<1，(bn)max＝b3＝，所以λ<.‎ ‎23.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，它们满足S4＝2S2＋8，b2＝，T2＝，且当n＝4或5时，Sn取得最小值．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)令cn＝(Sn－λ)(－Tn)，n∈N*，如果{cn}是单调数列，求实数λ的取值范围．‎ 解:(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，因为当n＝4或5时，Sn取得最小值，所以a5＝0，所以a1＝－4d，所以an＝(n－5)d，又由a3＋a4＝a1＋a2＋8，得d＝2，a1＝－8，‎ 所以an＝2n－10；由b2＝，T2＝得b1＝，所以q＝，所以bn＝.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝n2－9n，Tn＝－，cn＝，当{cn}为递增数列时，cnn2－10n＋4恒成立，∴λ∈∅，当{cn}为递减数列时，cn>cn＋1，‎ 即λ2－.‎ 第7页