2019-2020学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期入学考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期入学考试数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期入学考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则P与Q的关系是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出每个集合中表示元素的范围，根据表示元素的范围判断两个集合的关系.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 ，故；‎ 又因为，所以，故；‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的关系，难度较易.求解集合中元素的范围时，一定要注意集合的表示元素是哪一个.‎ ‎2．在等差数列中，若，则的值是 ( )‎ A．10 B．0 C．15 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件利用等差数列通项公式求出首项与公差，将改写成首项与公差的形式即可计算.‎ ‎【详解】‎ 因为 ，所以 ，又，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 等差数列通项公式：；‎ 等差数列求和公式：.‎ ‎3．已知直线的倾斜角为45°，在轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）‎ A．. B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵直线的倾斜角为45°，∴k=tan45°=1，又y轴上的截距为2，代入斜截式得直线方程，故选A ‎【考点】本题考查了直线方程的求法 点评：熟练掌握五种类型的直线方程特点即可解决此类问题 ‎4．的内角,,的对边分别为,,，若 ,则等于（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理求出的值，根据边的大小关系对进行取舍.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得：，又，所以，则（舍） ，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 利用正弦定理求解边或者角的时候，如果出现多解的情况，一定要去判断多个解是否都合适，这里常用的判断依据“大边对大角，小边对小角”.‎ ‎5．如图，在正方体中，M， N分别为棱的中点，以下四个结论：①直线DM与是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.‎ ‎【详解】‎ ‎①：与是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；‎ ‎②：若平行，又平行且，所以平面平面，明显不正确，故错误；‎ ‎③：不共面，所以是异面直线，故正确；‎ ‎④：不共面，所以是异面直线，故正确；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.‎ ‎6．已知数列是等比数列，且，则（ 　）‎ A．0 B．2 C．4 D．0或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等比中项的定义计算的值，再利用等比中项的定义和的值求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由等比中项定义可知：，则；又因为，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 等比数列性质：当时，有.‎ 等比中项定义：当成等比数列时，叫做的等比中项且有.‎ ‎7．已知圆上的一动点到直线的最短距离为,则值为( )‎ A．1 B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】最短距离：即为圆心到直线的距离减去半径.‎ ‎【详解】‎ 圆心到直线的距离，圆的半径，则.‎ ‎【点睛】‎ 圆上点到直线的最小距离和最大距离：‎ 记圆心到直线的距离为，圆的半径为，则最小距离为：，最大距离为：.‎ ‎8．已知正数满足，则的最小值是 (　　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用基本不等式求解（积定和最小）.‎ ‎【详解】‎ 因为，取等号时，故最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 基本不等式：（取等号时，，）.利用基本不等式求解最值的时候一定要注意取等号的条件.‎ ‎9．已知,,,且向量与向量垂直,则的值为( )‎ A．-2 B．0 C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】将向量、用坐标表示出来，再利用向量垂直的坐标表示求解出的值.‎ ‎【详解】‎ 据题意有：，，因为，所以，所以即.‎ ‎【点睛】‎ 向量垂直的坐标表示：，若，则有.‎ 向量平行的坐标表示：，若，则有.‎ ‎10．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】‎ 两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；‎ 且，此时或，可知错误；‎ ‎，，，此时或，可知错误；‎ 两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.‎ ‎11．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．‎ 结合上述观点，可得的最小值为(　　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题设观点将变形为点与点的距离之和，然后再求解最小值.‎ ‎【详解】‎ 据题意有：，表示轴上点到点、的距离之和，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线的距离公式的运用，难度一般.要注意到平面上到两个定点距离最小的点必定位于两定点连线的线段上.‎ ‎12．已知点到直线与直线的距离相等，且，则的最大值是(　 　)‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可得到满足的方程，再根据可得到在平面直角坐标系上所围成的形状，表示与连线的斜率，根据图示即可求解最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，则或，‎ 所以 ，作出目标区域如下图：‎ 蓝色线条即为满足的所表示的范围，且，‎ 又 则的最大值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 线性规划中非线性目标函数的类型：‎ ‎（1）斜率型：表示点与点连线的斜率；‎ ‎（2）表示点与点的距离；‎ ‎（3）表示点到直线距离的倍.‎ 二、填空题 ‎13．已知的顶点为，则AB边的中线所在直线的斜率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出中点坐标，再利用的坐标和中点坐标求斜率.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以中点坐标，又，所以的中线斜率为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中点坐标以及斜率的计算公式，难度容易.‎ ‎14．某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】综合三视图可知，，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 =‎ ‎15．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为二次项含有参数，所以对进行分类讨论，对每种情况进行求解.‎ 时，注意使用去分析.‎ ‎【详解】‎ 当时，有，恒成立；‎ 当时，只需 ，所以.‎ 综上：.‎ ‎【点睛】‎ 恒成立的情况下求参数范围有两种思路：‎ ‎（1）分类讨论，比较适用于参数出现在最高次项；‎ ‎（2）参变分离，比较适用于参数出现在某一次项，通过参变分离构成新函数，然后利用函数最值分析.‎ ‎16．如图所示，在矩形中， ,点为的中点， 为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使得平面平面设直线与平面所成角为，则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在矩形中，过点作的垂线交于点，交于点，设，，由相似可得：，且，在翻折后的几何体中，能推导出平面，则为所成线面角，求出即可求出最大值.‎ ‎【详解】‎ 如图，在矩形中，过点作的垂线交于点，交于点，设，‎ 由以及四边形是矩形可知：，所以，‎ 所以（）；‎ 又在翻折后的几何体中，，所以平面；‎ 所以平面平面；‎ 又因为平面平面，所以平面，连接，则是直线与平面所成角，所以；‎ 因为，，所以 ‎，又，故当时，有最大值，此时有最大值，即有最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题难度较难，主要考查平面中位置关系变换为空间中的位置关系以及线面角最值的求解.处理类似问题的时候，一定要在平面图形中将涉及到的各部分的长度表示出来，这样在后面计算时也能更加方便；同时对于如何找到线面角：通过直线在平面外的一个点向平面作垂线，垂足与直线在平面内点的连线与该直线的夹角即为线面角.‎ 三、解答题 ‎17．‎ 已知数列是公差不为零的等差数列，＝1，且成等比数列．‎ ‎(1)求数列的通项；‎ ‎(2)设，求数列的前n项和Sn.‎ ‎【答案】(1)an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)Sn＝2n＋1－2.‎ ‎【解析】【详解】试题分析：(1)由题设知公差d≠0，‎ 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，‎ 解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 ‎(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 ‎【考点】本题考查了数列的通项公式及前N项和 点评：掌握等差、等比数列的概念及前N项和公式是此类问题的关键。‎ ‎18．已知直线，与直线．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】（1）根据垂直时直线的一般式方程中系数间的关系求解参数；‎ ‎（2）根据平行时直线的一般式方程中系数间的关系求解参数（注意是否重合）.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）或 时，重合，舍去，所以.‎ ‎【点睛】‎ 已知直线：‎ ‎（1）若两直线垂直，则有：；‎ ‎（2）若两直线平行，则有：且.‎ ‎19．在四边形中，．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，求．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】（1）在中通过正弦定理求解出的值，再利用“平方和为”以及角的范围求解出的值；‎ ‎（2）根据角度间关系得到与的关系，然后利用余弦定理求解长度.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在△ABD中，由正弦定理，得，‎ ‎∴sin∠ADB＝，‎ ‎∵∠ADB＜90°，∴cos∠ADB＝．‎ ‎(2)∠ADB＋∠BDC＝，∴cos∠BDC＝cos(－∠ADB)＝sin∠ADB，∴cos∠BDC＝cos(－∠ADB)＝sin∠ADB，∴cos∠BDC＝．‎ ‎∴＝.∴BC＝．‎ ‎【点睛】‎ 解三角形问题中，经常会出现角度和为以及隐含条件内角和为，将这些条件通过三角函数中的诱导公式都可以得到另一种表示形式，要灵活使用：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）因为，则.‎ ‎20．已知动点到点与点的距离之比为2，记动点的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）过点作曲线C的切线，求切线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）根据距离比列出方程，然后化简方程；‎ ‎（2）先考虑斜率不存在的切线方程，再考虑斜率存在时的方程；斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径去求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动点的坐标为，‎ 则， ‎ 所以，化简得，‎ 因此，动点的轨迹方程为；‎ ‎（2）当过点的直线无斜率时，直线方程为，‎ 圆心到直线的距离等于，此时直线与曲线相切；‎ 当切线有斜率时，不妨设斜率为，‎ 则切线方程为，即，‎ 由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得．‎ 所以，切线方程为．‎ 综上所述，切线方程为或．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）轨迹方程问题，如果能使用定义法则用定义法求解，不能使用定义法就直接通过列出题设中等量关系并化简求解；‎ ‎（2）求解圆的切线方程一定要注意直线斜率不存在的情况，斜率不存在可通过圆心与半径去判断；如果开始没发现斜率不存在的情况，那么最后求解时只会得到一个结果，这时候就需要注意，肯定是存在斜率不存在的情况，需继续分析.‎ ‎21．如图，已知在直四棱柱中，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据数量关系得到，再由直四棱柱得到，根据判定定理可得线面垂直；‎ ‎（2）通过的中点，作出二面角的平面角，然后利用余弦定理求解出二面角的余弦值，最后再求正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，‎ ‎．故，，，，即．‎ 又，平面，‎ ‎（2）由（I）知平面，‎ 又平面，，‎ 取的中点, 连结，又，则．‎ 取的中点，连结，则,.‎ ‎∴平面 为二面角的平面角．‎ 连结，在中，，‎ ‎，‎ 取的中点，连结，，‎ 在中，，，．‎ ‎．‎ ‎.‎ 二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）直线与平面垂直的判定定理：直线与平面内的两条相交直线互相垂直，那么该直线垂直于此平面；‎ ‎（2）对于能直接找到二面角的平面角的情况，可以直接代入数值进行计算；如果直接找不方便，可采取利用“三垂线作法”先作出二面角再求解.‎ ‎22．已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.‎ ‎（1）求圆的方程;‎ ‎（2）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用相切时圆心到直线的距离等于半径，求解出半径后即可得到圆的方程；‎ ‎（2）先将向量的数量积运算化简，根据化简后的结果求解相应坐标，最后判断化简的结果是否为定值，注意直线的斜率是否存在.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设圆的半径为.圆与直线相切,‎ ‎.‎ 圆的方程为. ‎ ‎（2） .‎ ‎=.‎ 当直线与轴垂直时，得，则又,‎ ‎.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为.‎ 由解得.‎ ‎.‎ ‎.‎ 综上所述，是定值，且.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，这是求解半径的一个很好的方法；‎ ‎（2）解析几何问题，假设直线方程的时候一定要注意到直线的斜率是否存在这一点..‎