【数学】2019届一轮复习人教A版线面位置关系定理使用不当失误学案

【数学】2019届一轮复习人教A版线面位置关系定理使用不当失误学案

‎ 专题七 立体几何 误区二：线面位置关系定理使用不当失误 一、易错提醒 空间线面位置关系的证明关键在于准确根据判定和性质定理进行逻辑推理,使用过程中应注意定理中条件的完备性,此类问题易出现的问题是不能正确利用相关定理,错用条件或证明过程逻辑性不强等导致失误.‎ 二、典例精析 误区1、位置关系把握不准 ‎【例1】已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (　　)‎ A．l1⊥l2,l2⊥l3 l1∥l3‎ B．l1⊥l2,l2∥l3l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3l1,l2,l3共面 D．l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面 ‎【分析】由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．‎ ‎【误区警示】判断直线和平面的位置关系问题,要准确把握各种位置关系,通常出现的问题有两个遗漏点：一是直线在平面内；二是两个平面相交.解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断,利用空间线面关系证明正确的结论,寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断,但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．‎ ‎【小试牛刀】【广东湛江市2017届高三上 期期中调研考试】若直线与平面相交,则（ ）‎ A．平面内存在直线与异面 B．平面内存在唯一直线与平行 ‎ C. 平面内存在唯一直线与垂直 D．平面内的直线与都相交 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当直线与平面 相交时,这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线,故A正确,与该平面内过交点的直线相交,由此可知B、D均错,该平面内有无数条直线与这条直线垂直,所以C错,故选A.‎ 误区2、忽视定理条件 ‎【例2】如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,‎ AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．‎ 证明：(1)CD⊥AE；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ ‎【分析】第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．‎ ‎【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中,‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC＝A,‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.‎ ‎【误区警示】利用定理证明空间线面关系时,需要注意定理中条件的完备性,即不能随意改、添、漏条件,如【例2】中证明直线和平面垂直,就需要说明平面内的两直线相交等.‎ 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．在解决线面、面面平行与垂直的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行垂直”到“线面平行垂直”,再到“面面平行垂直”；而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”．‎ ‎【小试牛刀】 【贵州遵义2017届高三上 期期中联考】如图,四边形是边长为2的菱形,平面,为的中点．　‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若,求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）1‎ ‎【解析】（1）证明：‎ 如图, 连接交于点,连接,‎ ‎∵四边形是菱形,‎ ‎∴,‎ ‎∵为中点,‎ ‎∴,‎ ‎∵平面,∴平面,‎ ‎∵平面,‎ ‎∴平面平面． ‎ ‎（2）解：∵四边形是边长为2的菱形,‎ ‎∴,‎ ‎∵平面,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∵,∴,∴, ‎ ‎． ‎ 误区3、错用几何体结构特征 ‎【例3】如图五面体中,四边形是矩形,面,,且,,,、、分别为、、的中点.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求证：面.‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的性质,将的中点转化为的中点,即可利用三角形中的中位线得到,然后证明结论；（2）先根据梯形中的数据,通过计算证得,再结合已知线面垂直关系得到,即可证得结论.‎ ‎【解析】（1）连结.‎ 因为四边形是矩形,且为的中点,所以为的中点. ‎ 又因为为的中点,所以, ‎ 又因为面,面,所以面. ‎ ‎（2）取的中点,连结.‎ 因为,且, 所以四边形为平行四边形,‎ 所以,且. ‎ 在中,,.‎ 所以,故. ‎ 由面,得, ‎ 因为,所以面. ‎ ‎【误区警示】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系,如该题中的（1）问需要利用五面体中的面ABCD是矩形,根据对角线的性质确定线段BD与AC的中点.（2）问中利用勾股定理验证线线垂直关系,这些都是证明空间平行与垂直关系的基础.‎ ‎【小试牛刀】如图,在三棱柱中,,顶点在底面上的射影恰为点,‎ 且．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）若为线段的中点,求四棱锥的体积.‎ ‎【证明】（1） 证明：平面, ‎ 平面, ‎ 又,‎ 平面, 平面, 平面 ‎ 又在三棱柱中, 平面 ‎ ‎（2）解： ‎ 取的中点,连结, 则, ‎ 又平面,平面 ‎ 故点到平面的距离,‎ 误区4、忽视平面几何定理 ‎【例4】如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点．‎ 求证：(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B‎1C⊥平面A1MK.‎ ‎【分析】　(1)要证线面平行,需证线线平行．(2)要证面面垂直,‎ 需证线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直． : ]‎ ‎【证明】　(1)如图所示,连接NK.‎ 在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,‎ ‎∵四边形AA1D1D,DD‎1C1C都为正方形,‎ ‎∴AA1∥DD1,AA1＝DD1,C1D1∥CD,C1D1＝CD.[2分]‎ ‎∵N,K分别为CD,C1D1的中点,‎ ‎∴DN∥D1K,DN＝D1K,‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]‎ ‎∴KN∥DD1,KN＝DD1,‎ ‎∴AA1∥KN,AA1＝KN.‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分]‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,‎ ‎∴AN∥平面A1MK.[6分]‎ ‎(2)如图所示,连接BC1.在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,‎ AB∥C1D1,AB＝C1D1.‎ ‎∵M,K分别为AB,C1D1的中点,∴BM∥C1K,BM＝C1K.‎ ‎∴四边形BC‎1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[8分]‎ 在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,A1B1⊥平面BB‎1C1C,‎ BC1⊂平面BB‎1C1C,∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB‎1C1C为正方形,∴BC1⊥B‎1C.[10分]‎ ‎∴MK⊥B‎1C.∵A1B1⊂平面A1B1C,B‎1C⊂平面A1B1C,A1B1∩B‎1C＝B1,∴MK⊥平面A1B‎1C.又∵MK⊂平面A1MK,‎ ‎∴平面A1MK⊥平面A1B‎1C.[12分]‎ ‎【误区警示】(1)步骤规范是答题得满分的最后保证,包括使用定理的严谨性,书写过程的流畅性．‎ ‎(2)本题证明常犯错误：‎ ‎①定理应用不严谨．如：要证AN∥平面A1MK,必须强调AN⊄平面A1MK.‎ ‎②解题过程不完整,缺少关键步骤,如第(1)问中,应先证四边形ANKA1为平行四边形．第(2)问中,缺少必要的条件,使思维不严谨,过程不流畅．‎ ‎【小试牛刀】【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考】如图,四棱锥中,底面四边形为菱形,.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若,,求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）2‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：设的中点为,连接,‎ ‎,,又,,‎ ‎,又,.‎ ‎（Ⅱ）解：中,,,.‎ 又,,,,‎ ‎,.‎ 三、迁移运用 ‎1．【宁夏银川2018届高三4月高中教 质量检测】是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）‎ A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 ‎【答案】D[ : , , ,X,X,K]‎ ‎【解析】对于A，如果则∥或，因为，则，故正确；对于B，如果，那么与无公共点，则，故正确；对于C，如果，则，故正确；对于D，如果，那么与的关系不确定，故错误.故选D.‎ ‎2．【东北三省三校2018届高三第二次模拟】设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若， ，则 B. 若, ,则 C. 若， , ，则 D. 若，且，点，直线，则 ‎【答案】C ‎3．【重庆市巴蜀中 2018届高三适应性月考】设是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】①中，由条件可得或相交，故①不正确；‎ ‎②中，由条件可得或，故②不正确；‎ ‎③中，由条件可得或，故③不正确．‎ 综上真命题的个数是0．选A．‎ ‎4．【陕西省榆林市2018届高三高考模拟第二次测试】如图，在三棱台的6个项点中任取3个点作平面，设平面，若，则这3个点可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当为平面时，因为平面，平面平面，‎ 平面 所以，‎ 故选：D ‎5．【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①平面；②为等边三角形；③平面平面；④点在平面内的射影为的外接圆圆心.其中正确的有（ ）‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于三角形为等腰直角三角形,故,所以平面,故①正确,排除选项.由于,且平面平面,故平面,所以,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除选项.由于,且为等边三角形,故点在平面内的射影为的外接圆圆心, ④正确,故选.‎ ‎6.【中原名校豫南九校2017届上 期第四次质量考评】已知是两条不同直线,是平面,则下列命题是真命题的是（ ）‎ A．若,,则 B．若,,则 ‎ C.若,,则 D．若,,则 ‎【答案】B ‎【解析】若,,则有可能；若,,则有可能；若,,则有可能；,所以选B.‎ ‎7．对于不重合的两平面,给定下列条件：‎ ‎①存在平面,使得都垂直于； ‎ ‎②存在平面,使得都平行于； ‎ ‎③存在直线；‎ ‎④存在异面直线 其中可以判定平行的条件有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】①当与平行．此时能够判断①存在平面,使得都平行于；当两个平面不平行时,不存在满足①的平面,所以不正确．②存在平面,使得都垂直于；可以判定与平行,如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．②正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时,此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作,则与必相交．又∵,∴,∴．故选B．‎ ‎8．已知：表示不同的直线,表示不同的平面,现有下列命题：①,②,③,④,其中真命题有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】①中或,故①错；②中设经过的平面与交于,则,因为,所以,所以,故②正确；③中可能在内也可能与平行还可能与相交,故③错；④中或,故④错,故选B．‎ ‎9．已知异面直线,成角,为空间中一点,则过与,都成角的平面（ ）‎ A．有且只有一个 B．有且只有两个 ‎ C．有且只有三个 D．有且只有四个 ‎【答案】B．‎ ‎【解析】分析题意可知,若平面与,都成角,则,与该平面的垂线夹角也为,故原问题等价于求直线,使得与,都都成角,如下图所示,把异面直线,平移到相交,使交点为,此时,过点作直线平分,∴,将直线从旋转至与平面垂直的位置,根据对称性从而可知满足题意的直线有两条,故选B．‎ ‎10．如图,矩形中,,为边的中点,将沿直线翻折成,若为线段的中点,则在翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)‎ ‎（1）是定值 ‎ ‎（2）点在某个球面上运动 ‎（3）存在某个位置,使 ‎ ‎（4）存在某个位置,使平面 ‎【答案】（1）（2）（4）．‎ ‎【解析】取中点,连接,,则,,∴平面平面,‎ ‎∴平面,故（4）正确；由,为定值,为定值,‎ 由余弦定理可得,∴是定值,故（1）正确；‎ ‎∵是定点,∴是在以为圆心,为半径的圆上,故（2）正确；∵在平面中的射影为,与不垂直,∴存在某个位置,使错误,故（3）错误．‎ ‎11． 已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影可能是 ‎①两条平行直线； ②两条互相垂直的直线；‎ ‎③同一条直线； ④一条直线及其外一点．‎ 则在上面的结论中,正确结论的编号是________．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】①、②、④对应的情况如下：‎ 用反证法证明③不可能．‎ ‎12.如图,正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C‎1C的中点,有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误．‎ ‎13. 【广东湛江市2017届高三上 期期中】四棱锥的侧面是等边三角形,,,是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）取中点,连结,‎ 是中点,‎ ‎∴,且.‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）取中点,连结,‎ 是正三角形,‎ ‎∴.‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎,且 ‎∴,‎ 由（Ⅰ）知底面为直角梯形,‎ ‎∴,‎ ‎∴四棱锥的体积.‎ ‎14. 【河南豫北名校联盟2017届高三上 期精英对抗赛】‎ 如图,在直三棱柱中,是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若,求证：.‎ ‎【答案】(1)(2)均见解析.‎ ‎（2）因为,为的中点,所以. ‎ 据直三棱柱性质知平面,又因为平面,所以.‎ 又因为,平面,‎ 所以平面, ‎ 又因为平面,所以,即. ‎ ‎15. 【湖南郴州市2017届高三第二次教 质量监测】如图甲,在直角梯形中,,,,,是的中点,是与的交点,将沿折起到的位置,如图乙．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面平面,求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：在图甲中,,,是的中点,,‎ ‎, ‎ 即在图乙中,,． ‎ 又,平面． ‎ ‎,,‎ 四边形是平行四边形,[ : K]‎ ‎, ‎ 平面． ‎ ‎（Ⅱ）解：由已知,,平面平面,,‎ 平面,, ‎ ‎,又由（Ⅰ）知,平面,平面,‎ ‎．‎ ‎,． ‎ 设到平面的距离为,且,,,‎ 由得：, ‎ ‎,故到平面的距离为． ‎ ‎16. 【四川凉山州2017届高三上 期一诊】如图,已知四边形和均为直角梯形,,且,平面平面,．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明：∵平面平面,平面平面,,平面,∴平面,‎ 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎,,‎ ‎∴取,得,‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎∵平面,∴平面．‎ ‎17. 【河北衡水中 2017届高三上 期五调】如图,在四棱锥中,底面为菱形, ,,点在线段上,且,为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵为的中点,∴, ‎ ‎∵底面为菱形,,∴, [ : 。 。 ]‎ ‎∵,∴平面.‎ ‎（2）∵,‎ ‎∴, ‎ ‎∵平面平面,平面平面,,‎ ‎∴平面, ‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵平面,∴平面.‎ ‎∵,∴.‎ ‎18. 【河北唐山2017届高三上期期末】如图,四棱锥中,底面为线段上一点,为的中点． ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）过N作NE∥BC,交PB于点E,连AE,‎ ‎∵CN＝3NP,∴EN∥BC且EN＝BC,‎ 又∵AD∥BC,BC＝2AD＝4,M为AD的中点,‎ ‎∴AM∥BC且AM＝BC,∴EN∥AM且EN＝AM,‎ ‎∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE,‎ 又∵MN平面PAB,AE平面PAB,∴MN∥平面PAB． ‎ ‎（2）连接AC,在梯形ABCD中,‎ 由BC＝2AD＝4,AB＝CD,∠ABC＝60°,得AB＝2,∴AC＝2,AC⊥AB．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC．‎ 又∵PA∩AB＝A,∴AC⊥平面PAB．‎ 又∵CN＝3NP,∴N点到平面PAB的距离d＝AC＝． ‎ ‎19．【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟】如图， 是边长为3的等边三角形，四边形为正方形，平面平面.点、分别为、上的点，且，点为上的一点，且.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）连接，当时， ，∴四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵，∴，∵， ，‎ ‎∴平面平面，又平面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点为，连接，则，‎ ‎∵平面平面，∴平面.‎ 过点作于点，连接，则.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵， ， 平面，∴平面，‎ ‎∴，又，∴平面，∴，‎ 又为正方形，∴，∴，∴，‎ ‎∴ .‎ ‎20．【江西省2018届高三毕业班新课程教 质量监测】如图，在直三棱柱中， ‎ ‎， 为线段上的一点，且， .‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若为的中点，若平面，求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，‎ ‎.[ : K]‎ ‎, . ‎