高考理科数学专题复习练习7.1不等关系与一元二次不等式

高考理科数学专题复习练习7.1不等关系与一元二次不等式

第七章不等式　推理与证明 ‎7.1不等关系与一元二次不等式 专题1‎ 不等式的性质及应用 ‎■(2015河北保定一模,不等式的性质及应用,选择题,理11)司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.甲合适 B.乙合适 C.油价先高后低甲合适 D.油价先低后高甲合适 解析:设司机甲每次加油量为x,司机乙每次加油费为y,两次加油的单价分别为a,b,则司机甲两次加油的均价为ax+bx‎2x‎=‎a+b‎2‎,司机乙两次加油的均价为‎2yya‎+‎yb‎=‎2aba+b且a+b‎2‎-‎2aba+b=‎‎(a-b‎)‎‎2‎‎2(a+b)‎≥0.又a≠b,所以‎(a-b‎)‎‎2‎‎2(a+b)‎>0,即a+b‎2‎‎>‎‎2aba+b,所以这两次加油的均价,司机乙的较低,所以乙更合适,故选B.‎ 答案:B ‎■(2015河北石家庄高三质检二,不等式的性质及应用,选择题,理2)如果a0,所以ab>b2,B错误;因为ab-a2=a(b-a)<0,所以-ab>-a2,C错误;a|b|,D错误,故选A.‎ 答案:A ‎7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 专题1‎ 二元一次不等式(组)表示的平面区域问题 ‎■(2015江西赣州高三摸底考试,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题,理14)若不等式组x-y≤0,‎x-2y+2≥0,‎x≥m表示的平面区域是面积为‎16‎‎9‎的三角形,则m的值为　　　　　. ‎ 解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,所围成的面积为S△ABC=‎1‎‎2‎m‎2‎‎+1-m(2-m)=‎16‎‎9‎,解得m=-‎2‎‎3‎或m=‎14‎‎3‎(舍去).‎ 答案:-‎‎2‎‎3‎ 专题2‎ 与目标函数有关的最值问题 ‎■(2015河北保定一模,与目标函数有关的最值问题,选择题,理10)已知x,y满足kx-y+2≥0(k<0),‎x+y-2≥0,‎y≥0,‎则使目标函数z=y-x取得最小值-4的最优解为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(2,-2) B.(-4,0) C.(4,0) D.(7,3)‎ 解析:因为直线kx-y+2=0恒过点(0,2),由此作出x,y满足的平面区域如图中的阴影部分所示,由图知当目标函数z=y-x经过点A‎-‎2‎k,0‎时,z取得最小值-4,所以zmin=0-‎-‎‎2‎k=-4,解得k=-‎1‎‎2‎,所以目标函数z=y-x取得最小值-4的最优解为(4,0),故选C.‎ 答案:C ‎■(2015河北石家庄二中一模,与目标函数有关的最值问题,选择题,理6)设z=x+y,其中实数x,y满足x+2y≥0,‎x-y≤0,‎‎0≤y≤k,‎若z的最大值为6,则z的最小值为(　　)‎ A.-3 B.-2 C.-1 D.0‎ 解析:作出实数x,y满足的平面区域如图中的阴影部分所示,由图可知当目标函数z=x+y经过点A(k,k)时,z取得最大值,即zmax=k+k=6,解得k=3,当目标函数z=x+y经过点B(-2k,k)时,z取得最小值,所以zmin=-2×3+3=-3,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015河北衡水中学二模,与目标函数有关的最值问题,填空题,理14)设变量x,y满足约束条件y≤x,‎x+y≥2,‎y≥3x-6,‎则目标函数z=2x+y的最小值为　　　　　. ‎ 解析:在平面直角坐标系中画出可行域△ABC(如图所示),则A(2,0),B(1,1),C(3,3),则当y=z-2x经过点B(1,1)时,目标函数z=2x+y取得最小值为3.‎ 答案:3‎ ‎■(2015江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学高三联考,与目标函数有关的最值问题,选择题,理6)已知实数x,y满足‎2x-y+6≥0,‎x+y≥0,‎x≤2,‎若目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[-1,2] B.[-2,1] C.[2,3] D.[-1,3]‎ 解析:在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线-mx+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,10)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=-mx+y取得最大值;当平移到经过该平面区域内的点(2,-2)时,相应直线在y轴上的截距达到最小,此时z=-mx+y取得最小值,结合图形可知,实数m的取值范围是[-1,2],故选A.‎ 答案:A ‎■(2015江西九校高三联考,与目标函数有关的最值问题,选择题,理8)设x,y满足约束条件x-y+2≥0,‎‎4x-y-4≤0,‎x≥0,‎y≥0,‎若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则log‎2‎‎2‎a‎+‎‎1‎b的最小值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.2 C.6 D.‎‎1‎‎6‎ 解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线ax+by=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,4)时,相应直线在x轴上的截距达到最大,此时z=ax+by取得最大值,于是有2a+4b=8,即a‎4‎‎+‎b‎2‎=1,‎2‎a‎+‎1‎b=‎‎2‎a‎+‎‎1‎ba‎4‎‎+‎b‎2‎=1+a‎4b‎+‎ba≥1+2a‎4b‎×‎ba=2,当且仅当a‎4b‎=‎ba,即a=2b=2时取等号,因此‎2‎a‎+‎‎1‎b的最小值是2,log‎2‎‎2‎a‎+‎‎1‎b的最小值是log‎2‎2=2,故选B.‎ 答案:B ‎■(2015河北石家庄高三质检二,与目标函数有关的最值问题,选择题,理4)已知实数x,y满足条件y≥x,‎x+y≥1,‎x≥1,‎则z=2x+y的最小值为(　　)‎ A.3 B.2 C.‎3‎‎2‎ D.0‎ 解析:结合图形求解.作出约束条件对应的平面区域如图,当目标函数y=-2x+z经过点(1,1)时,z取得最小值3,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015江西南昌一模,与目标函数有关的最值问题,选择题,理5)已知实数x,y满足x+1-y≥0,‎x+y-4≤0,‎y≥m,‎若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.-‎‎1‎‎2‎ 解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(m-1,m),(4-m,m),‎3‎‎2‎‎,‎‎5‎‎2‎为顶点的三角形其中m<‎‎5‎‎2‎,当目标函数y=-2x+z经过点(4-m,m)时,z取得最大值8-m;经过点(m-1,m)时,z取得最小值3m-2,所以(8-m)-(3m-2)=2,解得m=2,故选C.‎ 答案:C ‎■(2015江西南昌二模,与目标函数有关的最值问题,选择题,理5)若实数x,y满足条件x+y≥0,‎x-y+1≥0,‎‎0≤x≤1,‎则x-3y的最小值为(　　)‎ A.-5 B.-3 C.1 D.-1‎ 解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,设z=x-3y,则y=x‎3‎‎-‎z‎3‎,由图象可知当y=x‎3‎‎-‎z‎3‎经过x=1,‎x-y+1=0‎的交点(1,2)时,zmin=-5,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015河北石家庄高三质检一,与目标函数有关的最值问题,填空题,理14)实数x,y满足条件x+y-4≤0,‎x-2y+2≥0,‎x≥0,y≥0,‎则z=x-y的最小值为　　　　　. ‎ 解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则当目标函数过点A(0,1)时,z=x-y取得最小值-1.‎ 答案:-1‎ ‎7.3基本不等式及其应用 专题1‎ 利用基本不等式求最值 ‎■(2015河北石家庄二中一模,利用基本不等式求最值,选择题,理12)已知点A(1,-1),B(4,0),C(2,2),平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC(1<λ≤a,1<μ≤b)的点P(x,y)组成,若区域D的面积为8,则a+b的最小值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎3‎‎2‎ B.2 C.4 D.8‎ 解析:如图所示,延长AB到点N,延长AC到点M,使得|AN|=a|AB|,|AM|=b|AC|,作CH∥AN,BF∥AM,NG∥AM,MG∥AN,则四边形ABEC,ANGM,EHGF均为平行四边形.由题意知点P(x,y)组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部.因为AB=(3,1),AC=(1,3),BC=(-2,2),所以|AB|=‎10‎,|AC|=‎10‎,|BC|=2‎2‎,所以cos∠CAB=AC‎·‎AB‎|AC||AB|‎‎=‎6‎‎10‎‎×‎‎10‎=‎‎3‎‎5‎,sin∠CAB=‎4‎‎5‎,所以四边形EFGH的面积S=(a-1)×‎10‎×(b-1)×‎10‎‎×‎‎4‎‎5‎=8,所以(a-1)(b-1)=1,即‎1‎a‎+‎‎1‎b=1,所以a+b=‎1‎a‎+‎‎1‎b(a+b)=2+ba‎+‎ab≥2+2ba‎·‎ab=4,当且仅当a=b=2时取等号,故选C.‎ 答案:C ‎■(2015江西赣州高三摸底考试,利用基本不等式求最值,填空题,理16)已知数列{an}满足an+an+1=(-1‎)‎n(n+1)‎‎2‎n,Sn是其前n项和,若S2 015=-1 007-b,且a1b>0,则‎1‎a‎1‎‎+‎‎2‎b的最小值为.‎ 解析:由已知得a2+a3=-2,a4+a5=4,…,a2012+a2013=2012,a2014+a2015=-2014,把以上各式相加得S2015-a1=-2014+1006=-1008,所以S2015=a1-1008=-1007-b,即a1+b=1,所以‎1‎a‎1‎‎+‎2‎b=a‎1‎‎+ba‎1‎+‎‎2(a‎1‎+b)‎b=3+ba‎1‎‎+‎‎2‎a‎1‎b≥3+2‎2‎.‎ 答案:3+2‎‎2‎ ‎■(2015河北石家庄高三质检一,利用基本不等式求最值,填空题,理15)已知圆C:x2+y2=1,过第一象限内一点P(a,b)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,若∠APB=60°,则a+b的最大值为　　　　　. ‎ 解析:因为∠APB=60°,PA,PB为切线,所以∠OPB=30°,OB⊥PB.又因为OB=1,所以OP=2,点P满足a2+b2=4(a>0,b>0),则(a+b)2=4+2ab≤4+a2+b2=4+4=8,所以a+b的最大值为2‎2‎.‎ 答案:2‎‎2‎ ‎7.4合情推理与演绎推理 专题1‎ 归纳推理 ‎■(2015江西南昌二模,归纳推理,填空题,理15)观察下面数表:‎ ‎1,‎ ‎3,5,‎ ‎7,9,11,13,‎ ‎15,17,19,21,23,25,27,29,‎ ‎……‎ 设1 027是该表第m行的第n个数,则m+n等于　　　　　. ‎ 解析:该数表的通项公式为ak=2k-1,由2k-1=1027得k=514,所以1027是第514个奇数,前m行共有1+2+22+…+2m-1=2m-1个奇数.当m=9时,2m-1=511,所以1027是第10行的第3个数,所以m+n=13.‎ 答案:13‎ ‎■(2015河北石家庄高三质检一,归纳推理,填空题,理16)观察如图所示的三角形数阵,依此规律,则第61行的第2个数是　　　　　. ‎ ‎1‎ ‎3　3‎ ‎5　6　5‎ ‎7　11　11　7‎ ‎9　18　22　18　9‎ ‎11　27　40　40　27　11‎ ‎……‎ 解析:观察数阵可得当n≥2时,第n行的第2个数为2+1+3+5+…+[2(n-1)-1]=2+(n-1)2,所以第61行的第2个数为2+(61-1)2=3602.‎ 答案:3 602‎