江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第一次月考数学（文）试卷

江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第一次月考数学（文）试卷

文科数学试题 考试时间120分钟 总分150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足（为虚数单位），则复数虚部为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.等差数列中，，则（ ）‎ A．8 B．12 C．16 D．20 ‎ ‎4. 在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，‎ 则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.若平面向量在方向上的投影为2，且，则（ ）‎ A． B． C． D．20 ‎ ‎7．函数的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入，，的值分别为，，，则输出和的值分别为（ ）‎ A． ， B．， ‎ C． ， D．， ‎ ‎10．偶函数的图象在处的切线斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为、，左、右焦点分别是,在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已知定义在上的函数对于任意的都满足，当 时，，若函数至少有6个零点，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000人、1050人、1200人，若按分层抽样从全校抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出 名学生.‎ ‎14. 在区间上随机取两个数、,则其中使函数在内有零点的概率是 _____. ‎ ‎15.设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前项和 . ‎ ‎16. 已知长方体各个顶点都在球面上，, , 过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17、（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，函数在处取得最小值.‎ ‎（1）求角的大小.‎ ‎（2）若且，求的面积.‎ ‎18、（本小题满分12分）为了研究数学、物理成绩的关联性，某位老师从一次考试中随机抽取30名学生，将数学、物理成绩进行统计，所得数据如下表，其中数学成绩在120分以上（含120分）为优秀，物理成绩在80分以上（含80分）为优秀。‎ 编号 数学成绩 物理成绩 编号 数学成绩 物理成绩 编号 数学成绩 物理成绩 ‎1‎ ‎108‎ ‎82‎ ‎11‎ ‎124‎ ‎80‎ ‎21‎ ‎122‎ ‎64‎ ‎2‎ ‎112‎ ‎76‎ ‎12‎ ‎136‎ ‎86‎ ‎22‎ ‎136‎ ‎82‎ ‎3‎ ‎130‎ ‎78‎ ‎13‎ ‎127‎ ‎83‎ ‎23‎ ‎114‎ ‎84‎ ‎4‎ ‎132‎ ‎91‎ ‎14‎ ‎80‎ ‎73‎ ‎24‎ ‎121‎ ‎80‎ ‎5‎ ‎108‎ ‎68‎ ‎15‎ ‎138‎ ‎81‎ ‎25‎ ‎88‎ ‎52‎ ‎6‎ ‎140‎ ‎88‎ ‎16‎ ‎141‎ ‎91‎ ‎26‎ ‎142‎ ‎83‎ ‎7‎ ‎143‎ ‎92‎ ‎17‎ ‎109‎ ‎85‎ ‎27‎ ‎125‎ ‎69‎ ‎8‎ ‎99‎ ‎72‎ ‎18‎ ‎100‎ ‎80‎ ‎28‎ ‎135‎ ‎90‎ ‎9‎ ‎106‎ ‎84‎ ‎19‎ ‎92‎ ‎73‎ ‎29‎ ‎112‎ ‎82‎ ‎10‎ ‎120‎ ‎77‎ ‎20‎ ‎132‎ ‎82‎ ‎30‎ ‎128‎ ‎92‎ ‎（1）根据表格完成下面的列联表：‎ 数学成绩不优秀 数学成绩优秀 合计 物理成绩不优秀 物理成绩优秀 合计 并判断有多少把握数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联？‎ ‎（2）若这一次考试物理成绩关于数学成绩的回归方程为，由图中数据计算成，，据此估计，数学成绩每提高10分，物理成绩约提高多少分？（精确到0.1）.‎ ‎【附1】独立性检验：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【附2】若为样本点，为回归直线，‎ 则 ‎19．（本小题满分12分）如图，在矩形中，分别为的中点，现将沿折起，得四棱锥 .‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若平面平面，求四面体的体积.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，其左右焦点分别为、，，设点、是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为.‎ ‎⑴求椭圆的方程； ⑵求证：为定值，并求该定值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数为的导函数.‎ ‎(1)令，试讨论函数的单调区间；‎ ‎(2)证明：．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22.（本小题满分10分）直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线.‎ ‎(1)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；‎ ‎(2)射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.‎ ‎23.（本小题满分10分）已知函数（）．‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围．‎ 参考答案 ‎1-12 ACBBC CCBDA DA ‎13. 1 14. 15. 16. 5‎ ‎17.解：由已知得；………………3分 ‎………………6分 ‎(2)由正弦定理得………………8分 即由余弦定理 ‎………………10分 ‎………………………12分 ‎18.解：（1）2×2列联表 数学成绩不优秀 数学成绩优秀 合计 物理成绩不优秀 ‎6‎ ‎4‎ ‎10‎ 物理成绩优秀 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 合计 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎……………………2分 ‎∴……………4分 而 ∴有85℅把握数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联。……6分 ‎（2）根据所给公式可求：……………8分 ‎ ∴关于的回归方程为.……………10分 ‎ 据此估计，数学成绩每提高10分，物理成绩约提高3.2分。……………12分 ‎19．解：(1)取线段的中点，连接， ……………………………1分 因为为的中点，所以，且，‎ 在折叠前，四边形为矩形，为的中点，‎ 所以，且.…………………………………………………2分 所以，且,…………………………………………………………3分 所以四边形为平行四边形，故， …………………………………4分 又平面平面，‎ 所以// 平面.…………………………………………………………………5分 ‎(2) 在折叠前，四边形为矩形，为的中点，‎ 所以都是等腰直角三角形，且，‎ 所以，且.‎ 又，………………………………7分 又平面平面，平面平面平面，‎ 所以平面，即为三棱锥的高. ……………………………9分 因为为的中点，所以，………………………10分 所以四面体的体积.……………12分 ‎20.解：⑴，，∴，‎ 则椭圆的方程为 ……………4分 ‎⑵由于，则， …………6分 而，，则，‎ ‎∴，则 …………9分 ‎，展开得为一定值. …………12分 ‎21．【解析】（1） ‎ ‎…………………………………………………1分 当时， 单调递增，‎ 的单调增区间为，无单调减区间；………………………………………2分 当时， 得，…………………………………………………3分 当；所以的单调递增区间为，……………4分 当，单调递减区间为……………………5分 ‎（2）即证： ，即证： ………………………6分 令，……7分 当时， 单调递减；‎ 当时， 单调递增；‎ 所以的最小值为，………………………………………………………8分 令，则，…………………………………………………9分 当时， 单调递增；‎ 当时， 单调递减；‎ 所以的最大值为，……………………………………………………10分 因为，……………………………………………………………………………11分 所以，即.…………………………………………………12分 ‎22.解：（1）曲线:（为参数）化为普通方程为，‎ 所以曲线的极坐标方程为，……………………2分 曲线的极坐标方程为.……………………4分 ‎（2）射线与曲线的交点的极径为，……………6分 射线与曲线的交点的极径满足，‎ 解得，…………………8分 所以 …………………………………10分 ‎23.解：（1）当时，， ,‎ 上述不等式可化为或或,‎ 解得或或, ∴或或，‎ ‎∴原不等式的解集为. ……………………………5分 ‎（2）∵的解集包含，∴在上恒成立，‎ ‎∴，即∴,‎ ‎∴在上恒成立，∴∴，‎ 所以实数a的取值范围是．……………………………10分