数学卷·2018届四川省资阳市简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届四川省资阳市简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年四川省资阳市简阳市阳安中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，12个小题共60分）‎ ‎1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎2．已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l∥α，α⊥β，则l∥β B．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥α D．若l⊥α，α⊥β，则l∥β ‎3．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为=60+90x，下列判断正确的是（　　）‎ A．劳动生产率为1000元时，工资为50元 B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元 C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元 D．劳动生产率为1000元时，工资为90元 ‎4．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ A．8 cm3 B．12 cm3 C． cm3 D． cm3‎ ‎6．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（　　）‎ A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次 B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次 C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人 D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人 ‎7．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤6‎ ‎8．从集合{1，2，3，4} 中有放回地随机抽取2次，每次抽取1个数，则2次抽取数之和等于4的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．向等腰直角三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．△ABC中，AB=6，AC=8，∠BAC=90°，△ABC所在平面α外一点P到点A、B、C的距离都是13，则P到平面α的距离为（　　）‎ A．7 B．9 C．12 D．13‎ ‎11．如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若命题“∃x0∈R使得x02+mx0+2m+5＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣10，6] B．（﹣6，2] C．[﹣2，10] D．（﹣2，10）‎ ‎　‎ 二、填空题：（每小题5分，4个小题共12分）‎ ‎13．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为　　．‎ ‎14．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为　　．‎ ‎15．已知命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0；命题q：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1＞0，则p∧￢q的真假为　　．‎ ‎16．在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=12，∠ACB=30°，AB=6，则PB与平面ABC所成角的余弦值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 ‎（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；‎ ‎（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．‎ ‎18．已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，“p∧q”与“¬q”同时为假命题，求x的值．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．‎ ‎（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．‎ ‎20．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得xi=80， yi=20， xiyi=184， x=720．‎ ‎（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b，其中，为样本平均值．‎ ‎21．从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量（单位：克）的频数分布表如表：‎ 分组（重量）‎ ‎[80，85）‎ ‎[85，90）‎ ‎[90，95）‎ ‎[95，100）‎ 频数（个）‎ ‎10‎ ‎50‎ m ‎15‎ 已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的土鸡蛋的根底为 ‎（1）求出n，m的值及该样本的众数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2 个，其重量分别是g1，g2，求|g1﹣g2|≥10的概率？‎ ‎22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省资阳市简阳市阳安中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，12个小题共60分）‎ ‎1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．‎ ‎【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．‎ 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l∥α，α⊥β，则l∥β B．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥α D．若l⊥α，α⊥β，则l∥β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用线面平行、线面垂直．面面垂直的性质，对四个选项分别分析解答．‎ ‎【解答】解：对于A，若l∥α，α⊥β，则l可能在β或者l∥β；故A错误；‎ 对于B，若l⊥α，α∥β，得到l⊥β，又m⊂β，则l⊥m；故B 正确；‎ 对于C，若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l与α可能平行、相交或者在α内；故C错误；‎ 对于D，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或者l⊂β；故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为=60+90x，下列判断正确的是（　　）‎ A．劳动生产率为1000元时，工资为50元 B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元 C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元 D．劳动生产率为1000元时，工资为90元 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据所给的线性回归方程，当x增加1时，y要增加90元，当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，这里的值是平均增加90元．‎ ‎【解答】解：∵回归直线方程为，‎ ‎∴当x增加1时，y要增加90元，‎ ‎∴当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A．利用否命题的定义即可判断出；‎ B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，即可判断出；‎ C．利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出；‎ D．利用命题的否定即可判断出．‎ ‎【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；‎ B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x2‎ ‎﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确；‎ C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；‎ D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确．‎ 综上可得：只有C正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ A．8 cm3 B．12 cm3 C． cm3 D． cm3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据已知中的三视图可分析出该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，结合图中数据，即可求出体积．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得，‎ 该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，‎ 且正方体的棱长为2，正四棱锥的高为2；‎ 所以该组合体的体积为 V=V正方体+V正四棱锥=23+×22×2=cm3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（　　）‎ A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次 B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次 C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人 D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人 ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据频率=小矩形的高×组距，求得第一组，第二组，第三组的频率，利用中位数的左，右两边频率相等求得中位数；验证A是否正确．‎ 根据最高矩形的底边中点的横坐标为数据的众数求得众数；验证B是否正确；‎ 利用频率=小矩形的高×组距=求1分钟仰卧起坐的成绩超过30次的频数和1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的频数，由此可验证C、D是否正确．‎ ‎【解答】解：第一组数据的频率为0.02×5=0.1；第二组数据的频率为0.06×5=0.3，第三组的频率为0.08×5=0.4，‎ ‎∴中位数在第三组内，设中位数为25+x，则x×0.08=0.5﹣0.1﹣0.3=0.1，∴x=1.25，∴数据的中位数为26.25，故A正确；‎ 最高矩形是第三组数据，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B正确；‎ 学生1分钟仰卧起坐的成绩超过30次的频率为0.04×5=0.2，∴超过30次的人数为1600×0.2=320人，故C正确；‎ 学生1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的频率为0.02×5=0.1，∴1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的人数为1600×0.1=160人，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件．‎ ‎【解答】解：∵算法的功能是计算值，共循环5次，‎ ‎∴跳出循环体的n值为12，k值为6，‎ ‎∴判断框内应填的条件是k＞5或k≥6．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．从集合{1，2，3，4} 中有放回地随机抽取2次，每次抽取1个数，则2次抽取数之和等于4的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=4×4=16，再用列举法求出2次抽取数之和等于4包含的基本事件个数，由此能求出2次抽取数之和等于4的概率．‎ ‎【解答】解：从集合{1，2，3，4} 中有放回地随机抽取2次，每次抽取1个数，‎ 基本事件总数n=4×4=16，‎ ‎2次抽取数之和等于4包含听基本事件有：‎ ‎（1，3），（3，1），（2，2），共有m=3个，‎ ‎∴2次抽取数之和等于4的概率为p=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．向等腰直角三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由于点M随机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上任一点是等可能的，可将线段AB看做区域D，以长度为“测度”来计算．‎ ‎【解答】解：记“AM小于AC”为事件E．则当点M位于图中非阴影时，AM小于AC，‎ 设AC=1，图中非阴影部分的面积为：‎ 于是AM小于AC的概率为： =．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．△ABC中，AB=6，AC=8，∠BAC=90°，△ABC所在平面α外一点P到点A、B、C的距离都是13，则P到平面α的距离为（　　）‎ A．7 B．9 C．12 D．13‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】由Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，知BC=10，由△ABC所在平面α外的一点P到三个顶点A、B、C的距离都为13，点P在α内的射影是O，知Rt△ABC的外心是O，故O是BC的中点，AO=BO=CO=5，由此能求出PO．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，‎ ‎∴BC==10，‎ ‎∵△ABC所在平面α外的一点P到三个顶点A、B、C的距离都为13，‎ 点P在α内的射影是O，‎ ‎∴AO=BO=CO，‎ ‎∴Rt△ABC的外心是O，故O是BC的中点，‎ ‎∴AO=BO=CO=5，‎ ‎∴PO==12．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．‎ ‎【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D ‎∴D1B∥DF1‎ ‎∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角 设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=‎ 在△DF1A中，cos∠DF1A=，‎ 故选A ‎　‎ ‎12．若命题“∃x0∈R使得x02+mx0+2m+5＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣10，6] B．（﹣6，2] C．[﹣2，10] D．（﹣2，10）‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】首先，求解该命题的否定成立时实数m的取值范围，从而得到所求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m+5＜0”，‎ 它的否定为∀x∈R，x02+mx0+2m+5≥0，是真命题，‎ 此时满足：‎ ‎△≤0，‎ ‎∴m2﹣8m﹣20≤0，‎ ‎∴﹣2≤m≤10，‎ ‎∴命题：∀x∈R，x02+mx0+2m+5≥0，‎ 成立时，实数m的取值范围为[﹣2，10]，‎ ‎∴m∈[﹣2，10]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每小题5分，4个小题共12分）‎ ‎13．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为　76　．‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号成等差数列，公差为16，再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号成等差数列，公差为16，‎ 再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号为：12，28，44，60，76，‎ 故该样本中产品的最大编号为 76，‎ 故答案为：76．‎ ‎　‎ ‎14．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为　2　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差．‎ ‎【解答】解：由已知a，0，1，2，3，的平均数是1，即有（a+0+1+2+3）÷5=1，易得a=﹣1，‎ 根据方差计算公式得s2= [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=×10=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．已知命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0；命题q：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1＞0，则p∧￢q的真假为　假　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】先判断命题p与命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵△=1﹣4=﹣3＜0，‎ 故x2+x+1＞0恒成立，‎ 故命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0为假命题，‎ 当x∈[﹣1，1]时，x2﹣1≤0，‎ 故命题q：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1＞0为假命题，‎ 故p∧￢q为假命题，‎ 故答案为：假 ‎　‎ ‎16．在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=12，∠ACB=30°，AB=6，则PB与平面ABC所成角的余弦值为　　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】利用正弦定理求出△ABC的外接圆的半径，利用PA=PB=PC=12，可得P在平面ABC中的射影为△ABC的外心，即可PB与平面ABC所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为R，则 ‎∵∠ACB=30°，AB=6，‎ ‎∴2R==12，‎ ‎∴R=6，‎ ‎∵PA=PB=PC=12，‎ ‎∴P在平面ABC中的射影为△ABC的外心，‎ ‎∴PB与平面ABC所成角的余弦值为=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 ‎（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；‎ ‎（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．‎ ‎【考点】等可能事件的概率；随机事件．‎ ‎【分析】（1）由分步计数原理知这个过程一共有8个结果，按照一定的顺序列举出所有的事件，顺序可以是按照红球的个数由多变少变化，这样可以做到不重不漏．‎ ‎（2）本题是一个等可能事件的概率，由前面可知试验发生的所有事件数，而满足条件的事件包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），根据古典概型公式得到结果．‎ ‎【解答】解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：‎ ‎（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）‎ ‎（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率 记“3次摸球所得总分为5”为事件A 事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3‎ 由（I）可知，基本事件总数为8，‎ ‎∴事件A的概率为 ‎　‎ ‎18．已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，“p∧q”与“¬q”同时为假命题，求x的值．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先求出命题p下x的取值范围：x≤﹣2，或x≥3，然后根据“p∧q”与“￢q”同时为假命题可以判断出p假q真，所以得到﹣2＜x＜3且x∈Z，这样即可求出x的值．‎ ‎【解答】解：p：x≤﹣2，或x≥3；‎ ‎∵“p∧q”与“￢q”同时为假命题；‎ ‎∴q为真命题，p为假命题；‎ ‎∴﹣2＜x＜3且x∈Z；‎ ‎∴x=﹣1，0，1，2．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．‎ ‎（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，点O的位置满足AO=2OD．‎ ‎（Ⅱ）要证平面AB⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PABPD内的两条相交直线AB、PA即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，‎ 所以 BO∥CD又 BC∥AD，‎ 所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，‎ 而AD=3BC，‎ 故点O的位置满足AO=2OD．‎ ‎（Ⅱ）证：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，‎ 所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，‎ 且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，‎ 所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，‎ 所以：平面PAB⊥平面PCD．‎ ‎　‎ ‎20．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得xi=80， yi=20， xiyi=184， x=720．‎ ‎（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b，其中，为样本平均值．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可知n，，，进而代入可得b、a值，可得方程；‎ ‎（2）由回归方程x的系数b的正负可判；‎ ‎（3）把x=7代入回归方程求其函数值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知n=10， ==8， ==2，‎ 又x﹣n×2=720﹣10×82=80， xiyi﹣n=184﹣10×8×2=24，‎ 由此得b═=0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，‎ 故所求回归方程为=0.3x﹣0.4．…‎ ‎（2）由于变量y的值随x的值增加而增加（b=0.3＞0），故x与y之间是正相关．…‎ ‎（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．…‎ ‎　‎ ‎21．从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量（单位：克）的频数分布表如表：‎ 分组（重量）‎ ‎[80，85）‎ ‎[85，90）‎ ‎[90，95）‎ ‎[95，100）‎ 频数（个）‎ ‎10‎ ‎50‎ m ‎15‎ 已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的土鸡蛋的根底为 ‎（1）求出n，m的值及该样本的众数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2 个，其重量分别是g1，g2，求|g1﹣g2|≥10的概率？‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）依频数分布表性质列出方程组，能求出n，m的值及该样本的众数．‎ ‎（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100]的土鸡蛋中共抽取5个，则重量在[80，85）的有职有2个，在[95，100]的个数有3个，从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有10种情况，要|g1﹣g2|＞10，则必须是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一个”，由此能求出从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|≥10的概率．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可得，，‎ 解得m=20，n=95．‎ 众数是： =87.5．‎ ‎（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100]的土鸡蛋中共抽取5个，‎ 则重量在[80，85）的个数为，记为x，y，‎ 在[95，100]的个数为=3，记为a，b，c，‎ 从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有：‎ ‎（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），（b，c），（y，a），（y，b），（y，c），（x，y）10种情况．‎ 要|g1﹣g2|＞10，则必须是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一个”，‎ 这样的情况共有（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c）6种．‎ 设事件A表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|＞10”，‎ 则P（A）=，‎ ‎∴从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|≥10的概率为．‎ ‎　‎ ‎22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，‎ ‎∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，‎ ‎∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，‎ 直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，‎ ‎∴AA1==，CF=．‎ 三棱锥F﹣AEC的体积：×==．‎ ‎　‎