上海市莘庄中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

上海市莘庄中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 上海市莘庄中学2019学年第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、填空题（本题满分54分）本大题共有12小题.1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.‎ ‎1.已知全集 ，集合，则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A,B结合补集的定义,求解即可.‎ ‎【详解】结合集合补集计算方法,得到 ‎【点睛】本道题考查了补集计算方法,难度较容易.‎ ‎2.不等式的解为 。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【详解】由，可得 ‎ 即 ‎ 所以不等式的解为或 ‎3.函数的定义域为：________________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式下被开方数非负，以及分母不为零列不等式组解出的取值范围，可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，解得且，‎ 因此，函数的定义域为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域，熟悉常见求定义域原则是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知，写出命题“若，则”的否命题__________.‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否命题的形式写出即可.‎ ‎【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ 故答案为:若，则 ‎【点睛】本题主要考查了否命题的形式，属于基础题.‎ ‎5.已知集合，，若，则实数a的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可知，集合A与集合B没有公共元素，即可求出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】因为，所以集合A与集合B没有公共元素 则 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合之间的基本关系，属于基础题.‎ ‎6.已知且,则当=________时，取得最小值.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，解出，代入中，化简利用基本不等式即可求出的值.‎ ‎【详解】因为，所以 当且仅当，即时，取得最小值.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用，注意基本不等式使用的条件，考查学生利用知识分析和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知命题：，，若是的充分条件，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是的充分条件，得到，根据题意列出不等式组，化简即可求出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】因为是的充分条件，所以 即，解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件的性质以及集合之间的基本关系、不等式的解法，属于基础题.‎ ‎8.一元二次不等式的解集为，那么的值等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出一元二次方程两根分别为，，结合韦达定理求解即可.‎ ‎【详解】因为一元二次不等式的解集为 所以一元二次方程的两根分别为，‎ 由韦达定理可知 ，解得 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题.‎ ‎9.已知，且，则满足条件的a的值所组成的集合为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到且，解不等式结合，即可求出a的值.‎ ‎【详解】‎ 且 解得 又因为 所以满足条件的a的值所组成的集合为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了元素与集合之间的关系，属于基础题.‎ ‎10.定义满足不等式的实数x的集合叫做A的B邻域。若的邻域为区间，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列出不等式化简得到，结合二次函数的性质即可得到的最大值.‎ ‎【详解】的邻域为区间 即 ‎ ‎，所以 当时，的最大值为 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法以及二次函数的性质的应用，关键是根据题目的信息列出相应的不等式，属于基础题.‎ ‎11. 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：‎ ‎①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：若①正确，则②③④不正确，可得不正确，即，与矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得；由，得满足条件的有序数组为或，若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得；由②不正确，得，则满足条件的有序数组为；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得，由，得满足条件的有序数组为或或；综上所述，满足条件的有序数组的个数为，所以答案应填：.‎ 考点：集合相等．‎ ‎【方法点晴】利用集合的相等关系，结合①；②③④有且只有一个是正确的，即可得出结论．另一种方法，当时，；；当时，；；；当时，；∴符合条件的有序数组的个数是个．本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想和逻辑思维能力，正确分类是关键，属于基础题．‎ ‎12.设集合，若，且，记G(B)为B中元素最大值和最小值之和，则对所有的B，G(B)的平均值是_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列出所有可能的集合B，求出相应的，求出平均数即可.‎ ‎【详解】因为集合，若，且 所以集合B为：‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 则G(B)的平均值是 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.‎ 二、选择题（本题满分20分）本题共有4大题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律不得分.‎ ‎13.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】若ab2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.‎ ‎14.下列函数中，与函数 为同一函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．‎ ‎【详解】解：函数 的定义域为R，值域解析式为,‎ 对于A： 定义域为 ， 不是同一个函数；‎ 对于B：值域为 ， 不是同一个函数；‎ 对于C：定义域为x≥1， 不是同一个函数；‎ 对于D：当 时， ；当 时， ，定义域值域都相同.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．‎ ‎15.设集合,,若,则实数a、b必满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合A,B，根据题意集合A是集合B的子集得到相应不等式，求解即可得到答案.‎ ‎【详解】,或 ‎ ‎，或 又， ‎ 则有或 ‎ 解得或，即 ‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了集合的化简以及集合的包含关系，关键是由，得到集合A是集合B的子集，属于中档题.‎ ‎16.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 本道题反复运用基本不等式,即可.‎ 详解】结合题意可知,,‎ 而,得到 解得,故可以推出结论,‎ 而当得到 ‎,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本道题考查了基本不等式的运用,关键注意,即可,属于中等难度的题.‎ 三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.‎ ‎17.设集合U=R，，.‎ ‎（1）求A、B ‎ ‎（2）求 ‎【答案】(1) ， ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)观察题目，直接解分式不等式求得集合A，注意分式的分母不为零，解绝对值不等式求得集合B；‎ ‎(2) 根据补集的定义先求出，再根据交集的定义求得即可.‎ ‎【详解】(1)且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ 或 ‎ ‎【点睛】本题考查的是绝对值不等式、分式不等式的解法，以及集合的基本运算，属于基础题.‎ ‎18.（1）已知，证明不等式：‎ ‎（2）不等式对恒成立，求实数a取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由重要不等式得到，两式相加化简即可证明不等式;‎ ‎(2)讨论的值，结合二次函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】(1)由重要不等式 得 ‎，‎ 两式相加得：‎ 即 ‎(2) 因为不等式对恒成立 所以当时, 对恒成立;‎ 当时， 解得： ‎ 综上所述，实数a的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查了不等式的证明以及恒成立问题，关键是利用重要不等式以及二次函数的性质来解决问题，属于中档题.‎ ‎19.某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。‎ ‎【答案】长.宽. 最小面积 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米 所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积)‎ 即 又因为 当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为 ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎20.设数集A由实数构成：且满足：若，则 ‎（1）若,试证明A中还有另外两个元素；‎ ‎（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由；‎ ‎（3）若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积。‎ ‎【答案】(1) A中还有另外两个元素为：， ;(2)见解析；(3) 有限集A的所有元素之积为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题设条件，将代入，得到，再将代入，得到，即可得到集合A中另外两个元素；‎ ‎(2)由题意得到，,,由于，，三个互不相等，即可证明集合A不为双元素集合；‎ ‎(3)根据题意得到，由即可得到集合A中所有元素的积.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A中还有另外两个元素为：，‎ ‎(2)集合A不是双元素集合 由，得,‎ 要使得A为双元素集合，则，，中必有两个相等，另外一个和它们不相等 因为 所以集合A不可能是双元素集合 ‎(3) 由，得，‎ 所以 因为 所以有限集A的所有元素之积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，考查集合的含义，属于中档题.‎ ‎21.符号表示不大于x的最大整数,例如，，‎ ‎（1）已知方程的解集为M，不等式的解集为N，求M、N；‎ ‎（2）设方程的解集为A，求A；‎ ‎【答案】(1) ,；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将表示为，结合的取值范围，，通过解不等式即可求解；‎ ‎(2)利用，得到，分类讨论的值，去掉绝对值，即可求出解集.‎ ‎【详解】(1)记符号表示x的小数部分，且 即 ，故集合 由于，则 ‎，故集合 ‎(2) ‎ ‎ ‎ 由于，则 故 当时，‎ 即 当时，，不满足题意；‎ 当时，‎ 即 综上所述，集合 ‎【点睛】本题主要考查了取整方程以及取整不等式的解法，关键是利用进行转换，从而解决不等式或方程，属于中档题.‎ ‎ ‎