2018-2019学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，1，，，则（ ）‎ A．， B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用交集的定义可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，1，，；‎ ‎，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了交集的定义，属于基础题.‎ ‎2．直线的斜率为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将直线转化为斜截式可直接得斜率.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 得．‎ 直线的斜率为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了斜率的概念，属于基础题.‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎．函数的定义域为，，函数为非奇非偶函数，故错误，‎ ‎．函数为偶函数，当时，函数为减函数，不满足条件．故错误，‎ ‎．函数为奇函数，在上为减函数，不满足条件．故错误，‎ ‎．，函数是偶函数，‎ 当时，是增函数，满足条件．故正确 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.‎ ‎4．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合三视图分析每层小正方体的个数即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由俯视图可得所有小正方体共6摞，‎ 每摞小正方体的个数如下图所示：‎ 故这些正方体货箱的个数为8个，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了识别几何体的三视图，考查了空间想象力，属于基础题.‎ ‎5．设，，，则，，大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数和对数函数的单调性比较三个数和0,1的关系即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，；‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数、对数的比较大小，考查了函数的单调性，属于基础题.‎ ‎6．当时，下列选项中，函数和的大致图象正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合判断两个函数的单调性即可得解.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 则是减函数，是过原点的增函数，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数和一次函数的单调性，属于基础题.‎ ‎7．将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接由圆锥的体积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 旋转成的几何体是圆锥，其底面半径为，高为，如图所示；‎ 则圆锥的体积为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆锥的体积的计算，属于基础题.‎ ‎8．已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A． B．， C． D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.‎ ‎【详解】‎ 依题意对称轴，解得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.‎ ‎9．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分直线过原点与不过原点两种情况求解，不过原点时只需斜率为-1即可.‎ ‎【详解】‎ 直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，‎ 当截距为0时，直线方程为：；‎ 当直线不过原点时，斜率为，直线方程：．‎ 直线方程为或．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的截距的概念，容易忽略过原点的情况，属于易错题.‎ ‎10．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】通过分析线面和面面的位置关系，通过找反例可知A,B,D不正确，由线面垂直的判断得C.‎ ‎【详解】‎ 由，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，知：‎ 在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；‎ 在中，若，，则与相交或平行，故错误；‎ 在中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故正确；‎ 在中，若，，则与相交、平行或，故错误．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面和面面的位置关系，考查了空间想象力，属于基础题.‎ ‎11．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递减，若实数满足（1），则的取值范围为（ ）‎ A．， B．， C．，， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由奇偶性和单调性可得，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 函数是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递减，‎ ‎（1），等价为（1），‎ 即．即，得，‎ 即实数的取值范围是，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.‎ ‎12．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出的图象如图，令，问题转化为函数有两个零点，结合二次抛物线的图象根据根的分布列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 作出的图象如图：‎ 设，则由图象知当时，有两个根，‎ 当时，只有一个根，‎ 若函数有三个零点，‎ 等价为函数有两个零点，‎ 其中或，‎ 当时，，此时另一个根为满足题意；‎ 当时，则满足，‎ 得，得，‎ 综上：.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合型方程的根的个数问题，进行合理的等价转化是解题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用对数的运算法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ 原式．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算，属于基础题.‎ ‎14．已知直线与相互平行，则两直线与之间的距离为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由平行得，再利用平行线的距离公式可得解.‎ ‎【详解】‎ 直线与相互平行，‎ ‎，此时，‎ 两直线与之间的距离为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的平行求参数及平行线的距离公式，属于基础题.‎ ‎15．已知函数，为常数），若，则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，可得函数为奇函数，从而可得，即得，代入条件即可得解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设，‎ 有，则函数为奇函数，‎ 则，即，‎ 变形可得，‎ 则有，‎ ‎，则；‎ 故答案为：5.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇偶性的应用，解题的关键是设，从而与奇偶性建立联系进而得解，属于基础题.‎ ‎16．已知直三棱柱的六个顶点都在球上，底面是直角三角形，且，侧棱，则球的体积为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用直三棱柱的几何特征结合底面为直角三角形可找到球心，从而得半径，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 如图，，分别为，的中点，‎ 为的中点，‎ 易知，即为外接球球心，‎ 计算可得，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三棱柱的外接球问题，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，．‎ ‎（1）在同一直角坐标系中作出与的图象；‎ ‎（2）请写出的一个函数性质，并给予证明；‎ ‎（3）请写出不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）图像见解析（2）是偶函数，证明见解析（3）‎ ‎【解析】（1）利用分段函数的解析式和一次函数的图象可作图；‎ ‎（2）由图像可得函数为偶函数，进而利用定义证明即可；‎ ‎（3）结合图象即可解不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 则对应的图象为 ‎（2）函数是偶函数，‎ ‎，‎ 是偶函数．‎ ‎（3）当时，由得，‎ 当时，由，得，‎ 由图象知若，则，‎ 即不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的图象及图象的应用，属于基础题.‎ ‎18．已知的三个顶点的坐标分别为，，．‎ ‎（1）求边所在直线的方程；‎ ‎（2）若边上的中线所在直线的方程为，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）先求直线的斜率结合点斜式即可得解；‎ ‎（2）先将点代入直线可得，再由的中点坐标为，，满足直线可得，；利用点到直线的距离可求高，从而得面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 边所在直线的方程为：，‎ 即；‎ ‎（2）把代入，解得．‎ 中线的方程为，‎ 的中点坐标为，，‎ ‎，即．‎ ‎，‎ 点到直线的距离．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求解，涉及点斜式，中点坐标及点到直线的距离，属于基础题.‎ ‎19．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．‎ ‎（1）试规定的值，并解释其实际意义；‎ ‎（2）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；‎ ‎（3）设．现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．‎ ‎【答案】（1），表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：在，上单调递减，且（3）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】（1）由表示未清洗的意思，从而得解；‎ ‎（2）结合题干信息可得和及的范围；‎ ‎（3）分别计算两种方式的农药残留量，进而作差比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样．‎ ‎（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：在，上单调递减，且．‎ ‎（3）设仅清洗一次，残留在农药量为，‎ 清洗两次后，残留的农药量为，‎ 则；‎ 于是，当时，清洗两次后残留在农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；‎ 当时，一次清洗残留的农药量较少．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，解题的关键是分析题干信息，提取代数式，属于基础题.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由和即可证得；‎ ‎（2）由，可得，进而可得解.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）底面是菱形，，‎ 平面，平面，，‎ ‎，是平面内的两条直交线，‎ 平面，‎ 又平面，．‎ 解：（2）底面是菱形，，‎ 又，，‎ 平面，，‎ 设点到平面的距离为，且平面，‎ ‎，即，‎ 是等边三角形，，‎ ‎，‎ 解得，‎ 点到面的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直的证明及性质，考查了等体积法求点面距，属于基础题.‎ ‎21．已知二次函数．‎ ‎（1）若函数为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若函数在区间，上的最大值为，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）0；（2）‎ ‎【解析】（1）求得的对称轴方程，由偶函数的图象可得的值；‎ ‎（2）求得对称轴方程，推理对称轴和区间的关系，结合单调性可得的解析式，再由单调性可得的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）二次函数的对称轴为，‎ 由为偶函数，可得；‎ ‎（2）的对称轴为，‎ 当即时，在，递增，可得，‎ 且的最小值为1；‎ 当即时，在，递减，可得，‎ 且的最小值为3；‎ 当，即时，的最大值为，‎ 当时，取得最小值，‎ 综上可得的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的对称性和单调性的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和化简运算能力、推理能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数在区间，上有且仅有一个零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】分别讨论和时，结合△和△分析，当△时分和时讨论即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则，令由得，，，不符题意，‎ ‎（2）当时，，△，‎ 由题意可知：△可得，，‎ ‎①若，则△，函数的零点为，不满足题意；‎ ‎②若，函数的零点是，满足题意；‎ 下面讨论△时，函数在区间，上有且仅有一个零点的情况，‎ 由零点判断定理有，即，解得，‎ 而△，（1），只需要讨论时，另一个零点是否在区间，内．‎ 由可得．‎ 此时，‎ 所以另一个零点是，满足题意．‎ 故实数的取值范围为，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次方程的根的分布，涉及分类讨论，情况较多，属于难题.‎