2014福建（文科数学）高考试题
2014·福建卷(文科数学)
1． [2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于( )
A．{x|3≤x<4} B．{x|3
12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22>22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.
5． [2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
5．C [解析] “∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，故选C.
6． [2014·福建卷] 已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
6．D [解析] 由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.
又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.
7． [2014·福建卷] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图像关于点对称
7．D [解析] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)＝sin的图像，即f(x)＝cos x．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，关于点(k∈Z)对称，故选D.
图12
8． [2014·福建卷] 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是( )
图12
A B
C D图13
8．B [解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.
选项A中的函数为y＝，其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，其函数图像不正确，故选B.
9． [2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
9．C [解析] 设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4 m3，高为1 m．得另一边长为 m.
记容器的总造价为y元，则
y＝4×20＋2×1×10
＝80＋20
≥80＋20×2
＝160，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
因此，当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C.
10． [2014·福建卷] 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )
A. B．2
C．3 D．4
10．D [解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M是AC与BD的中点，即＝－，＝－.
在△OAC中，＋＝(＋)＋(＋)＝2.
在△OBD中，＋＝(＋)＋(＋)＝2，
所以＋＋＋＝4，故选D.
11． [2014·福建卷] 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5 B．29
C．37 D．49
11．C [解析] 作出不等式组表示的平面区域Ω(如下图阴影部分
所示，含边界)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1的圆心坐标为(a，b)，半径为1.由圆C与x轴相切，得b＝1.解方程组得即直线x＋y－7＝0与直线y＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P.
又点C∈Ω，则当点C与P重合时，a取得最大值，
所以，a2＋b2的最大值为62＋12＝37，故选C.
12． [2014·福建卷] 在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L距离”定义为||P1P2||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值(大于||F1F2||)的点的轨迹可以是( )
A B
C D
图14
12．A [解析] 设M(x，y)是轨迹上任意一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，||MF1|＋|MF2||＝2a，其中a为常数，且a>c>0，
由“L－距离”定义，得
|x＋c|＋|y|＋|x－c|＋|y|＝2a，即|y|＝(2a－|x＋c|－|x－c|)，
当y≥0时，y＝
当y<0时，y＝
则满足上述关系的图像只有选项A.
13． [2014·福建卷] 如图15所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
图15
13．0.18 [解析] 设阴影部分的面积为S.随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即
≈＝＝0.18，
所以可以估计阴影部分的面积为0.18.
14． [2014·福建卷] 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．
(这是边文，请据需要手工删加)
14．1 [解析] 由＝，得sin B＝＝1，
即B＝90°，所以△ABC为以AB，BC为直角边的直角三角形，
则AB＝＝＝1，即AB等于1.
15． [2014·福建卷] 函数f(x)＝的零点个数是________．
15．2 [解析] 当x≤0时，f(x)＝x2－2，
令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，
即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．
当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x，
令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x.
作出函数y＝ln x与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图像，
则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)只有一个零点．
综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.
16． [2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
16．201 [解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．
(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．
(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．
则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
17． [2014·福建卷] 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
17．解：(1)设{an}的公比为q，依题意得
解得
因此，an＝3n－1.
(2)因为bn＝log3an＝n－1，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.
18． [2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一：
(1)f＝2cos
＝－2cos＝2.
(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1.
(1)f＝sin＋1
＝sin＋1
＝2.
(2)因为T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
19． [2014·福建卷] 如图16所示，三棱锥A BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A MBC的体积．
图16
19．解：方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD，
得AB⊥BD.
∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.
∵M是AD的中点，
∴S△ABM＝S△ABD＝.
由(1)知，CD⊥平面ABD，
∴三棱锥C ABM的高h＝CD＝1，
因此三棱锥A MBC的体积
VA MBC＝VC ABM＝S△ABM·h＝.
方法二：(1)同方法一．
(2)由AB⊥平面BCD，得平面ABD⊥平面BCD.
且平面ABD∩平面BCD＝BD.
如图所示，过点M作MN⊥BD交BD于点N，
则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝.
又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.
∴三棱锥A MBC的体积
VA MBC＝VA BCD－VM BCD
＝AB·S△BCD－MN·S△BCD
＝.
20． [2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位：美元)
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10 000
(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
20．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为
＝
6400(美元)．
因为6400∈[4085，12 616)，
所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．
(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．
设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，
则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．
所以所求概率为P(M)＝.
21． [2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程．
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
21．解：方法一：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点．
依题意，点S到点F(0，1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，
所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，
所以曲线Γ的方程为x2＝4y.
(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：
由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2.
设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x，
由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，
所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.
由得A.
由得M.
又N(0，3)，所以圆心C，
半径r＝|MN|＝，
|AB|＝
＝
＝.
所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．
方法二：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
则|y－(－3)|－＝2.
依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y＞－3，
所以＝y＋1，
化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y.
(2)同方法一．
22． [2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x＞0时，x2＜ex；
(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
22．解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，
得f′(x)＝ex－a.
又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)有极小值，
且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，
f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0，
即g′(x)＞0.
所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1＞0，
所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜ex.
(3)证明：对任意给定的正数c，取x0＝，
由(2)知，当x＞0时，x2＜ex.
所以当x＞x0时，ex＞x2＞x，即xln(kx)，
即x＞ln x＋ln k成立．
①若0＜k≤1，则ln k≤0，易知当x＞0时，x＞ln x≥ln x＋ln k成立．
即对任意c∈[1，＋∞)，取x0＝0，
当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
②若k＞1，令h(x)＝x－ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝，
所以当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
取x0＝4k，h(x0)＝4k－ln(4k)－ln k＝2(k－ln k)＋2(k－ln 2)，
易知k＞ln k，k＞ln 2，所以h(x0)＞0.
因此对任意c∈(0，1)，取x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
方法三：(1)同方法一．
(2)同方法一．
(3)证明：①若c≥1，取x0＝0，
由(2)的证明过程知，ex＞2x，
所以当x∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex＞2x＞x，
即x＜cex.
②若0＜c＜1，
令h(x)＝cex－x，则h′(x)＝cex－1.
令h′(x)＝0得x＝ln.
当x＞ln时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
取x0＝2ln，
则h(x0)＝ce2ln－2ln＝2，
易知－ln＞0，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，
所以当x∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0，
即x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
