2018-2019学年四川省内江市高一下学期期末教学质量检查数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年四川省内江市高一下学期期末教学质量检查数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省内江市高一下学期期末教学质量检查数学（理）试题 一、单选题 ‎1．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）‎ A． B．a2＜b2 C．a3＜b3 D．ac2＜bc2‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a＜b＜0，‎ 不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，则，a2>b2‎ 所以A、B不成立，当c=0时，ac2=bc2所以D不成立，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，考查特殊值法进行排除的应用，属于基础题．‎ ‎2．若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2|＝（　　）‎ A．2 B．14 C．2 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知可得||，根据数量积公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎||．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．‎ ‎3．在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，则a4•a7的值为（）‎ A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a4•a7的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，∴a2•a9＝﹣6，‎ 则a4•a7＝a2•a9＝﹣6，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．‎ ‎4．已知向量（cosθ，sinθ），（2，﹣1），且⊥，则的值是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知求得tanθ，然后展开两角差的正切求解．‎ ‎【详解】‎ 由（cosθ，sinθ），（2，﹣1），且⊥，‎ 得2cosθ﹣sinθ＝0，即tanθ＝2．‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．‎ ‎5．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|≥﹣1}，则A∪B＝（）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣1，2] C．（0，1） D．（0，2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，‎ B＝{x|≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，‎ ‎∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝S4，则S13＝（）‎ A．13 B．7 C．0 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，利用等差数列前n项和公式求出a1＝﹣6d，由此能求出S13的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝S4，‎ ‎∴4a1，‎ 解得a1＝﹣6d，‎ ‎∴S1378d﹣78d＝0．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎7．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若＜cosA，则△ABC的形状为（）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】已知不等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到sinAcosB＜0，根据sinA不为0得到cosB＜0，进而可得B为钝角，即可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵c＜bcosA，‎ ‎∴利用正弦定理化简得：sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＜sinBcosA，‎ 整理得：sinAcosB＜0，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴cosB＜0．‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴B为钝角，三角形ABC为钝角三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎8．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．‎ ‎【详解】‎ β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，‎ ‎∴α+β为钝角，∴cos（α+β），‎ 则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα••，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．‎ ‎9．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为 （ ）．‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，，，所以＝＝＋＝＝，故选C．‎ ‎【考点】1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算．‎ ‎10．已知圆内接四边形ABCD各边的长度分别为AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，则AC的长为（）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别在△ABC和△ACD中用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB×BCcosB＝89﹣80cosB，‎ 在△ACD中，由余弦定理得AC2＝CD2+AD2﹣2AD×CDcosD＝34﹣30cosD，‎ ‎∴89﹣80cosB＝34﹣30cosD，‎ ‎∵A+C＝180°，∴cosB＝﹣cosD，‎ ‎∴cosD，‎ ‎∴AC2＝34﹣30×（）＝49．‎ ‎∴AC＝7．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理的应用，三角形的解法，考查了圆内接四边形的性质的应用，属于中档题．‎ ‎11．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）‎ ‎（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．）‎ A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天 ‎【答案】A ‎【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．‎ ‎【详解】‎ 设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．‎ 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，‎ 其前n项和为Bn．则An，Bn，‎ 由题意可得：，化为：2n7，‎ 解得2n＝6，2n＝1（舍去）．‎ ‎∴n12.6．‎ ‎∴估计2.6日蒲、莞长度相等，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12．在△ABC中角ABC的对边分别为A.B.c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先利用同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，‎ 利用同角三角函数的关系式sin2C+cos2C＝1，‎ 解得sinC，‎ 由于acosB+bcosA＝2，‎ 利用余弦定理，‎ 解得c＝2．‎ 所以c2＝a2+b2﹣2abcosC，‎ 整理得4，‎ 由于a2+b2≥2ab，‎ 故，‎ 所以．‎ 则，‎ ‎△ABC面积的最大值为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________‎ ‎【答案】(-∞,4)‎ ‎【解析】由x+2y（x+2y）（）（4），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．‎ ‎【详解】‎ 两个正实数x，y满足2，‎ 则x+2y（x+2y）（）（4）‎ ‎（4+2）＝4，‎ 当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，‎ x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，‎ 由题意可得m＜4．‎ 故答案为：（﹣∞，4）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．‎ ‎14．已知两点A（2，1）、B（1，1+）满足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），则α+β＝_______________‎ ‎【答案】或0‎ ‎【解析】运用向量的加减运算和特殊角的三角函数值，可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 两点A（2，1）、B（1，1）满足（sinα，cosβ），‎ 可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），‎ 即为sinα，cosβ，‎ α，β∈（），可得α，β＝±，‎ 则α+β＝0或．‎ 故答案为：0或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减运算和三角方程的解法，考查运能力，属于基础题．‎ ‎15．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】【详解】‎ 分别取AC、BC的中点D、E, , ,‎ 即, 是DE的一个三等分点, , 故答案为:3.‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】推导出a1＝1，a2＝2×1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），‎ ‎∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，‎ 解得a1＝1，a2＝2×1＝2，‎ ‎∴，解得a3＝4，‎ ‎，解得a4＝6，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，‎ ‎∴n≥2时，22n﹣2，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题．‎ 三、解答题 ‎17．（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；‎ ‎（2）解关于x的不等式x2-（a+1）x+a＜0．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值．‎ ‎（2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜0，分类讨论求得它的解集．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设0＜x，∵函数y＝x（3﹣2x）2，故当x时，函数取得最大值为．‎ ‎（2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0．‎ 当a＝1时，不等式即 （x﹣1）2＜0，不等式无解；‎ 当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；‎ 当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．‎ 综上可得，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎18．在等差数列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为Sn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）等差数列{an}的公差设为d ‎，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）运用等差数列的求和公式，求得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，再由不等式的性质即可得证．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）等差数列{an}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，‎ 可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，‎ 解得a1＝3，d＝2，‎ 则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；‎ ‎（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），‎ ‎（），‎ 前n项和Tn（1）‎ ‎（1）（）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2+c2﹣b2）．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若边b＝，求a+c的取值范围．‎ ‎【答案】（1）B=60°（2）‎ ‎【解析】（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值．‎ ‎（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+csin（A），由题意可求范围A∈（，），根据正弦函数的图象和性质即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在△ABC中，∵S（a2+c2﹣b2）acsinB，cosB．‎ ‎∴tanB，‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴B．‎ ‎（2）∵B，b，‎ ‎∴由正弦定理可得1，可得：a＝sinA，c＝sinC，‎ ‎∴a+c＝sinA+sinC＝sinA+sin（A）＝sinAcosAsinAsin（A），‎ ‎∵A∈（0，），A∈（，），‎ ‎∴sin（A）∈（，1]，‎ ‎∴a+csin（A）∈（，]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式及三角函数恒等变换的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．设函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．‎ ‎（1）求f（x）的周期和最大值；‎ ‎（2）已知△ABC中，角A.B.C的对边分别为A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．‎ ‎【答案】（1）周期为π，最大值为2.（2）‎ ‎【解析】（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值；‎ ‎（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）‎ ‎＝1+cos2x ‎＝cos（2x）+1，‎ ‎∵﹣1≤cos（2x）≤1，‎ ‎∴T，f（x）的最大值为2；‎ ‎（2）由题意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，‎ 即：cos（﹣2A），‎ 又∵0＜A＜π，‎ ‎∴2A，‎ ‎∴﹣2A，即A．‎ 在△ABC中，b+c＝2，cosA，‎ 由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，‎ 由于：bc，当b＝c＝1时，等号成立．‎ ‎∴a2≥4﹣1＝3，即a．‎ 则a的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．‎ ‎21．如图，在△ABC中，cosC＝，角B的平分线BD交AC于点D，设∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．‎ ‎（1）求sinA的值；‎ ‎（2）若，求AB的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据二倍角公式及同角基本关系式，求出cos∠ABC，进而可求出sinA；‎ ‎（2）根据正弦定理求出AC，BC的关系，利用向量的数量积公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由∠CBD＝θ，且tanθ1，所以θ∈（0，），‎ 所以cos∠ABC，‎ 则sin∠ABC，‎ 由cosC，得：sinC，‎ sinA＝sin[π﹣（∠ABC+∠C）]＝sin（∠ABC+∠C）．‎ ‎（2）由正弦定理，得，‎ 即BCAC；‎ 又 •AC2•21，‎ ‎∴AC＝5，‎ ‎∴ABAC＝4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角公式、同角基本关系式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．‎ ‎22．已知数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：解：（1）当时，，解得；‎ 当时，，‎ ‎∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，‎ 故． 4分 ‎（2）由（1）得，，‎ ‎∴5分 令，‎ 则，‎ 两式相减得 ‎∴， 7分 故， 8分 又由（1）得，， 9分 不等式即为，‎ 即为对任意恒成立， 10分 设，则，‎ ‎∵，∴，‎ 故实数t的取值范围是． 12分 ‎【考点】等比数列 ‎ 点评：主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用，属于基础题。‎