2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§11-1　随机事件与古典概型（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§11-1　随机事件与古典概型（试题部分）

专题十一　概率与统计 ‎【考情探究】‎ 课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容 一、随机事件的概率、古典概型 ‎1.了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ ‎2.理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎1.从近几年高考情况来看,概率与估计问题常以应用题为载体,注重考查学生的应用意识及阅读理解能力.2.概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心,排列、组合是进行概率计算的工具;统计问题的核心是样本数据的获得及分析,重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.3.离散型随机变量的分布列及期望的考查是高考的重点,近两年在高考试题中位于后面两题位置,属于难度较高的题目,特别是与统计内容的结合,其背景新颖,充分体现了概率与统计的工具性和与多个知识点的交汇性.‎ ‎1.古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考考查的热点,古典概型主要以客观题考查,求基本事件的个数时常涉及排列数、组合数的计算,计算时要首先判断事件是否与顺序有关,以确定是排列、还是组合问题.2.相互独立事件,互斥事件常作为解答题的第一问考查,是进一步求分布列、期望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,准确判定概率模型,恰当选择概率公式.3.离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考数学的热点,求解离散型随机变量的分布列与期望,关键要过好“三关”:一是“判断关”,即依题意判断随机变量的所有可能的取值;二是“求概率关”,即利用两个计数原理、排列与组合内容,以及古典概型的概率公式求随机变量取各个值时的概率;三是“应用定义关”,即列出随机变量的分布列,并利用随机变量的数学期望的定义进行计算,若能判定随机变量X服从二项分布,可利用E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解避免繁杂的运算,提高解题的准确度.‎ 二、离散型随机变量及其分布列 ‎1.理解离散型随机变量及其分布列的概念.‎ ‎2.理解超几何分布.‎ ‎3.理解取值有限的离散型随机变量的均值、方差的概念,并会计算均值、方差.‎ 三、二项分布与正态分布 ‎1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,能解决一些简单的实际问题.‎ ‎2.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义,并进行简单应用.‎ 四、抽样方法、用样本估计总体 ‎1.会用简单随机抽样抽取样本.‎ ‎2.能从样本数据中提取数字特征(如平均数、标准差).‎ ‎3.会用样本的频率分布(数字特征)估计总体分布(数字特征).‎ 五、变量间的相关关系、统计案例 ‎1.会作散点图,并会用其认识变量间的相关关系.‎ ‎2.了解最小二乘法的思想,能根据所给公式求线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).‎ ‎3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的方法,并能解决一些简单问题.‎ ‎4.了解回归分析的基本方法,并能解决一些简单的实际问题.‎ ‎【真题探秘】‎ ‎§11.1　随机事件与古典概型 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　事件与概率 ‎1.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”,决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析,丙是第一名的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎5‎　　　B.‎1‎‎3‎　　　C.‎1‎‎4‎　　　D.‎‎1‎‎6‎ 答案　B ‎2.甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是(　　)‎ A.1　　　　　B.‎‎1‎‎6‎ C.‎1‎‎2‎　　　　　D.‎‎1‎‎3‎ 答案　D ‎3.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是‎1‎‎2‎,且是相互独立的,则灯亮的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎16‎　　　B.‎3‎‎4‎　　　C.‎13‎‎16‎　　　D.‎‎1‎‎4‎ 答案　C ‎4.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面标有奇数,事件B表示向上的一面上的数不超过3,事件C表示向上的一面上的数不小于4,则(　　)‎ A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件 答案　D ‎5.男队有号码分别为1,2,3的三名乒乓球运动员,女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员,现两队各出一名运动员比赛一场,则出场的两名运动员号码不同的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎4‎ ‎6.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:‎ T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频数(次)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎ (1)求T的分布列与数学期望ET;‎ ‎(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.‎ 解析　(1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 以频率估计概率得T的分布列为 T ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).‎ ‎(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.‎ 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.‎ 解法 一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.‎ 解法二:P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.‎ 故P(A)=1-P(A)=0.91.‎ 考点二　古典概型 ‎7.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元共5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的红包金额之和不低于3元的概率是(　　)‎ A.‎3‎‎10‎　　　B.‎2‎‎5‎　　　C.‎1‎‎2‎　　　D.‎‎3‎‎5‎ 答案　D ‎8.每年三月为学雷锋活动月,某班有青年志愿者男生3人,女生2人,现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动,则选出的2名志愿者性别相同的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎5‎　　　B.‎2‎‎5‎　　　C.‎1‎‎5‎　　　D.‎‎3‎‎10‎ 答案　B ‎9.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　B.‎1‎‎2‎　　　C.‎2‎‎3‎　　　D.‎‎3‎‎4‎ 答案　A ‎10.某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人,从该车间的6名工人中任取2名,则恰有1名优秀工人的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎9‎　　　B.‎1‎‎3‎　　　C.‎8‎‎15‎　　　D.‎‎7‎‎15‎ 答案　C ‎11.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　随机事件的频率与概率 ‎1.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;‎ ‎(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值.‎ 解析　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.‎ 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为‎60+50‎‎200‎=0.55,故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.‎ 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为‎30+30‎‎200‎=0.3,故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为 ‎0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.‎ 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ 考法二　互斥事件、对立事件概率公式的应用 ‎2.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)‎ 解析　(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 ‎1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10‎‎100‎‎=1.9(分钟).‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得 P(A1)=‎15‎‎100‎=‎3‎‎20‎,P(A2)=‎30‎‎100‎=‎3‎‎10‎,‎ P(A3)=‎25‎‎100‎=‎1‎‎4‎.‎ 因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)‎ ‎=‎3‎‎20‎+‎3‎‎10‎+‎1‎‎4‎=‎7‎‎10‎.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为‎7‎‎10‎.‎ 考法三　古典概型概率的求法 ‎3.(2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考,7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　B.‎15‎‎32‎　　　C.‎11‎‎32‎　　　D.‎‎5‎‎16‎ 答案　C ‎4.(2020届广西南宁10月摸底)某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了3份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班,(2)班的样本中各随机抽取一份,则(2)班成绩更好的概率为(　　)‎ A.‎2‎‎9‎　　　B.‎1‎‎3‎　　　C.‎1‎‎2‎　　　D.‎‎4‎‎9‎ 答案　B ‎5.(2018河南信阳二模,5)某同学先后投掷一枚正方体骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点在直线2x-y=1上的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎12‎　　　B.‎1‎‎9‎　　　C.‎5‎‎36‎　　　D.‎‎1‎‎6‎ 答案　A ‎6.(2018山西太原一模,15)某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎5‎ ‎7.(2018上海复旦大学附属中学月考,10)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数,要使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是‎2‎‎5‎,则k=　　　　. ‎ 答案　7‎ ‎【五年高考】‎ ‎1.(2019课标Ⅰ,6,5分)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)‎ A.‎5‎‎16‎　　　B.‎11‎‎32‎　　　C.‎21‎‎32‎　　　D.‎‎11‎‎16‎ 答案　A ‎2.(2019课标全国Ⅱ,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎　　　　　B.‎3‎‎5‎　　　‎ C.‎2‎‎5‎　　　　　D.‎‎1‎‎5‎ 答案　B ‎3.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)‎ A.‎5‎‎18‎　　　B.‎4‎‎9‎　　　C.‎5‎‎9‎　　　D.‎‎7‎‎9‎ 答案　C ‎4.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎10‎ ‎5.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎10‎ ‎6.(2019天津,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.‎ ‎(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?‎ ‎(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.‎ ‎(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.‎ ‎　　员工 项目　　‎ A B C D E F 子女教育 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ 继续教育 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 大病医疗 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ 住房贷款利息 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 住房租金 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 赡养老人 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ 解析　本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素养.‎ ‎(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.‎ ‎(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.‎ ‎(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=‎11‎‎15‎.‎ 思路分析　(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.‎ 教师专用题组 ‎1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎8‎　　　B.‎3‎‎8‎　　　C.‎5‎‎8‎　　　D.‎‎7‎‎8‎ 答案　D ‎2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎6‎ ‎3.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎6‎ ‎4.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)由已知,有P(A)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎1‎‎3‎.‎ 所以,事件A发生的概率为‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X=0)=C‎3‎‎2‎‎+C‎3‎‎2‎+‎C‎4‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎4‎‎15‎,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎C‎3‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎7‎‎15‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎4‎‎15‎.‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎4‎‎15‎ ‎7‎‎15‎ ‎4‎‎15‎ 随机变量X的数学期望E(X)=0×‎4‎‎15‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎4‎‎15‎=1.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、单项选择题(每题5分,共40分)‎ ‎1.(2018重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事件A,B发生的概率满足P(A∪B)=‎3‎‎4‎,某人猜测事件A∩B发生,则此人猜测正确的概率为(　　)‎ A.1　　　B.‎1‎‎2‎　　　C.‎1‎‎4‎　　　D.0‎ 答案　C ‎2.(2019福建厦门一模,5)《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线,“”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎14‎　　　B.‎1‎‎7‎　　　C.‎5‎‎28‎　　　D.‎‎5‎‎14‎ 答案　D ‎3.(2019山西太原模拟,2)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=(　　)‎ A.0.5　　　B.0.1　　　C.0.7　　　D.0.8‎ 答案　A ‎4.(2020届广东湛江9月调研,5)某学校组织高一和高二两个年级的同学,开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动,利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学,其中男生2名、女生2名;高二年级的5名同学,其中男生3名、女生2名,现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生,则选出的4名同学中恰有2名男生,且这2名男生来自同一个年级的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎126‎　　　B.‎5‎‎21‎　　　C.‎6‎‎35‎　　　D.‎‎4‎‎21‎ 答案　D ‎5.(2019湖南师大附中3月模拟,5)2019年1月1日,济南轨道交通1号线试运行,济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验,征求意见”活动,市民可以通过济南地铁APP抢票,小陈抢到了三张体验票,准备从四位朋友小王,小张,小刘,小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动,则小王和小李至多1人被选中的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎6‎　　　B.‎1‎‎3‎　　　C.‎2‎‎3‎　　　D.‎‎5‎‎6‎ 答案　D ‎6.(2020届福建南安侨光中学第一次阶段考,6)已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是(　　)‎ A.‎5‎‎12‎　　　B.‎1‎‎3‎　　　C.‎1‎‎4‎　　　D.‎‎1‎‎6‎ 答案　A ‎7.(2019安徽蚌埠二模,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　B.‎1‎‎4‎　　　C.‎1‎‎6‎　　　D.‎‎1‎‎12‎ 答案　B ‎8.(2020届四川宜宾四中开学考试,2)现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率:先由计算机随机产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示未命中,再以三个随机数为一组,代表三次射箭的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:‎ ‎807　966　191　925　271　932　812　458　569　683‎ ‎489　257　394　027　552　488　730　113　537　741‎ 根据以上数据,估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为(　　)‎ A.0.20　　　B.0.25　　　C.0.30　　　D.0.50‎ 答案　D 二、多项选择题(共5分)‎ ‎9.(改编题)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是(　　)‎ A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张是红色 C.2张卡片至少有一张是红色 D.2张卡片都为绿色 答案　ABD 三、填空题(每题5分,共25分)‎ ‎10.(2019上海嘉定二模,8)学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,则选出的2人中至少有1名女同学的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎10‎ ‎11.(2020届广东百校联考10月月考,16)十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相,现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎88‎ ‎12.(2020届湖南长沙长郡中学第二次月考,14)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”,在不超过20的质数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎14‎ ‎13.(2020届江苏南通中学10月月考,6)从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎5‎ ‎14.(2018河北石家庄二模,14)用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,若用a1,a2,a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字,则出现a1a4>a5的五位数的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎20‎ 四、解答题(共25分)‎ ‎15.(2019广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第一次联考,17)某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.‎ ‎(1)求应从初级教师,中级教师,高级教师中分别抽取的人数;‎ ‎(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析,求抽取的2名均为初级教师的概率.‎ 解析　(1)从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1.‎ ‎( 2 )在抽取的6名教师中,3名初级教师分别记为A1,A2,A3,2名中级教师分别记为A4,A5,1名高级教师记为A6,则抽取2名教师的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.所以P(B)=‎3‎‎15‎=‎1‎‎5‎.‎ ‎16.(2018山西太原一模,18)某快递公司收取快递费用的标准如下:质量不超过1 kg的包裹收费10元;质量超过1 kg的包裹,除1 kg收费10元之外,超过1 kg的部分,每1 kg(不足1 kg,按1 kg计算)需再收5元.该公司对近60天每天揽件数量统计如下表:‎ 包裹件数范围 ‎0~100‎ ‎101~200‎ ‎201~300‎ ‎301~400‎ ‎401~500‎ 包裹件数 ‎(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎ (1)某人打算将A(0.3 kg),B(1.8 kg),C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出,求该人支付的快递费不超过30元的概率;‎ ‎(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件,工资100元,目前前台有工作人员3人,那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利?‎ 解析　(1)由题意,寄出方式有以下三种可能:‎ 情况 第一个包裹 第二个包裹 需支付的总 快递费(元)‎ 礼物 质量 ‎(kg)‎ 快递 费(元)‎ 礼物 质量 ‎(kg)‎ 快递 费(元)‎ ‎1‎ A ‎0.3‎ ‎10‎ B,C ‎3.3‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎2‎ B ‎1.8‎ ‎15‎ A,C ‎1.8‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎3‎ C ‎1.5‎ ‎15‎ A,B ‎2.1‎ ‎20‎ ‎35‎ 所有3种情况中,有1种情况快递费未超过30元,根据古典概型概率计算公式,所求概率为‎1‎‎3‎ ‎(2)由题目中的天数得出频率,如下:‎ 包裹件数范围 ‎0~100‎ ‎101~200‎ ‎201~300‎ ‎301~400‎ ‎401~500‎ 包裹件数 ‎(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 若不裁员,则每天可揽件的上限为450件,公司每日揽件数情况如下:‎ 包裹件数 ‎(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 平均揽件数 ‎50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260‎ 故公司平均每日利润为260×5-3×100=1 000(元);若裁员1人,则每天可揽件的上限为300件,公司每日揽件数情况如下:‎ 包裹件数 ‎(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎300‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 平均揽件数 ‎50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235‎ 故公司平均每日利润为235×5-2×100=975(元).综上,公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.‎