【数学】2018届一轮复习人教A版2-6对数与对数函数学案
§2.6 对数与对数函数
考纲展示► 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．
考点1 对数的运算
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．
答案：x＝logaN a N
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝____________；
②loga＝____________；
③logaMn＝________(n∈R)；
④logamMn＝logaM.
(2)对数的性质：
①alogaN＝________；②logaaN＝________(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式：
①换底公式：logbN＝(a，b均大于0且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝________.
答案：(1)①logaM＋logaN ②logaM－logaN ③nlogaM
(2)①N ②N (3)②logad
(1)[教材习题改编]lg＋lg的值是( )
A. B．1
C．10 D．100
答案：B
(2)[教材习题改编](log29)·(log34)＝( )
A. B．
C．2 D．4
答案：D
(3)[教材习题改编]已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求＋的值(用m表示)．
解：＋＝＋＝2lg 5
＝2(1－lg 2)＝2(1－m)．
误用对数运算法则．
(1)log3－log3＋－1＝________.
(2)(log29)·(log34)＝________.
答案：(1)2 (2)4
解析：(1)原式＝log3＋31＝log3＋3＝－1＋3＝2.
(2)解法一：原式＝·
＝＝4.
解法二：原式＝2log23·
＝2×2＝4.
[典题1] (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
[答案] A
[解析] 由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.
(2)计算：log2＝________；
2log23＋log43＝________；
(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.
[答案] － 3 2
[解析] log2＝log2－log22＝－1
＝－；
2log23＋log43＝2 log23·2 log43＝3×2 log43
＝3×2＝3.
(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5
＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(3)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为________．
[答案]
[解析] 因为2＋log23＜4，
所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)，
而3＋log23＞4，
所以f(3＋log23)＝3＋log23＝× log23
＝×＝.
[点石成金] 对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
考点2 对数函数的图象及应用
对数函数的图象
y＝logax
a>1
0
0得x>－1，且函数y＝log2x在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(－1，＋∞)．
(2)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过的点是________．
答案：(2,2)
解析：因为对数函数y＝logax的图象恒过点(1,0)，所以函数y＝loga(x－1)的图象恒过点(2,0)，所以函数y＝loga(x－1)＋2的图象恒过点(2,2)．
对数函数常见两误区：概念；性质．
(1)函数f(x)＝lg的定义域是________，函数g(x)＝lg(x－3)－lg(x＋2)的定义域是________．
答案：{x|x>3或x<－2} {x|x>3}
解析：由>0得x>3或x<－2，
所以函数f(x)＝lg的定义域为{x|x>3或x<－2}；
由 得x>3，所以函数g(x)＝lg(x－3)－lg(x＋2)的定义域是{x|x>3}．可以看出f(x)与g(x)不是同一函数．
(2)[2014·天津卷]函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．
答案：(－∞，0)
解析：函数f(x)＝lg x2的单调递减区间需满足x2>0且y＝x2单调递减，故x∈(－∞，0)．
[典题2] (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
[答案] D
[解析] 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1.
又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1.
(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A. B．
C．(1，) D．(，2)
[答案] B
[解析] 由题意，得
当0＜a＜1时，要使得4x＜logax，
即当0＜x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．
又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图象过点.
把点代入函数y＝logax，得a＝.
若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需＜a＜1(如图所示)．
当a＞1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
[题点发散1] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)21时，如图．
要使当x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1，
所以1(x－1)2恰有三个整数解，画出图象可知a>1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足
得≤a<.
即实数a的取值范围为[，)．
[点石成金] 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系.
1.函数f(x)＝lg的大致图象为( )
A B
C D
答案：D
解析：f(x)＝lg ＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．
由y＝－lg|x|的图象可知选D.
2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．00 y<0 y<0 y>0 增 减
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
答案：y＝x
[考情聚焦] 对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．
主要有以下几个命题角度：
角度一
比较大小
[典题3] (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a＞c＞b B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
[答案] D
[解析] ∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，
∴log3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22，∴＜a＜1,0＜b＜，c＞1，
∴c＞a＞b.
(2)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e，则( )
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
[答案] D
[解析] ∵x＝ln π＞ln e，∴x＞1.
∵y＝log52＜log5，∴0＜y＜.
∵z＝e＝＞＝，∴＜z＜1.
综上可得，y＜z＜x.
[点石成金] 比较对数函数值大小的三种方法
(1)单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．
(2)中间量过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”．
(3)图象法，根据图象观察得出大小关系．
角度二
由对数函数的单调性求参数或自变量的取值范围
[典题4] (1)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C. D．(3，＋∞)
[答案] D
[解析] 由于a>0，且a≠1，
∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，
因此a>1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，
∴a－3>0，即a>3.
(2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案] C
[解析] 由题意可得，
或
解得a＞1或－1＜a＜0.
(3)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．
[答案]
[解析] y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同．
①当a＞1时，f(x)的最大值为f(1)，最小值为f(0)．
②当0＜a＜1时，f(x)的最大值为f(0)，最小值为f(1)．
∴不论a＞1还是0＜a＜1都有f(0)＋f(1)＝a，即a0＋loga1＋a＋loga2＝a，解得a＝.
[点石成金] 1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
2．对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
角度三
对数函数性质的综合问题
[典题5] (1)设函数f(x)＝|logax|(00时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；
③f(x)的最小值是lg 2；
④f(x)在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数．
其中所有正确结论的序号是________．
[答案] ①③④
[解析] 因为函数f(－x)＝lg ＝lg ＝f(x)，所以函数为偶函数，即图象关于y
轴对称，故①正确．因为函数y＝x＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y＝|x|＋在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－1)和(0,1)上是减函数，故②错，④正确．③因为＝|x|＋≥2＝2，所以f(x)≥lg 2，即最小值为lg 2，故③正确．
[点石成金] 解决对数函数综合问题时，要注意以下三点：
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
[方法技巧] 1.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2．比较幂、对数大小有两种常用方法
(1)数形结合；
(2)找中间量结合函数单调性．
3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
[易错防范] 1.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：
(1)务必先研究函数的定义域；
(2)注意对数底数的取值范围．
真题演练集训
1．[2015·湖南卷]设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案：A
解析：由得－10，故f(x)在(0,1)上为增函数．故选A.
2．[2015·陕西卷]设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p
C．p＝r＜q D．p＝r＞q
答案：C
解析：因为b＞a＞0，故＞.又f(x)＝ln x(x＞0)为增函数，所以f＞f()，即q＞p.又r＝[f(a)＋f(b)]＝(ln a＋ln b)＝ln＝p.
3．[2014·天津卷]函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
答案：D
解析：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故选D.
4．[2014·福建卷]若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A B
C D
答案：B
解析：因为函数y＝logax过点(3,1)，所以1＝loga3，解得a＝3，所以y＝3－x不可能过点(1,3)，排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1,1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.
5．[2016·浙江卷]已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
答案：4 2
解析：由于a>b>1，则logab∈(0,1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.
6．[2015·浙江卷]若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
答案：
解析：∵ a＝log43＝log223＝log23＝log2，
∴ 2a＋2－a＝2＋2＝＋2
＝＋＝.
课外拓展阅读
数形结合思想在对数函数中的应用
[典例] [2017·江西七校联考]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当－1
查看更多
