2018-2019学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．，集合，集合，则集合的真子集有 A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 ‎【答案】B ‎【解析】首先计算出，再根据集合A中有个元素，集合A真子集的个数为即可得解。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，所以集合的真子集的个数为个 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了交集的运算，若集合A中有个元素，则集合A的子集有个，真子集的个数为个 ‎2．数满足,则 A． B．5 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据计算出，再计算出,进而即可得解。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的共轭复数及复数的四则运算，属于基础题。‎ ‎3．两名同学近几次信息技术比赛(满分为26分)得分统计成绩茎叶图如图，若甲乙比赛成绩的平均数与中位数分别相等，则有序数对（x，y）为 ‎ A．（3，2） B．（2，3）‎ C．（3，1）或（7，5） D．（3，2）或（7，5）‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据茎叶图分别计算出两名同学的平均数和中位数，由平均数相等得出关于和的等式，再根据中位数相等又得出另外一个等式。根据两个等式解出，即可。‎ ‎【详解】‎ 甲乙两人的平均数相等 即 又甲乙两人的中位数相等 或或或 解得: 或（舍去）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了茎叶图的读取，平均数与中位数的计算，在计算中位数时注意分类讨论的情况。属于中档题。‎ ‎4．任意正数x，不等式恒成立，则实数a的最大值为 A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式把实数分离出来，即，此时不等式恒成立，只需要小于等于的最小值即可。‎ ‎【详解】‎ 又（当且仅当取到等号）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含参数不等式恒成立时参数的取值范围，常用的方法有分离参数法，再结合基本不等式，转化成求最值的问题。‎ ‎5．量，，且，则 A．2 B． C．7 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】向量,再利用整体代换的思想即可求出 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的加法（首尾相接首尾连），向量的乘法，由于本题没有告诉向量的夹角，因此利用整体代换的思想解决。‎ ‎6．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．‎ ‎【考点】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．‎ ‎7．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7,8,9中的一个数字，第四位是1,2,3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先根据分步乘法计数原理计算出总的情况，其中只有一种情况正确。即可算出概率。‎ ‎【详解】‎ 第二位有三种情况，第四位有三种情况，所以一共有种情况，所以一次输对的概率为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了事件与概率，主要掌握分步乘法计数原理，即完成一件事的方法，把每一步完成的方法相乘，就是完成这件事所有的方法。本题属于基础题。‎ ‎8．数，若将的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先计算出平移后的解析式，由于平移后图形关于轴对称，因此平移后得到的是一个余弦型的函数，由此求出。‎ ‎【详解】‎ 有题意得将的图象向左平移个单位后所得：‎ 因为关于轴对称，所以。所以时，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了图像的平移变换(左右平移知针对),三角函数的奇偶性。图像关于轴对称说明为偶函数（为偶函数）。‎ ‎9．四面体共一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为1，，3，且四面体的四个顶点在同一球面上，则这个球的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三条棱两两垂直，可以把这个求看成一个长方体的外切球。即球的半径是长方体体对角线的一半。‎ ‎【详解】‎ 由题意得;把这个球看成长宽高分别为1，，3的长方体的外切球。所以半径，所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何体外接球的问题，常用的解决方法,看成正方体或者长方体的外接球，其中球的半径等于长方体或正方体体对角线的一半。‎ ‎10．已知奇函数是上的减函数，，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为是奇函数，所以，转化成比较的大小，根据单调性即可得出的大小。‎ ‎【详解】‎ 由题意得 奇函数是上为减函数 在上为减函数。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的性质，以及函数的单调性，对数之间比较大小。对数之间比较大小，若底相同，则根据单调性判断，若底不相同则分别和1，0比较。‎ ‎11．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】记点正下方为，在与，根据题中数据，分别求出，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 记点正下方为，‎ 由题意可得，，，‎ 在中，由，‎ 得到；‎ 在中，由得到，‎ 所以河流的宽度等于米.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形，熟记特殊角对应的三角函数值，已经两角和的正切公式即可，属于常考题型.‎ ‎12．实数a，b定义运算“”；，设 ‎，若函数至少有两个零点，则k的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先根据，计算出，然后再根据图像，把问题转化成求两个函数图像交点的问题。‎ ‎【详解】‎ 根据定义可得：‎ 所以至少有两个零点，转化成函数与的图像有两个交点的问题。其中的图像如下：‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了新定义的问题，根据新定义计算出分段函数，函数零点的问题一般转化成函数图像交点的问题，这类题主要应用的是数形结合的思想，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．‎ ‎【答案】760‎ ‎【解析】设样本中女生为人，则，解得。设该校女生人数为人，则，解得。‎ ‎14．在中，a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，设向量 ‎，，若，则角A的大小为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据得出之间的关系，由之间的关系即可得出角A ‎【详解】‎ 因为，，。‎ 所以，因此，所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的平行，即，若，则，属于基础题。‎ ‎15．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是______．‎ ‎ ①A与C是互斥事件 ②B与E 是互斥事件，且是对立事件 ‎ ‎③B与C不是互斥事件 ④C与E是互斥事件 ‎【答案】②③‎ ‎【解析】理解事件A,事件B,事件C,事件D之间的关系即可。‎ ‎【详解】‎ ‎①A与C不是互斥事件 ②B与E 是互斥事件，且是对立事件 ③B与C不是互斥事件 ④C与E不是互斥事件 ‎【点睛】‎ 本题考查了互斥事件、对立事件，充分理解互斥事件、对立事件是本题的关键。属于基础题。‎ ‎16．已知函数 ．若，使，则实数m的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，都有所以，因此只需求出在区间上的最小值和在 上的最小值，解不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 当时 在为增函数 又在区间上为减函数，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的问题，结合函数的单调性求最值。求函数单调性主要有两种方法：一是利用导数判断单调性，而是根据基本初等函数判断单调性。本题属于中等题。‎ 三、解答题 ‎17．从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体的直观图中分离出来的．‎ ‎（Ⅰ）求直观图中的面积；‎ ‎（Ⅱ) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据斜二测画法前后边长和角度的变化即可判断出直观图中的长度与角度。‎ ‎（Ⅱ）由题意可得最多能盛的水的体积等于三棱锥 的体积。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥 的体积，所以 。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了斜二测画法前后边长和角度的变化，以及三棱锥的体积公式。属于基础题题型。‎ ‎18．满足，，点在内且的面积分别为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，可得，再由即可得出 ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）得代入得去括号用基本不等式即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由已知得 ，得 ，故 。又，则 。‎ ‎（Ⅱ） 。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形的面积公式，以及基本不等式）。属于中等题。‎ ‎19．向量，设函数 ．‎ ‎（Ⅰ）求的表达式并化简；‎ ‎（Ⅱ）写出的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数在区间内的草图；‎ ‎（Ⅲ）若方程在上有两个根，求m的取值范围及的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据及辅助角公式即可化简。‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的化简结果及得出最小正周期，再利用五点作图法即可画出内的草图 ‎（Ⅲ）转化成与的交点问题。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） 。‎ ‎（Ⅱ）的最小正周期。‎ ‎（Ⅲ）由图可知，当时，，即 当时， ，即 ‎∴。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的乘法，三角函数的周期、辅助角公式的应用、五点作图法画给定区间函数图像的问题，以及方程转化成两个函数交点的问题，数形结合是解决本题的关键。‎ ‎20．乡大学生携手回乡创业，他们引进某种果树在家乡进行种植试验．他们分别在五种不同的试验田中种植了这种果树100株并记录了五种不同的试验田中果树的死亡数，得到如下数据：‎ 试验田 试验田1‎ 试验田2‎ 试验田3‎ 试验田4‎ 试验田5‎ 死亡数 ‎23‎ ‎32‎ ‎24‎ ‎29‎ ‎17‎ ‎（Ⅰ）求这五种不同的试验田中果树的平均死亡数；‎ ‎（Ⅱ）从五种不同的试验田中随机取两种试验田的果树死亡数，记为x，y，用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）25； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）计算出5种试验田果树死亡数的总数，再除以5即可。‎ ‎（Ⅱ）首先算出取值的所有情况，其次计算出的所有情况，两种的概率相加即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意，这5种试验田果树的的平均死亡数为：。‎ ‎（Ⅱ）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，‎ 设满足的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个， ∴，‎ 设满足的事件为B，则事件B包含的基本事件为：（23，24），（32，29），共有个， ‎ ‎∴，‎ ‎∴的概率。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平均数及概率，首先找出基本事件，其次找出基本事件中满足题目条件的事件。即可得出概率。‎ ‎21．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱PA、AB、AD两两垂直且相等，E，F分别是AC，PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF//平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求EF与平面PAC所成角的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接BD，则E是BD的中点，F是PB的中点得EF//PD。线面平行转化为线线平行。‎ ‎（Ⅱ）首先找出EF与平面PAC所成的角，由题意可得EF与平面PAC所成的角的大小等于。根据条件得，所以。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点 又F是PB的中点，∴ EF//PD，‎ ‎∵ EF不在平面PCD内，∴ EF//平面PCD。‎ ‎（Ⅱ）连接PE，∵ ABCD是正方形，∴‎ 又平面，∴。‎ ‎∴平面，故是PD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵EF//PD，∴EF与平面PAC所成的角的大小等于 ‎∵PA=AB=AD，，‎ ‎∴≌，因此PD=BD 在中，，‎ ‎∴EF与平面PAC所成角的大小是。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了证明线面垂直（通常转化成证明线线垂直）。求直线与平面成的夹角通常直接找直线与平面成的角或者建立空间直角坐标系利用向量法。‎ ‎22．已知函数满足．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求a的值；‎ ‎（Ⅲ）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）或；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时等价于解出即可。‎ ‎（Ⅱ）的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一解的问题。‎ ‎（Ⅲ）当时，，所以在上单调递减函数，在区间上的最大值与最小值分别为，，即转化成对任意 恒成立的问题。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意可得，得，解得。‎ ‎（Ⅱ）方程有且仅有一解， 等价于有且仅有一解，且，‎ 当时，符合题意；‎ 当时，此时满足题意，‎ 综上，或。‎ ‎（Ⅲ）当时，，‎ 所以在上单调递减 函数在区间上的最大值与最小值分别为，，‎ 即对任意 恒成立，‎ 因为， 所以函数在区间上单调递增，‎ 所以时，y有最小值，‎ 由，得 故的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解对数不等式、方程解的根的个数问题以及复合函数的单调性与最值的问题，其中解对数不等式主要注意两点一是真数大于0。二是对数函数的单调性。方程的根的个数问题一般转化成一元二次方程根的问题或函数图像交点的问题。复合函数单调性：同增异减。‎