高考数学【理科】真题分类详细解析版专题6 不等式（解析版）
专题06 不等式
【2013高考真题】
（2013·天津理）8. 已知函数. 设关于x的不等式的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】因为，且，所以，故排除C；又因为，
所以，故排除D；当时，适合题意，故排除B，所以选项A正确.
【学科网考点定位】本小题主要考查函数的性质、函数的图象等基础知识，考查函数与方程、数形结合等数学思想，考查分析问题与解决问题的能力.
（2013·上海理）15．设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B．
【学科网考点定位】考查解不等式及数轴法解集合题，属中档题。
（2013·陕西理）9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）
(A) [15,20] (B) [12,25]
(C) [10,30] (D) [20,30]
【答案】C
解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于难题。
（2013·山东理）12.设正实数满足,则当取得最大值时，的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当且仅当时成立，因此
所以
【学科网考点定位】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想。基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值.
（2013·湖南理）
10.已知 .
（2013·湖南理）20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。
【答案】（1）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为
.
（2）依题意，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度之和（记为d）的最小值；
1、当时，，因为
时等号成立.
故当P的坐标为（3,1）时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45；
2、当时，由于“L路径”不能进入保护区，所以”，此时
，，有1知，，，当且仅当时等号成立，综上所述，在P（3,1）处修建文化中心，可以使得“L路径”长度之和最小.
【解析】（1）根据题设信息容易得到居民区A的“L路径”长度最小值为；（2）分当时和当时进行讨论，等到相应的最短路径.
【学科网考点定位】本题考查绝对值不等式的求值，考查学生的数学建模能力以及逻辑推理能力.
（2013·江西理）16．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）
此类求三角形的内角的问题在解法上既可以直接化简求值，也可以运用正余弦定理化边为角，或化角为边，注意角的取值范围.
（2） 在三角形ABC中有余弦定理得
用余弦定理和均值不等式是解决该类问题常用的解法，但是不能忽略题设条件下边长b所以的最小值为，此时，所以a + b =，解得.
【学科网考点定位】本小题主要考查均值不等式的变形应用(1的代换),要注意应用均值不等式成立的条件,熟练不等式的基础知识是解答好本类题目的关键.
【2012高考真题】
1.（2012·福建卷）下列不等式一定成立的是( )
A．lg＞lgx(x＞0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＞1(x∈R)
【答案】C 【解析】本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件．对于A选项，当x＝时，lg＝lgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C
命题显然正确；D命题不正确，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，所以正确的是C.
2．（2012·重庆卷）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.
(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；
(2)若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．
【答案】解：(1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.
综上，＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
证法二：用数学归纳法证明an＝a，n∈N*.
当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，
所以结论成立．
假设n＝k时，结论成立，即ak＝a，那么
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(a2Sk＋a1)－(a2Sk－1＋a1)＝a2(Sk－Sk－1)＝a2ak＝a，
这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
综上可得，对任意n∈N*，an＝a.因此{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
(2)当n＝1或2时，显然Sn＝(a1＋an)，等号成立．
设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由(1)知a1＝1，an＝a，所以要证的不等式化为
1＋a2＋a＋…＋a≤(1＋a)(n≥3)，
综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．
证法二：当n＝1或2时，显然Sn≤(a1＋an)，等号成立．当a2＝1时，Sn＝n＝(a1＋an)，等号也成立．
当a2≠1时，由(1)知Sn＝，an＝a，下证：
＜(1＋a)(n≥3，a2＞－1且a2≠1)．
当－1＜a2＜1时，上面不等式化为
(n－2)a＋na2－na＜n－2(n≥3)．
令f(a2)＝(n－2)a＋na2－na.
当－1＜a2＜0时，1－a＞0，故
f(a2)＝(n－2)a＋na2(1－a)＜(n－2)|a2|n＜n－2，
即所要证的不等式成立．
当0＜a2＜1时，对a2求导得f′(a2)＝n（(n－2)a－(n－1)a＋1]＝ng(a2)．
其中g(a2)＝(n－2)a－(n－1)a＋1，则g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a2－1)a＜0，即g(a2)是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1)＝0，从而f′(a2)＝ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．
当a2＞1时，令b＝，则0＜b＜1，由已知的结论知
＜，
两边同时乘以a得所要证的不等式．
综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．
3．（2012·浙江卷）设a>0，b>0( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a
b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，故A正确，B错误．其余选项用同样方法排除．
4．（2012·浙江卷）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
【答案】C 【解析】本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等选C.
4．（2012·山东卷）若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
【答案】2 【解析】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，容易题．
去绝对值得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，又∵其解集为，∴k＝2.
5．（2012·江苏卷）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为（0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
6．（2012·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
【答案】－1,1 【解析】本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算，考查运算求解能力，容易题．
∵A＝，且A∩B＝(－1，n)，∴m＝－1，B＝，
∴A∩B＝(－1,1)，即n＝1.
7．（2012·浙江卷）设集合A＝{x|13}，那么A∩(∁RB)＝{x|30时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，所以正确的是C.
24．（2012·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C<；
②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<；
④若(a＋b)c<2ab，则C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.
【答案】①②③ 【解析】
本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．
对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC＝＋≥2，则cosC>，因为0ab>c2，所以C<，④错误；
对于⑤，c2<2a2b2可变为＋<，即>，所以c2≥，所以C<，故⑤错误．故答案为①②③.
25．（2012·江苏卷）已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．
【答案】．[e,7] 【解析】本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元．
＝，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组得交点坐标为C，此时zmax＝7.又过原点作曲线y＝ex的切线，切点为(x0，y0)，因y′＝ex，故切线斜率k＝ex0，切线方程为y＝ex0x，而y0＝ex0且y0＝ex0x0，解之得x0＝1，故切线方程为y＝ex，从而zmin＝e，所求取值范围为[e,7]．
26．(2012·广东卷)设a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．
【答案】解：(1)x∈D⇔x>0且2x2－3(1＋a)x＋6a>0.
令h(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
x1＝x2＝＝＝1，
∴B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．
于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．
③当a<时，Δ>0，此时方程h(x)＝0有两个不同的解
x1＝，
x2＝.
∵x10，
∴B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
又∵x1>0⇔a>0，所以
i)当01.
由表可得，f(x)在D内单调递增．
因此f(x)在D内没有极值点．
27．(2012·陕西卷)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；
(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；
(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．
【答案】解：(1)b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.
∵fnfn(1)＝×1<0，∴fn(x)在内存在零点．
又当x∈时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0，
∵fn(x)在上是单调递增的，∴fn(x)在内存在唯一零点．
(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：
当－1≤－≤1，即－2≤b≤2时，
M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2
＝＋－f2
＝1＋c＋|b|－
＝2≤4恒成立．
(3)法一：设xn是fn(x)在内的唯一零点(n≥2)．
fn(xn)＝x＋xn－1＝0，fn＋1(xn＋1)＝x＋xn＋1－1＝0，xn＋1∈，
于是有fn(xn)＝0＝fn＋1(xn＋1)＝x＋xn＋1－10，k>0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10 km.
(2)因为a>0，所以
炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6 km时，可击中目标．
29．(2012·四川卷)如图1－7所示，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB，设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求
的取值范围．
图1－7
x2－4mx＋m2＋3＝0.(*)
由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内，设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3.
所以
解得，m>1，且m≠2.
设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|<|PR|有xR＝2m＋，xQ＝2m－.
所以＝＝＝＝－1＋.
由m>1，且m≠2，有
1<－1＋<7＋4，且－1＋≠7.
所以的取值范围是(1,7)∪(7,7＋4)．
30．(2012·四川卷)记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－
1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝(n∈N*)．现有下列命题：
①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；
③当n≥1时，xn＞－1；
④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
【答案】①③④ 【解析】对于①，x1＝a＝5，x2＝＝3，x3＝＝＝2，①正确；
对于②，取a＝3，则x1＝3，x2＝＝＝2，
x3＝＝＝1，x4＝＝＝2.
即－xk≥0，∴－xk≥－xk≥0，即－xk≥0，解得xk≤，
结合③得：－1＜xk≤，故xk＝. ④正确．
31．(2012·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C<；
②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<；
④若(a＋b)c<2ab，则C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.
【答案】①②③ 【解析】本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．
对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC＝＋≥2，则cosC>，因为03即
8cosC＋2>3≥6，则cosC>，因为0＋≥，可得>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<，④错误；
对于⑤，c2<2a2b2可变为＋<，即>，所以c2≥，所以C<，故⑤错误．故答案为①②③.
32．(2012·四川卷)已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
(1)用a和n表示f(n)；
(2)求对所有n都有≥成立的a的最小值；
(3)当0＜a＜1时，比较与·的大小，并说明理由．
【答案】解：(1)由已知得，交点A的坐标为，对y＝－x2＋an求导得y′＝－2x
，则抛物线在点A处的切线方程为y＝－，即y＝－x＋an，则f(n)＝an.
>2n3＋1.
所以，当0·
＝·.
【2011高考真题精选】
1.(2011年高考浙江卷理科5)设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
（A）14 （B）16 （C）17 （D）19
【答案】 B
故选.
2.(2011年高考浙江卷理科7)若为实数，则“”是的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】则因为所以 即于是所以成立，充分条件；
反之成立，即
则
故，不必要条件。故选A
3.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足则
的最大值和最小值分别为
（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１
【答案】B
【解析】不等式对应的区域如图所示，
当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.
4. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
5. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,原函数的定义域为,所以由
可得,解得,故选C.
6. (2011年高考湖南卷理科7)设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出可行域，或分别解方程组，，得到三个区值为（ ）
A. B. C.4 D.3
【答案】C
【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,
，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。
,所以.
8．(2011年高考湖北卷理科8)已知向量，且，若满足不等式，则z的取值范围为
A.[—2,2] B. [—2,3] C. [—3,2] D. [—3,3]
【答案】D
9．(2011年高考湖北卷理科9)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.
10.(2011年高考浙江卷理科16)设为实数，若则的最大值是 .。
【答案】
【解析】，
，故的最大值为
11．(2011年高考天津卷理科13)
已知集合，则集合=________
【答案】
【解析】因为,所以,所以;由绝对值的几何意义可得:,所以=.
12. (2011年高考湖南卷理科10)设，且，则的最小值为 .
【答案】9
【解析】由，且可知：，则
（当且仅当时，取到等号）。故填9
13. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.
【答案】
【解析】。由题得 所以不等式的解集为。
14.(2011年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
【答案】4
15．(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:．实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。
（1）过点作L的切线教y轴于点
B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） X;
（3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）．
1）先证：
（）设
当
当
（）设
当
注意到
2）次证：
（）已知利用（1）有
（）设，断言必有
若不然，令Y是上线段上异于两端点的点的集合，
由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾。
故必有再由等价式1），
综上，
（3）求得的交点
而是Ｌ的切点为的切线，且与轴交于，
由（１）线段Q1Q2，有
,
故
16. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）
(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；
(Ⅱ)设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则
（Ⅱ）
（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，
，从而有，得，
求和得,
,,即
.
（2）①先证.
令，则,于是
综合①②，（2）得证.
【2010高考真题精选】
1.（2010浙江理数）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数
（A） （B） （C）1 （D）2
【答案】C
【解析】将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
2.（2010全国卷2理数）不等式的解集为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C。
3.（2010江西理数）不等式 高☆考♂资♀源*网的解集是（ ）
A. B. C. D.
4.（2010重庆理数）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A. 3 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】考察均值不等式
，整理得
即，又，
5.（2010重庆理数）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6
6.（2010四川理数）设，则的最小值是
A）2 （B）4 （C） （D）5
【答案】B
7.（2010四川理数）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【答案】B
【解析】设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱
则
目标函数z＝280x＋300y
结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
8.（2010福建理数）设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为
，所以选B。
9.（2010辽宁理数）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
【答案】（3，8）
【解析】画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.
10.（2010安徽理数）设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为________。
【答案】4
【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是
，易见目标函数在取最大值8，
所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.
11.（2010湖北理数）已知，式中变量，满足约束条件，则的最大值为___________.
【答案】5
【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z，
当直线经过A（2，－1）时，z取到最大值，.
12.（2010湖北理数）设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。
【答案】CD DE
【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b
的几何平均数，将OC=代入可得
故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平
均数.
13.（2010江苏卷）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。。
【答案】27
【解析】 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
，，，的最大值是27。
14.（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知
(I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
【解析】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π
所以sinC=.
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得
c=4
由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得
cosC=±
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2±b-12=0
解得 b=或2
所以 b= b=
c=4 或 c=4
15.（2010辽宁理数）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【答案】解：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分
17.（2010江西理数）（本小题满分12高☆考♂资♀源*网分）
已知函数。
(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；
(2) 当时，，求m的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依
代入上式，m=-2.
18.（2010四川理数）（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.
【答案】解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分
(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S＝bcsinA＝
＝bccosA＝3＞0
∴A∈(0, ),cosA＝3sinA
又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝
由题意，cosB＝,得sinB＝
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………12分
19.（2010天津理数）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
小值为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知
又因为，所以
由，得
从而
所以
20.（2010福建理数）轮某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】如图，由（1）得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，
所以，解得，
从而值，且最小值为，于是
当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
21.（2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
【解析】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，
是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数；
当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；
②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。
当时，，
，
，
解得：
∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，
∴是有理数。
，
及①和归纳假设，知和都是有理数。
即当时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
【2009高考真题精选】
1．（2009·天津理6）设若的最小值为
A 8 B 4 C 1 D
【答案】C
【解析】因为，所以，
，当且仅当即
时“=”成立，故选择C
2.（2009·山东12）设x，y满足约束条件 ，
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为( ).
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,
目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.
3. (宁夏海南文理6)设满足则
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
【答案】B
【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B。
4．(福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.
5．(山东5)在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ).
A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2)
【答案】B.
【解析】:根据定义⊙,解得,所以所求的实数的取值范围为(-2,1),故选B.
6．(2009·山东13) 不等式的解集为 .
【答案】
是 ．
【答案】4
【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，
8.（2009·山东文16）某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
【答案】2300
【解析】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品
设备
A类产品 (件)(≥50)
B类产品 (件)(≥140)
租赁费 (元)
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为即:,
作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元.
9.(2009·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值是 ．
【答案】4
【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，
10. (江苏12) 设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考 综上
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为.
【2008年高考真题精选】
1．（2008·山东理）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
【答案】C
【解析】本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M， 显然，只需要研究过、两种情形。且即
2．（2008·广东理）若变量满足则的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
【答案】C
【解析】画出可行域（如图），在点取最大值
3．（2008·山东理）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 .
【答案】（5，7）
【解析】本题考查绝对值不等式
，解得
4．（2008·广东理）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】方程即,左边 在数轴上表示点到原点和的距离的和，易见（等号成立），而右边的最大值是，所以方程有解当且仅当两边都等于，可得实数的取值范围为
5．（2008·江苏）的最小值为 。
【答案】3
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。
6．(2008·山东理14)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_______.
