山东省淄博实验中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

山东省淄博实验中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

淄博实验中学2018级（高二）第一学期教学效果检测 数学 一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，在每小题给出的四个选项中，第1-10题有且只有一个选项符合题目要求，第11-13题有多个选项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）‎ ‎1.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：令，可得，；对B，当时不成立，由此得出结论.‎ 解析：令，可得，，故C正确；对B，当时不成立.‎ 故选：C.‎ 点睛：判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质或者利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项.‎ ‎2.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 或 ‎ D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：，解得：，‎ 当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，‎ 当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，‎ 本题选择C选项.‎ ‎3.等差数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A. 58 B. ‎54 ‎C. 56 D. 52‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，得,‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎4.已知空间三点坐标分别为A（4,1,3），B(2,3,1），C（3,7，-5），又点P（x,-1,3) 在平面ABC内，则x的值 （ ） ‎ A. -4 B. ‎1 ‎C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的共面定理即可求出答案 ‎【详解】在平面内 使得等式成立 ‎，消去解得 故选D ‎【点睛】本题主要考查了空间向量坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。‎ ‎5.“”是“方程表示椭圆”的 A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且，‎ 所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.‎ ‎6.若直线（） 过圆的圆心，则的最小值为（）‎ A. 16 B. ‎20 ‎C. 12 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－‎4a－b＋1＝0，∴‎4a＋b＝1，∴＝(‎4a＋b) ()＝4＋＋4≥16，当且仅当b＝‎4a，即a＝，b＝时等号成立，∴的最小值为16.‎ ‎7.已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为（ ）‎ A. B. ‎4 ‎C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，可得=a1•a7，化简可得a1与d的关系．可得公比q=．即可得出=．‎ 详解：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，‎ ‎∴=a1•a7，可得=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0．‎ ‎∴公比q====2．‎ 则==．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8.在数列中，，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：在数列中，‎ 故选A.‎ ‎9.‎ ‎《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为（ ）‎ A. 只 B. 只 C. 只 D. 只 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将爵次从高到低分配的猎物数设为等差数列，可知，，从而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果.‎ ‎【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列,则 又 ‎ ‎，即大夫所得鹿数为只 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎10.已知椭圆的一条弦所在的直线方程是弦的中点坐标是则椭圆的离心率是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知 代入k=1,M(-4,1),解得，选C.‎ ‎11.（多选）若，则下列不等式中一定不成立是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于选项A,B,C,D都可以利用作差法判断两个量的大小关系，逐一运算即可.‎ ‎【详解】解：，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.‎ 故选AD.‎ ‎【点睛】本题考查了利用作差法判断两个量的大小关系，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎12.下面命题正确是（ ）‎ A. “”是“”的 充 分不 必 要条件 B. 命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.‎ C. 设,则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设,则“”是“”的必要 不 充 分 条件 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A:先判断由,能不能推出,再判断由,能不能推出,最后判断本选项是否正确；‎ 选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.‎ 选项C:先判断由且能不能推出,然后再判断由能不能推出且,最后判断本选项是否正确；‎ 选项D:先判断由能不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.‎ ‎【详解】选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；‎ 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.所以本选项是正确的；‎ 选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；‎ 选项D: 因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.‎ 故选ABD ‎【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.‎ ‎13.已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 ，则有（ ）‎ A. 渐近线方程为 B. ‎ C. D. 渐近线方程为 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．‎ ‎【详解】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），‎ 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．‎ 若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，‎ 可得：，即，故e．且，故渐近线方程为渐近线方程为 故选AC．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题4分，共16分，其中16题每空2分）‎ ‎14.已知命题的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若是的必要不充分条件，则集合是集合的子集，‎ 据此可得：实数的取值范围是.‎ ‎15.已知向量，若，则实数的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，向量，所以，由空间向量的坐标运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意知，向量，所以，‎ 又由 ‎，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎16.已知数列的前项和公式为，若， 则 ________；数列的前项和__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由得数列的通项，利用等比数列求和得数列的前项和 ‎【详解】当 ‎ ‎，满足，故 ‎ 若，则，故数列的前项和 故答案为； ‎ ‎【点睛】本题考查利用前n项和求通项公式，考查等比数列求和，是基础题.‎ ‎17.已知双曲线的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在一象限的公共点为，若直线斜率为，则双曲线离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得，，，过 作抛物线准线的垂线，垂足为，设，，可得， ．结合，化简可得，在△中，由余弦定理可得，即可求解 ‎【详解】因为是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以，‎ 解得，所以抛物线的方程为：；‎ ‎ 由，，‎ 如图过作抛物线准线的垂线，垂足为，设，，‎ 则，．‎ 由，可得 在△中，，，，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎，又，，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和解三角形的运算，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共有6个小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18.不等式 ‎（1）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（2）若不等式的解集为R，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由一元二次不等式的解集和其对应一元二次方程的根的关系可得.‎ ‎（2）由二次函数的图像可知，不等式的解集为R当且仅当二次项系数小于0，判别式小于0.‎ 详解：(1)不等式的解集是或 方程的两个根为-3,-2‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎(2):①k=0时，显然不满足题意 ‎②时，解得，综上：‎ 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，已知不等式的解集求参数的值或参数的取值范围，解题时注意讨论，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．‎ ‎19.已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离．‎ ‎(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；‎ ‎(Ⅱ)若曲线与直线相交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据抛物线的定义得知点的轨迹为抛物线，确定抛物线的焦点和准线，于此得出抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点、，将直线与曲线的方程联立，利用抛物线的定义求出，并利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式计算出的面积.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为；‎ ‎（Ⅱ）设, 联立，得 , , ‎ 直线经过抛物线的焦点, ‎ 点到直线的距离，‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、以及直线与抛物线中的三角形面积的计算，考查韦达定理设而不求思想的应用，解题关键在于利用相关公式计算弦长与距离，这类问题计算量较大，对计算要求较高，属于中等题．‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD，，点E，F为PC，PA的中点．‎ ‎（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；‎ ‎（2）二面角E—BD—F的大小；‎ ‎（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）CM与平面BDF不平行，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AC与BD，设交点为O，连接FO，证明平面ABCD，得到答案.‎ ‎（2）以O为原点，以OB，OC，OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法向量，计算夹角得到答案.‎ ‎（3）假设存在，设，计算得到，所以不存在.‎ ‎【详解】（1）证明：连接AC与BD，设交点为O，连接FO，‎ 由已知E，O分别为PC，AC中点，可得EO//PA,‎ 又因为平面ABCD，‎ 所以平面ABCD，平面BDE 所以平面BDE⊥平面ABCD.‎ ‎（2）以O为原点，以OB，OC，OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系 设AB=a，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，，则AC=a，‎ ‎，，，，，，‎ 则，.‎ 设平面BFD的法向量为，‎ 则有，即，即 令，则 又由（1）可知为平面BDE的法向量，‎ 所以二面角E—BD—F的大小为 ‎（3）因为点M在PB(端点除外)上，设，‎ 则，，‎ 所以CM与平面BDF不平行.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直，二面角和线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎21.已知数列满足： .‎ ‎（1）求证：数列为等比数列并求的通项公式；‎ ‎（2）设，若数列的前项和为,求证： .‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用构造法求通项即可；‎ ‎（2）利用裂项相消求和得，再利用数列单调性求最值即可证明即可 ‎【详解】（1）∵‎ ‎∴ ,又，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）证明：由（1）可得，‎ ‎ ‎ ‎∴，‎ 设则单调递增，∴，‎ 又，∴，即．‎ ‎【点睛】本题考查构造法求通项公式，裂项相消求和，考查数列单调性，准确计算是关键，是中档题 ‎22.我国西部某省级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按天计算）每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．‎ ‎(1)求该村的第x天的旅游收入,并求最低日收入为多少？（单位：千元，，）；‎ ‎(2)若以最低日收入的作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？‎ ‎【答案】（1），日最低收入为千元；（2）能．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据旅游收入p（x）等于每天的旅游人数f（x）与游客人均消费g（x）的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；‎ ‎（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．‎ ‎【详解】(1)依据题意，有(,)‎ 即 ，‎ 当时， ‎ ‎(当且仅当时，等号成立) ． 因此， (千元) ．‎ 当时，．‎ 易知函数 在上单调递减，于， (千元) ．‎ 又，所以，日最低收入为千元．‎ ‎(2)该村两年可收回的投资资金为(千元)= (万元)．‎ 因为万元 万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．‎ ‎23.如图，已知椭圆：，左顶点为，经过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立；‎ ‎（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据待定系数法求得椭圆的方程；‎ ‎（2）利用点差法求出直线的斜率，再利用直线的斜率相乘为，证得两直线垂直；‎ ‎（3）将式子表示成关于的表达式，再利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，所以椭圆，‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为直线的斜率为，所以，‎ 设直线的方程为，‎ 当时，，故，‎ 所以，所以，‎ 所以对于任意的都有恒成立.‎ ‎（3）因为，所以设的方程为，代入得：，‎ 所以，.‎ 由，得，‎ 所以弦长，‎ 所以，‎ 所以，‎ 等号成立当且仅当.‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法、利用斜率关系证明直线垂直、及利用代数中的基本不等式求几何中的最值，求解过程中注意弦长公式的灵活运用，不一定非得用韦达定理按部就班，而是可以直接利用公式，这能使运算量更小，速度更快.‎