数学理卷·2018届湖南省衡阳市高三第二次联考（二模）（2018

数学理卷·2018届湖南省衡阳市高三第二次联考（二模）（2018

‎2018届高中毕业班联考（二）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数的实部与虚部之和为1，则实数的值为( )‎ A．2 B．1 C．4 D．3‎ ‎2.下列说法错误的是( )‎ A．“若，则”的逆否命题是“若，则” ‎ B．“”是“”的充分不必呀条件 ‎ C．“”的否定是“” ‎ D．命题：“在锐角中，”为真命题 ‎3.“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为( )‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.如图，格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )‎ A．3 B． C. D．1‎ ‎6.已知函数，把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向左平移各单位长度，得到函数的图象，则函数的对称中心是( )‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7. 泰九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例。若输人的值分別为4,5,则输出的值为( )‎ ‎ ‎ A．211 B．100 C.1048 D．1055‎ ‎8.在中，，点是的重心，则的最小值是( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.已知函数的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )‎ ‎ ‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10.在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎11.当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数.如，则( )‎ A．342 B．345 C.341 D．346‎ ‎12.已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值,则下列结论中正确的是( )‎ A．存在 ,使得 B．存在，使得 ‎ C.的最大值为 D．的最大值为 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 ．‎ ‎14.设，在约束条件下，目标函数的最小值为-5，则的值为 ．‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点，若,则直线的斜率为 ．‎ ‎16.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 等差数列中，,为等比数列的前项和，且,若成等差数列.‎ ‎(1)求数列，的通项公式；‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎18. 如图，平面平面,是等边三角形，是的中点.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎19.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径 服从正态分布.‎ ‎(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；‎ ‎(2)如果钢管的直径满足为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.‎ ‎（参考数据：若,则；‎ ‎.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，倾斜角为30°的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.‎ ‎(1)求椭圆 的方程；‎ ‎(2)若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积于的面积分别为.‎ ‎①求的最大值；‎ ‎②当取得最大值时，求的值.‎ ‎21.已知函数 .‎ ‎(1)当时，证明：；‎ ‎(2)当时，函数单调递增，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.‎ ‎(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.若函数的最小值为4.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 衡阳市 2018 届⾼高三第⼆二次联考数学（理理科）参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:ADBAD 6-10: CDBBC 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 1 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解:（1）在等差数列列中，设公差为,,‎ ‎.‎ 设等⽐比数列列的公⽐比为，依题有：‎ ‎.‎ ‎(2).‎ 当.‎ 当时，,‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① ‎--②‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎18. 解:（1）因为是等边三⻆角形，是的中点，所以,因为平面 平面，所以，因为,所以平面，因为平面，所以.‎ ‎ ‎ ‎(2)解法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建⽴立如图所示的空间直⻆角坐标系.‎ 因为平面，所以为直线与平面所成的角.‎ 由题意得,,‎ 即，从而.不妨设,又,则.‎ 故.‎ 于是,‎ 设平面与平面的法向量分别为,‎ 由令,得 由令,得.‎ ‎.‎ ‎.故二面角的正弦值为1.‎ ‎(2)解法2：平面为直线与平面所成的角.‎ 由题意得,‎ 即，从而.‎ 不妨设,又,则，.‎ 由于平面，平面，则.‎ 取的中点，连接，则.‎ 在中，,‎ 在中，,‎ 在中，,‎ 取的中点，连接,则.‎ 所以为二面角的平面角.‎ 在中，,‎ 在中，,‎ 在中，,‎ ‎.‎ 故二面角的正弦值为1.‎ ‎19.解：(1),‎ ‎.‎ 此事件为⼩小概率事件，该质检员的决定有道理理.‎ ‎(2),‎ 由题意可知钢管直径满⾜足：为合格品，‎ 故该批钢管为合格品的概率约为0.95‎ ‎60根钢管中，合格品 57根，次品3根，任意挑选3根，则次品数 的可能取值为:0,1,2,3.‎ ‎.‎ 则次品数的分布列列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 得：.‎ ‎20.解：(1)依题直线的斜率.设直线的方程为,‎ 依题有：‎ ‎(2)由直线与圆相切得：.‎ 设.将直线代入椭圆的方程得：‎ ‎ ‎ ‎,且.‎ ‎ ‎ ① 设点到直线的距离为,故的面积为：‎ ‎,‎ 当.等号成立.故的最大值为1.‎ ② 设，由直线与圆相切于点，可得，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎21.解：证明：(1)当时，即证：,‎ ‎,令，‎ 则,当时，有.‎ 当时，单调递增；‎ 当时，有.当时，单调递减，.取等号条件不不⼀一致，‎ ‎（此问可以参考如图理解）..‎ ‎ ‎ ‎(2)依题在上恒成立，‎ 令,‎ 又令,所以当时，在上单调递增，‎ ‎,因此,‎ ‎，讨论：‎ ‎①当时，单调递增；,符合题意 ① 当时，,不符合题意，舍去.‎ ‎③当.‎ ‎,当时，在时单调递减，‎ 当时，在单调递减，，不符合题意舍去.‎ 综上：.‎ ‎22.解：(1)由得曲线对应的直⻆角坐标⽅方程为:‎ 由点在曲线的内部，,‎ 求得实数m的取值范围为.‎ ‎(2)直线的极坐标⽅方程为，代入曲线的极坐标⽅方程整理理得 设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，‎ 则直线截得曲线的弦长为：.‎ 即直线与曲线截得的弦长的取值范围是.‎ ‎23.解：(1),‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 的最小值为.‎ ‎(2)法一（基本不不等式处理理）：‎ ‎ ‎ ‎.‎ 当.等号成立.‎ 法二（柯⻄西不不等式处理理）：‎ ‎ ‎ ‎ ‎