2012年高考真题汇编-理科数学(解析版)14:推理与证明

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2012年高考真题汇编-理科数学(解析版)14:推理与证明

‎2012高考真题分类汇编:推理与证明 ‎1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式:则 A.28 B.‎76 C.123 D.199‎ ‎【答案】C ‎【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。‎ ‎【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11,数列的前两项相加后面的项,即,所以可推出,选C.‎ ‎2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为 ‎(A)16(B)14(C)12(D)10‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】结合已知中的点E,F的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA点时,需要碰撞14次即可.‎ ‎3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是 11. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 ‎,‎ ‎……‎ 照此规律,第五个不等式为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】通过观察易知第五个不等式为.‎ ‎5.【2012高考真题湖南理16】设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.‎ ‎(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;‎ ‎(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.‎ ‎【答案】(1)6;(2)‎ ‎【解析】(1)当N=16时,‎ ‎,可设为,‎ ‎,即为,‎ ‎,即, x7位于P2中的第6个位置,;‎ ‎(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.‎ ‎【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.‎ 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.‎ ‎6.【2012高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则 ‎(Ⅰ)4位回文数有 个;‎ ‎(Ⅱ)位回文数有 个.‎ ‎【答案】90,‎ ‎【解析】(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有种。‎ 答案:90‎ ‎ (Ⅱ ‎)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为.‎ ‎ 法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……‎99”‎,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此,则答案为.‎ ‎7.【2012高考真题北京理20】(本小题共13分)‎ ‎【答案】解:(1)由题意可知,,,,‎ ‎∴‎ ‎(2)先用反证法证明:‎ 若 则,∴‎ 同理可知,∴‎ 由题目所有数和为 即 ‎∴‎ 与题目条件矛盾 ‎∴.‎ 易知当时,存在 ‎∴的最大值为1‎ ‎(3)的最大值为.‎ 首先构造满足的:‎ ‎,‎ ‎.‎ 经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然,则存在一个数表,使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则. 另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.‎ 考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过). 因此 ‎,‎ 故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾. 因此的最大值为。‎ ‎8.【2012高考真题湖北理】(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)已知函数,其中为有理数,且. 求的 最小值;‎ ‎(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:‎ 设,为正有理数. 若,则;‎ ‎(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.‎ 注:当为正有理数时,有求导公式.‎ ‎【答案】(Ⅰ),令,解得.‎ 当时,,所以在内是减函数;‎ 当 时,,所以在内是增函数.‎ 故函数在处取得最小值. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,有,即 ①‎ 若,中有一个为0,则成立;‎ 若,均不为0,又,可得,于是 在①中令,,可得,‎ 即,亦即.‎ 综上,对,,为正有理数且,总有. ②‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:‎ 设为非负实数,为正有理数. ‎ 若,则. ③ ‎ 用数学归纳法证明如下:‎ ‎(1)当时,,有,③成立. ‎ ‎(2)假设当时,③成立,即若为非负实数,为正有理数,‎ 且,则. ‎ 当时,已知为非负实数,为正有理数,‎ 且,此时,即,于是 ‎=.‎ 因,由归纳假设可得 ‎,‎ 从而. ‎ 又因,由②得 ‎,‎ 从而.‎ 故当时,③成立.‎ 由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立. ‎ 说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对成立,则后续证明中不需讨论的情况.‎ ‎9.【2012高考真题福建理17】(本小题满分13分)‎ 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.‎ ‎(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°‎ ‎(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°‎ ‎(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°‎ ‎(4)sin2(-18°)+cos248°- sin2(-18°)cos248°‎ ‎(5)sin2(-25°)+cos255°- sin2(-25°)cos255°‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论.‎ ‎【答案】‎
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