2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）14：推理与证明

2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）14：推理与证明

‎2012高考真题分类汇编：推理与证明 ‎1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：则 A．28 B．‎76 C．123 D．199‎ ‎【答案】C ‎【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。‎ ‎【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即，所以可推出，选C.‎ ‎2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 ‎（A）16（B）14（C）12(D)10‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.‎ ‎3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是 11. ‎ B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 ‎，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】通过观察易知第五个不等式为.‎ ‎5.【2012高考真题湖南理16】设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.‎ ‎（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；‎ ‎（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.‎ ‎【答案】（1）6；（2）‎ ‎【解析】（1）当N=16时,‎ ‎,可设为,‎ ‎,即为,‎ ‎,即, x7位于P2中的第6个位置,；‎ ‎（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第个位置.‎ ‎【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.‎ 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.‎ ‎6.【2012高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则 ‎（Ⅰ）4位回文数有 个；‎ ‎（Ⅱ）位回文数有 个．‎ ‎【答案】90，‎ ‎【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有种。‎ 答案：90‎ ‎ （Ⅱ ‎）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为.‎ ‎ 法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……‎99”‎，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为.‎ ‎7.【2012高考真题北京理20】（本小题共13分）‎ ‎【答案】解：（1）由题意可知，，，，‎ ‎∴‎ ‎（2）先用反证法证明：‎ 若 则，∴‎ 同理可知，∴‎ 由题目所有数和为 即 ‎∴‎ 与题目条件矛盾 ‎∴．‎ 易知当时，存在 ‎∴的最大值为1‎ ‎（3）的最大值为.‎ 首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎.‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此 ‎，‎ 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为。‎ ‎8.【2012高考真题湖北理】（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的 最小值；‎ ‎（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：‎ 设，为正有理数. 若，则；‎ ‎（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.‎ 注：当为正有理数时，有求导公式.‎ ‎【答案】（Ⅰ），令，解得.‎ 当时，，所以在内是减函数；‎ 当 时，，所以在内是增函数.‎ 故函数在处取得最小值. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即 ①‎ 若，中有一个为0，则成立；‎ 若，均不为0，又，可得，于是 在①中令，，可得，‎ 即，亦即.‎ 综上，对，，为正有理数且，总有. ②‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：‎ 设为非负实数，为正有理数. ‎ 若，则. ③ ‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1）当时，，有，③成立. ‎ ‎（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，‎ 且，则. ‎ 当时，已知为非负实数，为正有理数，‎ 且，此时，即，于是 ‎=.‎ 因，由归纳假设可得 ‎，‎ 从而. ‎ 又因，由②得 ‎，‎ 从而.‎ 故当时，③成立.‎ 由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立. ‎ 说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.‎ ‎9.【2012高考真题福建理17】（本小题满分13分）‎ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.‎ ‎（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°‎ ‎（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°‎ ‎（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°‎ ‎（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°‎ ‎（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.‎ ‎【答案】‎