2012年高考真题汇编——理科数学（解析版）4：数列

2012年高考真题汇编——理科数学（解析版）4：数列

‎2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=‎ ‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】因为，，所以，所以数列的前5项和,选B.‎ ‎2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是 A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0‎ C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有 D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列 ‎【答案】C ‎【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．故选C。‎ ‎3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选 D.‎ ‎4.【2012高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）‎ A．25 B．‎50 ‎‎ C．75 D．100‎ ‎【答案】D ‎【解析】当1≤≤24时，＞0，当26≤≤49时，＜0，但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值，当51≤≤74时，＞0，当76≤≤99时，＜0，但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值，∴当1≤≤100时，均有＞0。‎ ‎5.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中，，答案为B ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。‎ ‎6.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，即 ‎，而是公差为的等差数列，代入，即 ‎，不是的倍数，.‎ ‎，故选D.‎ ‎7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数 ‎，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A． ‎① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】等比数列性质，，①； ②；③；④.选C ‎8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B.‎ ‎ 【解析】由等差中项的性质知，又.故选B.‎ ‎9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】．‎ ‎10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,得，所以，所以 ‎，又，选A.‎ 二、填空题 ‎11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=‎3a2+2，S4=‎3a4+2，则q=______________。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．‎ 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．‎ ‎12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：‎ ‎①当时，数列的前3项依次为5,3,2；‎ ‎②对数列都存在正整数，当时总有；‎ ‎③当时，；‎ ‎④对某个正整数，若，则。‎ 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力，难度较大.‎ ‎【解析】当时， ，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.‎ ‎13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为 ‎ ‎【答案】1830‎ ‎【解析】由得，‎ ‎，‎ 即，也有，两式相加得，设为整数，‎ 则，‎ 于是 ‎14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。‎ ‎15.【2012高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。‎ ‎【答案】35‎ ‎【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。‎ ‎【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，‎ 所以。‎ ‎16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，。‎ ‎17.【2012高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由得到，即，应为{an}是递增的等差数列，所以，故。‎ ‎18.【2012高考真题重庆理12】 .‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴++…+==，∴。‎ ‎20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.‎ ‎【答案】3018．‎ ‎【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法，以及余弦函数的周期性，同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力，难度较大．‎ ‎【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数6，所以.‎ 三、解答题 ‎21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎ 22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎，或.‎ 故，或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎23.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ （1） 求a1的值；‎ （2） 求数列{an}的通项公式．‎ （3） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.‎ ‎24.【2012高考真题陕西理17】（本小题满分12分）‎ 设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。‎ ‎（1）求数列的公比；‎ ‎（2）证明：对任意，成等差数列。‎ ‎ 【答案】‎ ‎25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。‎ ‎【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想 ‎ ‎ ‎26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)‎ ‎ 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎（Ⅰ）用和表示；‎ ‎（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。‎ ‎【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 ‎ ‎ ‎27.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ （1） 求a1的值；‎ （2） 求数列{an}的通项公式．‎ （1） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.‎ ‎28.【2012高考真题上海理23】（4+6+8=18分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．‎ ‎（1）若，且具有性质，求的值；‎ ‎（2）若具有性质，求证：，且当时，；‎ ‎（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎ 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“具有性质”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．‎ ‎29.【2012高考真题重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）‎ ‎ 设数列的前项和满足，其中.‎ ‎ （I）求证：是首项为1的等比数列；‎ ‎（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.‎ ‎【答案】‎ ‎30.【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn。‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.‎ ‎31.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分）‎ ‎ 数列满足：‎ ‎（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；‎ ‎（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。‎ ‎【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。‎ ‎【解析】（I）必要条件 当时，数列是单调递减数列。‎ 充分条件 数列是单调递减数列，‎ 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。‎ ‎（II）由（I）得：，‎ ①当时，，不合题意；‎ ②当时，，‎ ‎，‎ ‎。‎ 当时，与同号，‎ 由，‎ ‎。‎ 当时，存在，使与异号，与数列是单调递减数列矛盾，‎ 得：当时，数列是单调递增数列。‎ ‎32.【2012高考真题天津理18】（本小题满分13分）‎ 已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，，证明（）.‎ ‎【答案】‎ ‎33.【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… ‎ （1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.‎ （2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.‎ ‎【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以 ‎　　　　　　　　　　　　‎ 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 ‎（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有 由知，均大于０，于是 ‎　　　　‎ ‎　　　　‎ 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，‎ 则 ‎　　　，‎ 于是得即 ‎　　　‎ 由有即，从而.‎ 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.‎ ‎34.【2012高考真题山东理20】本小题满分12分）‎ 在等差数列中，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.‎ ‎【答案】‎ 解析：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，，于是，即.‎ ‎（Ⅱ）对任意m∈N﹡，，则，‎ 即，而，由题意可知，‎ 于是 ‎，‎ 即.‎ ‎ ‎ ‎35.【2012高考真题全国卷理22】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）‎ 函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.‎ ‎（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；‎ ‎（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎