2017年吉林省吉林市高考二模数学理

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2017 年吉林省吉林市高考二模数学理 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求. 1.已知 U=R，M={x|-l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则(ð UM)∩N=( ) A.{x|2≤x≤3} B.{x|2＜x≤3} C.{x|x≤-1，或 2≤x≤3} D.{x|x＜-1，或 2＜x≤3} 解析：利用补集的定义求出集合 M 的补集；借助数轴求出(ð uM)∩N. 答案：D. 2.如果复数 z= 2 1 i ，则( ) A.|z|=2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为-1 D.z 的共轭复数为 1+i 解析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案. 答案：C. 3.下列关于命题的说法错误的是( ) A.命题“若 x2-3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1，则 x2-3x+2≠0” B.“a=2”是“函数 f(x)=logax 在区间(0，+∞)上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 P： n∈N，2n＞1000，则￢P： n∈N，2n≤1000 D.命题“ x∈(-∞，0)，2x＜3x”是真命题 解析：选项 A 是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论 即可； 选项 B 看由 a=2 能否得到函数 f(x)=logax 在区间(0，+∞)上为增函数，反之又是否成立； 选项 C、D 是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式. 答案：D. 4.△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a= 7 ，b=3，c=2，则∠A=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：根据题意和余弦定理求出 cosA 的值，由 A 的范围求出角 A 的值. 答案：C. 5.函数 f(x)= 1 x +ln|x|的图象大致为( ) A. B. C. D. 解析：当 x＜0 时，函数 f(x)= 1 x +ln(-x)，由函数的单调性，排除 CD； 当 x＞0 时，函数 f(x)= +ln(x)，此时，代入特殊值验证，排除 A，只有 B 正确， 答案：B. 6.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A.-2 B. 1 2 C.-1 D.2 解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 A 的值，模 拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 答案：B. 7.设{an}是公差不为零的等差数列，满足 2 2 2 2 4 5 6 7a a a a   ，则该数列的前 10 项和等于 ( ) A.-10 B.-5 C.0 D.5 解析：设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到 a1+a10=0，则可求 得数列的前 10 项和等于 0. 答案：C. 8.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为 ( ) A.4π B. 28 3 π C. 44 3 π D.20π 解析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半 径即可求出球的表面积. 答案：B. 9.已知 f(x)= 3 sinxcosx-sin2x，把 f(x)的图象向右平移 12  个单位，再向上平移2个单位， 得到 y=g(x) 的 图 象 ， 若 对 任 意 实 数 x ， 都 有 g( α -x)=g( α +x) 成 立 ， 则 g( α + 4  )+g( )=( ) A.4 B.3 C.2 D. 3 2 解析：由条件利用三角函数的恒等变换求得 g(x)的解析式，再根据题意可得 g(x)的图象关 于直线 x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得 g(α+ )+g( )的值. 答案：A. 10.在等腰直角△ABC 中，AC=BC，D 在 AB 边上且满足：  1CD tCA t CB   ，若∠ACD=60°， 则 t 的值为( ) A. 31 2  B. 3 -1 C. 32 2  D. 31 2  解析：易知 A，B，D 三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可. 答案：A. 11.已知双曲线 C1： 2 4 x -y2=1，双曲线 C2： 22 22 xy ab =1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2， M 是双曲线 C2 的一条渐近线上的点，且 OM⊥MF2，O 为坐标原点，若 2OMFS =16，且双曲线 C1， C2 的离心率相同，则双曲线 C2 的实轴长是( ) A.32 B.16 C.8 D.4 解析：求得双曲线 C1 的离心率，求得双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= b a x，运用点到直线的 距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得 a=8，进而得到双曲线 的实轴长. 答案：B. 12.已知函数 f(x)= 1| 2 | 0 2 1 0 xex x x x     ， ＞ ， ，若关于 x 的方程 f2(x)-3f(x)+a=0(a∈R)有 8 个 不等的实数根，则 a 的取值范围是( ) A.(0， 1 4 ) B.( 1 3 ，3) C.(1，2) D.(2， 9 4 ) 解析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断 f(x)的范围，然后利用二次函数的性质求 解 a 的范围. 答案：D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知 O 是坐标原点，点 A(-1，1).若点 M(x，y)为平面区域 2 1 2 xy x y      上的一个动点，则 OA OM 的取值范围是_____. 解析：先画出满足约束条件 的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入 分析比较后，即可得到 的取值范围. 答案：[0，2]. 14.已知| a |=2，|b |=2， 与 的夹角为 45°，且λ - 与 垂直，则实数λ=_____. 解析：根据向量λ - 与向量 垂直  (λ - )· =0 再结合两向量数量积的定义即可 求解. 答案： 2 . 15.过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B，若|AF|=3|BF|，则 l 的斜率是 _____. 解析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线 l 的方程，和抛物线方程联立，化为 关于 y 的一元二次方程后利用根与系数的关系得到 A，B 两点纵坐标的和与积，结合 |AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解. 答案：± 3 . 16.艾萨克·牛顿(1643 年 1 月 4 日-1727 年 3 月 31 日)英国皇家学会会长，英国著名物理学 家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数 f(x)零点时给出一 个数列{xn}：满足 xn+1=xn-     n n fx fx ，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 f(x)=ax2+bx+c(a ＞0)有两个零点 1，2，数列{xn}为牛顿数列，设 an=ln 2 1 n n x x   ，已知 a1=2，xn＞2，则{an}的 通项公式 an=_____. 解析：由已知得到 a，b，c 的关系，可得 f(x)=ax2-3ax+2a，求导后代入 xn+1=xn- ， 整理可得 2 1 1 22 11 nn nn xx xx       ，两边取对数，可得 ln 2 1 n n x x   是以 2 为公比的等比数列，再 由等比数列的通项公式求导答案. 答案：2n. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=Msin(ωx+φ)(M＞0，|φ|＜ 2  )的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若(2a-c)cosB=bcosC，求 f( 2 A )的取 值范围. 解析：(1)根据图象求出 A，ω 和φ，即可求函数 f(x)的解析式； (2)利用正弦定理化简，求出 B，根据三角内角定理可得 A 的范围，利用函数解析式之间的 关系即可得到结论 答案：(1)由图象知 A=1，T=4( 5 12 6  )=π，∴ω=2， ∴f(x)=sin(2x+φ) ∵图象过( 6  ，1)，将点( 6  ，1)代入解析式得 sin( 3  +φ)=1， ∵|φ|＜ ， ∴φ= 故得函数 f(x)=sin(2x+ ). (2)由(2a-c)cosB=bcosC， 根据正弦定理，得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)， ∴2sinAcosB=sinA. ∵A∈(0，π)， ∴sinA≠0， ∴cosB= 1 2 ，即 B= ∴A+C= 2 3  ，即 0＜A＜ 那么：f( 2 A )=sin(A+ 6  )，0＜A＜ 2 3  ， ＜A+ ＜ 5 6  ， sin(A+ )∈( 1 2 ，1] 故得 f( )∈( ，1]. 18.已知数列{an}是等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 a3=3，S3=9 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设 bn= 2 23 3log na  ，且{bn}为递增数列，若 cn= 1 4 nnbb ，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1. 解析：(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q，根据等比数列的前 n 项和公式，从而解得； (Ⅱ)讨论可知 a2n+3=3·(- 1 2 )2n=3·( )2n，从而可得 bn= =2n，利用裂项求和法求 和. 答案：(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q， ①当 q=1 时，符合条件 a1=a3=3，an=3. ②当 q≠1 时，   2 1 3 1 3 1 91 aq aq q       ，所以   2 1 2 1 3 19 aq a q q      解得 a1=12，q=- ， 所以 an=12×(- )n-1. 综上所述：数列{an}的通项公式为 an=3(q=1)或 an=12×(- )n-1. (Ⅱ)证明：若 an=3，则 bn=0，与题意不符； 故 a2n+3=3·(- )2n=3·( )2n， 故 bn= =2n， 故 cn= 1 4 1 1 1nnb b n n  ， 故 c1+c2+c3+…+cn=1- 1 1 1 1 1 112 2 3 1 1n n n      ＜1. 19.某车间 20 名工人年龄数据如表： (Ⅰ)求这 20 名工人年龄的众数与平均数； (Ⅱ)以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； (Ⅲ)从年龄在 24 和 26 的工人中随机抽取 2 人，求这 2 人均是 24 岁的概率. 解析：(Ⅰ)利用车间 20 名工人年龄数据表能求出这 20 名工人年龄的众数和平均数. (Ⅱ)利用车间 20 名工人年龄数据表能作出茎叶图. (Ⅲ)记年龄为 24 岁的三个人为 A1，A2，A3；年龄为 26 岁的三个人为 B1，B2，B3，利用列举 法能求出这 2 人均是 24 岁的概率. 答案：(Ⅰ)由题意可知，这 20 名工人年龄的众数是 30， 这 20 名工人年龄的平均数为 x = 1 20 (19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40)=30， (Ⅱ)这 20 名工人年龄的茎叶图如图所示： (Ⅲ)记年龄为 24 岁的三个人为 A1，A2，A3；年龄为 26 岁的三个人为 B1，B2，B3， 则从这 6 人中随机抽取 2 人的所有可能为 {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}， {A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}， {A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共 15 种. 满足题意的有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}3 种， 故所求的概率为 P= 31 15 5 . 20.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且∠ABC=120°.点 E 是棱 PC 的中点，平 面 ABE 与棱 PD 交于点 F. (Ⅰ)求证：AB∥EF； (Ⅱ)若 PA=PD=AD=2，且平面 PAD⊥平面 ABCD，求平面 PAF 与平面 AEF 所成的二面角的正弦 值. 解析：(Ⅰ)推导出 AB∥CD，从而 AB∥面 PCD，由此能证明 AB∥EF. (Ⅱ)取 AD 中点 G，连接 PG，GB，以 G 为原点，GA、GB、GP 所在直线为坐标轴建立空间直角 坐标系 G-xyz，利用向量法能求出平面 PAF 与平面 AFE 所成的二面角的正弦值. 答案：(Ⅰ)∵底面 ABCD 是菱形，∴AB∥CD， 又∵AB 面 PCD，CD面 PCD，∴AB∥面 PCD 又∵A，B，E，F 四点共面，且平面 ABEF∩平面 PCD=EF， ∴AB∥EF 解：(Ⅱ)取 AD 中点 G，连接 PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD， 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD， ∴PG⊥平面 ABCD ∴PG⊥GB，在菱形 ABCD 中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G 是 AD 中点，∴AD⊥GB， 如图，以 G 为原点，GA、GB、GP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 G-xyz 由 PA=PD=AD=2 得，G(0，0，0)，A(1，0，0)， B(0， 3 ，0)，C(-2， 3 ，0)，D(-1，0，0)，P(0，0， 3 ) 又∵AB∥EF，点 E 是棱 PC 中点，∴点 F 是棱 PD 中点， ∴F(- 1 2 ，0， 3 2 )， AF =(- 3 2 ，0， )， AB =(-1， 3 ，0)， 设平面 AFE 的法向量为 n =(x，y，z)， 则有 0 0 n AF n AB    ，∴ 3 3 3 zx yx    ， 不妨令 x=3，则平面 AFE 的一个法向量为 =(3， ，33)， ∵BG⊥平面 PAD，∴GB =(0， ，0)是平面 PAF 的一个法向量， |cos＜ ， ＞|= 3 13 1339 3 n GB n GB    ， ∴平面 PAF 与平面 AFE 所成的二面角的正弦值为： sin＜ ， ＞= 2 2 391 cos 13n GB＜ ， ＞ . 21.如图，椭圆 E： 22 24 xy b =1(0＜b＜2)，点 P(0，1)在短轴 CD 上，且 PC PD =-2 (Ⅰ) 求椭圆 E 的方程及离心率； (Ⅱ) 设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点.是否存在常数λ，使得 OA OB PA PB   为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解析：(Ⅰ)由已知可得点 C，D 的坐标分别为(0，-b)，(0，b).结合 PC PD =-2 列式求得 b，则椭圆方程可求，进一步求出 c 可得椭圆的离心率； (Ⅱ)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2).联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 得 A，B 横 坐 标 的 和 与 积 ，可知当λ=2 时， =-7 为定值.当直线 AB 斜率不 存在时，直线 AB 即为直线 CD，仍有 2OA OB PA PB OC OD PC PD       =-3-4=-7， 故存在常数λ=2，使得 为定值-7. 答案：(Ⅰ)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，-b)，(0，b). 又点 P 的坐标为(0，1)，且 =-2，即 1-b2=-2， 解得 b2=3. ∴椭圆 E 方程为 22 43 xy =1. ∵c= 22ab =1，∴离心率 e= 1 2 ； (Ⅱ)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2). 联立 22 143 1 xy y kx     ，得(4k2+3)x2+8kx-8=0. 其判别式△＞0， x1+x2= 2 8 43 k k   ，x1x2= 2 8 43k   . 从而， =x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=  22 22 8 1 1 4 3 42 4 ) 3 4 3 ( kk kk        -2λ-3， 当λ=2 时， 2 42 43k   -2λ-3=-7， 即OA OB PA PB   =-7 为定值. 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD， 此时 2OA OB PA PB OC OD PC PD       =-3-4=-7， 故存在常数λ=2，使得 为定值-7. 22.设函数 f(x)=(x+b)lnx，g(x)=alnx+1 2 a x2-x(a≠1)，已知曲线 y=f(x)在点(1，f(1)) 处的切线与直线 x+2y=0 垂直. (1)求 b 的值； (2)若对任意 x≥1，都有 g(x)＞ 1 a a  ，求 a 的取值范围. 解析：(1)求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为-1，解方程可得 b； (2)求出导数，对 a 讨论，①若 a≤ 1 2 ，则 1 a a ≤1，②若 ＜a＜1，则 1 a a ＞1，③若 a ＞1，分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围. 答案：(1)直线 x+2y=0 的斜率为- ， 可得曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 2，所以 f′(1)=2， 又 f′(x)=lnx+ b x +1，即 ln1+b+1=2，所以 b=1. (2)g(x)的定义域为(0，+∞)， g′(x)= b x +(1-a)x-1=  1 a x a x (x-1). ①若 a≤ ，则 ≤1，故当 x∈(1，+∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，+∞)上单调递增. 所以，对任意 x≥1，都有 g(x)＞ 1 a a  的充要条件为 g(1)＞ ，即1 12 a  ＞ ， 解得 a＜- 2 -1 或 2 -1＜a≤ ②若 ＜a＜1，则 ＞1，故当 x∈(1， )时，g′(x)＜0； 当 x∈(0，1)，( ，+∞)时，g′(x)＞0. f(x)在(1， )上单调递减，在(0，1)，( ，+∞)上单调递增. 所以，对任意 x≥1，都有 g(x)＞ 的充要条件为 g(x)＞ . 而 g(x)=aln   2 1 2 1 1 1 a a a a a a a a    ＞ 在 1 2 ＜a＜1 上恒成立， 所以 ＜a＜1 ③若 a＞1，g(x)在[1，+∞)上递减，不合题意. 综上，a 的取值范围是(-∞，- 2 -1)∪( -1，1).