【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-2函数的单调性与最值教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-2函数的单调性与最值教案

第二节　函数的单调性与最值 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．‎ ‎(对应学生用书第9页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．增函数、减函数 ‎ 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：‎ ‎ (1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；‎ ‎ (2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．‎ ‎2．单调性、单调区间的定义 ‎ 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．‎ ‎3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是y＝f(x)的最大值 M是y＝f(x)的最小值 ‎[知识拓展]‎ ‎　函数单调性的常用结论 ‎ (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，＜0⇔f(x)在D上是减函数．‎ ‎ (2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．‎ ‎ (3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．‎ ‎ (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　)‎ ‎ (2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)‎ ‎ (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　)‎ ‎ (4)函数y＝x2－2x在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y＝x2－2x的单调递增区间为[3，＋∞)．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是(　　)‎ ‎ A．y＝x3　　　　　　 B．y＝ ‎ C．y＝　　　 D．y＝x ‎ C　[选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝－＝，因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，－＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，－＞0，所以函数y＝在定义域上不是单调函数，故选C．]‎ ‎3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．‎ ‎ 2　　[可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]‎ ‎4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．‎ ‎ 　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]‎ ‎5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.‎ ‎ [1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]‎ ‎(对应学生用书第10页)‎ 函数单调性的判断 ‎　(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 ‎ (　　)‎ ‎ A．(－∞，－2)　　　　　 B．(－∞，1)‎ ‎ C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)‎ ‎ (2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．‎ ‎ 【导学号：79170017】‎ ‎ (1)D　[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.‎ ‎ 设t＝x2－2x－8，则y＝ln t在t∈(0，＋∞)上为增函数．‎ ‎ 欲求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．‎ ‎ ∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，‎ ‎ ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．‎ ‎ 故选D．]‎ ‎ (2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1)·.‎ ‎ 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.‎ ‎ 故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，‎ ‎ 即函数在(，＋∞)上单调递增．‎ ‎ 当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)，‎ ‎ 即函数在(0，)上单调递减．‎ ‎ 考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．‎ ‎ 综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．‎ ‎ 法二：f′(x)＝1－.‎ ‎ 令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．‎ ‎ 令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，)．‎ ‎ 故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．‎ ‎ [规律方法]　　1.函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．‎ ‎ 2．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．‎ ‎ 3．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．‎ ‎ 易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是 ‎(　　)‎ ‎ A．y＝ B．y＝cos x ‎ C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x ‎ (2)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是(　　)‎ ‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，0)‎ ‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)‎ ‎ (1)D　(2)D　[(1)选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝‎ 在(－1,1)上为增函数；‎ ‎ 选项B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后减；‎ ‎ 选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；‎ ‎ 选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．‎ ‎ (2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]‎ 利用函数的单调性求最值 ‎　已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.‎ ‎ (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎ (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎ [思路点拨]　(1)先判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min＞0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论．‎ ‎ [解]　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，f′(x)＝1－＞0，x∈[1，＋∞)，‎ ‎ 即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋＋2＝. 4分 ‎ (2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．‎ ‎ 法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．‎ ‎ f(x)min＝f(1)＝a＋3.‎ ‎ 要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，‎ ‎ ∴－3＜a≤0. 7分 ‎ ②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数，‎ ‎ f(x)min＝f(1)＝a＋3，‎ ‎ ∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.‎ ‎ 综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1]. 12分 ‎ 法二：f(x)＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0， 8分 ‎ ∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为(－3,1]. 12分 ‎ [规律方法]　　利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．‎ ‎ 请思考，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数呢？‎ ‎[变式训练2]　(1)函数f(x)＝的最大值为________．‎ ‎ (2)(2016·北京高考)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________. ‎ ‎【导学号：79170018】‎ ‎ (1)2　(2)2　[(1)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.‎ ‎ 故函数f(x)的最大值为2.‎ ‎ (2)法一：∵f′(x)＝－，‎ ‎ ∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，‎ ‎ ∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，‎ ‎ ∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.‎ ‎ 法二：∵f(x)＝＝＝1＋，‎ ‎ ∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[1，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.‎ ‎ 法三：由题意可得f(x)＝1＋.‎ ‎ ∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，‎ ‎ ∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.‎ ‎ 故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]‎ 函数单调性的应用 角度1　比较大小 ‎　(2017·河南百校联盟质检)已知f(x)＝2x－2－x，a＝－，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为(　　)‎ ‎ A．f(b)＜f(a)＜f(c) B．f(c)＜f(b)＜f(a)‎ ‎ C．f(c)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(c)＜f(a)‎ ‎ B　[易知f(x)＝2x－2－x为单调递增函数，而a＝－＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，所以f(c)＜f(b)＜f(a)，故选B．]‎ 角度2　解不等式 ‎　(2017·重庆重点高中联合协作体联考)已知函数f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)，则满足f(a2－1)＋f(a－1)＞0的a的取值范围是(　　)‎ ‎ A．(0,2) B．(1，)‎ ‎ C．(1,2) D．(0，)‎ ‎ B　[由题意知f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sin x＝－(x3＋sin x)＝－f(x)，x∈(－1,1)，‎ ‎ ∴f(x)在区间(－1,1)上是奇函数；‎ ‎ 又f′(x)＝3x2＋cos x＞0，‎ ‎ ∴f(x)在区间(－1,1)上单调递增，‎ ‎ ∵f(a2－1)＋f(a－1)＞0，‎ ‎ ∴－f(a－1)＜f(a2－1)，‎ ‎ ∴f(1－a)＜f(a2－1)，‎ ‎ ∴解得1＜a＜，故选B．]‎ 角度3　求参数的取值范围 ‎　(1)若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ (2)已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．‎ ‎ (1)D　(2)(2,3]　[(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；‎ ‎ 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，‎ ‎ 因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，‎ ‎ 所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0.‎ ‎ 综上所述，实数a的取值范围是.‎ ‎ (2)要使函数f(x)在R上单调递增，‎ ‎ 则有即 ‎ 解得2＜a≤3，‎ ‎ 即实数a的取值范围是(2,3]．]‎ ‎ [规律方法]　　1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．‎ ‎ 2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．‎ ‎ 3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．‎ ‎ 易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．‎