数学理卷·2018届江西省赣州市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届江西省赣州市高二上学期期末考试（2017-01）

赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ，将正确答案填写在下表中）‎ ‎1.已知命题，使方程有解，则为（ ）‎ A．，方程无解 B．，方程有解 ‎ C．，使方程无解 D．，使方程有解 ‎2.若，，如果与为共线向量，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.从编号0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（ ）‎ A． 8 B．10 C．12 D．16 ‎ ‎4.下列判断中，正确的有：（ ）‎ ‎①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；‎ ‎②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；‎ ‎③是的充要条件；‎ ‎④“”是“”的必要不充分条件.‎ A．①② B．①③ C. ①④ D．②③‎ ‎5.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值为（ ）‎ A．8 B．10 C.11 D．13‎ ‎6.下列说法正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 ‎ C.若，，则 D．若，，则 ‎7.已知函数，在区间上任取一点，则的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎907 966 191 925 271 932 812 458 569 683‎ ‎431 257 393 027 556 488 730 113 537 989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）‎ A． 0.35 B．0.25 C. 0.20 D．0.15‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图是计算的值得一个程序图，其中在判断框中应填入的条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 在一个封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，则球的体积的最大值为（ ）‎ A． B． C. p D．‎ ‎12.若椭圆和椭圆（c为为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 二、填空题：（本大题共有4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据，根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中 ．‎ X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ m ‎4‎ ‎4.5‎ ‎14. ‎ 袋中有大小形状相同的红球，黑球各一个，现依次有放回的随机摸去3次，每次摸取一球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为  ．‎ ‎15.双曲线的中心在原点，离心率等于2 ，若它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则双曲线的方程为 ．‎ ‎16.如图，圆内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点在圆内的概率为 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）某校100名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求图中物理成绩的众数及的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生物理成绩的平均分和中位数（中位数要求精确到小数点后一位.‎ ‎18. （本小题满分12分）给出命题：命题与轴交于不同的两点，如果命题“”为真，“”为假．求实数的取值范围. ‎ ‎19. （本小题满分12分）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.图中三角形阴影部分的三个顶点为（0,0）、（4,0）和（0,4）‎ ‎(1)若点落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为，求事件的概率；‎ ‎(2)若点落在 (为常数)上，且使此事件的概率最大，求和的值．‎ ‎20. （本小题满分12分）已知是抛物线上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）求证：与相互垂直． ‎ ‎21. （本小题满分12分）如图，三棱锥中，底面，，，为的重点，点在上，且.‎ ‎（1）求证：平面.‎ ‎（2）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.‎ ‎22. （本小题满分12分）椭圆的左焦点为，右焦点为 ‎，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线交于点，试问在坐标轴是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ 赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试 高二数学理科试题参考答案 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B A D B A B C B D C 二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. ‎ ‎13. 14. 15. 16..‎ 三、解答题：本大题共6个小题,共70分.‎ ‎17.解：（1）众数是……………………………………………………………………2分 依题意得，，解得………………………4分 ‎（2）这名学生物理成绩的平均分为：（分）………………………7分 设中位数为 分，则由 ‎ 解得，所以这100名学生物理成绩的中位数约为分…………………10分 ‎ ‎18.解：命题为真……………………………………………2分 ‎ 命题为真…………………………………4分 命题“”为真，“”为假中一真一假…………………………………6分 当真假时，，得………………………………………………8分 当假真时，，得……………………………………10分 所以的取值范围是…………………………………………12分 ‎19.解：（1）基本事件总数为…………………………………………………1分 当时，………………………………………………………………………2分 当时，…………………………………………………3分 当时，……………………………………………………4分 共有共6个点落在条件区域内，‎ 所以…………………………………………………………6分 ‎（2）当时………………………………………………………8分 共有六个点在直线上……………………10分 此时最大………………………………………………………………………12分 ‎20.解：（1）将代入，得………………………………………2分 所以抛物线方程为，焦点坐标为…………………………………………4分 ‎（2）设，，，‎ 因为直线不经过点，所以直线的斜率一定存在，‎ 设直线方程为………………………………………………………………5分 与抛物线方程联立得到 ‎ 消去，得：…………………………………………………………6分 则由韦达定理得：………………………………………………7分 ‎ 直线的方程为：，即 ‎ 令，得………………………………………………………………8分 同理可得：…………………………………………………………………9分 ‎ 又 ，‎ 所以……………………………………10分………………………………11分 所以……………………………………………………………………………12分 ‎21.证明：（1）因为，，所以…………………………2分 因为平面，所以……………………………………………………4分 又，，‎ 所以平面，所以．又……………………………5分 所以平面…………………………………………………………………………6分 ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系………………………………………………………7分 则，，，，，‎ ‎，……………………………………………………………8分 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 令，则，．所以……………9分 取平面的法向量…………………………10分 则……………………11分 所以平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为…………12分22.解：（1）,即………………2分 又，所以，………………………………3分 因为，所以，…………………………………………………4分 所以所求椭圆方程为：…………………………………………………………5分 ‎（2）由得………………………………6分 所以即，设.‎ 则，，所以…………………………………8分 由，得……………………………………………………………9分 设存在，则 所以，所以……10分 由于对，恒成立，所以 联立解得………………………………………………………………………………11分 故存在定点符合题意………………………………………………………………12分