高考数学玩转压轴题专题2_11已知不等恒成立，分离参数定最值1

高考数学玩转压轴题专题2_11已知不等恒成立，分离参数定最值1

专题 2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值 【题型综述】 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值 ＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得 函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能 也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛 必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒 成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题 过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类 范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分 离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高 低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般， 由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。 【典例指引】 例 1 己知函数     lnx xf x e ax b e x   . （1）若函数  f x 在 1x  处取得极值，且 1b  ，求 a ； （2）若b a  ，且函数  f x 在 1, 上单调递増，求 a 的取值范围. 法二（直接化为最值＋分类讨论）：令   1lng x ax x x    ，   2 2 1ax xg x x    .令    2 1 1h x ax x x    ， ①当   0a  时， 1( 0)h x x   ，所以   0g x  ，即  g x 在 1, 上单调递减.而  1 1 1 0g a     ，与   0g x  在  1,x  上恒成立相矛盾. ②当 0a  时，则开口向上 (方案一）：Ⅰ.若   1 4 0a    ，即 1 4a  时， ( ) 0h x  ,即    0, 1,g x x    ，所以  g x 在  1, 上递增，所以    min 1 1 0g x g a    ，即 1a  . Ⅱ.若 0  ，即 10 4a  时，此时  1 1 0g a   ，不合题意. 法三（缩小范围＋证明不等式）：令   1lng x ax x x    ，则  1 0 1 0 1g a a      . 另一方面，当 1a  时，则有   2 2 2 1 1 1ax xg x a x x x       ，令 2  ( ) 1h x ax x   ，开口向上， 对称轴 1 10,2 2x a      ，故  h x 在 1, 上为增函数，所以      1 0 0h x h a g x       g x 在 1, 上为增函数，则    1 1 0g x g a    ，故 1a  适合题意. 例 2. (2016 全国新课标Ⅱ文 20)己知函数      1 ln 1f x x x a x    . （Ⅰ）当 4a  时，求曲线  y f x 在   1, 1f 处的切线方程； （Ⅱ）若当  1,x  时，   0f x  ，求 a 的取值范围. 法二（直接化为最值）：      1 ln 1 0f x x x a x     在 1, 恒成立，则   1ln xf x x ax     (导函数为超越函数）；   2 2 1 1 1 0xf x x x x        1ln 1f x x ax      在 1, 为增函数，则    1 2f x f a    （1）当 2 0a  即 2a  时，则     2 0f x f x a     (当且仅当 1, 2x a  时，取“  ”)，故  f x 在 1, 为增函数，则有    1 0f x f  ，故      1 ln 1 0f x x x a x     在 1, 恒成立，故 2a  适合题意. （2）当  2 0a  即 2a  时，则  1 0( 2)f x f a    ，且   1 0a af e e    ，故   0f x  在 1, 有唯一实根 0x ，则  f x 在 01, x 为减函数，在 0 ,x  增函数，又有  1 0f  ，则 存在  0 1,x   ,使得  0 0f x  ，故 2a  不适合题意.综上，实数 a 的取值范围为 2a  . 法三（分离参数）：      1 ln 1 0f x x x a x     在 1, 恒成立  1 ln 1 x xa x    在  1, 恒成立（端点 1x  自动成立），则设        2 1 2ln1 ln 1 1 x xx x xg x g xx x       ，令     2 1 1 22ln 1h x x x h xx x x          2 2 2 1 10 2lnx x h x x xx x        在 1, 为增 函数，则 ( ) (1) 0h x h     1 ln0 ( ) 1 x xg x g x x      在 1, 为增函数，又因     1 1 1 1 ln 1lim lim lim 1 ln 21x x x x xg x xx x               ，故实数 a 的取值范围为 2a  法四（缩小范围）：      1 ln 1 0f x x x a x     在 1, 恒成立，且  1 0f  ，则存在 1m  ， 使得  f x 在 1,m 上为增函数   1ln 0xf x x ax      在 1,m 上恒成立，令  1 1 0  2x f a     . 又当 2a  时，   2 2 1 1 1 0xf x x x x        1ln 1f x x ax      在 1, 为增函数，则    1 2 0f x f a     (当且仅当(当且仅当 1, 2x a  时，取“  ”)，故  f x 在 1, 为 增函数，则有    1 0f x f  ，故      1 ln 1 0f x x x a x     在 1, 恒成立，故 2a  适 合题意. 综上，实数 a 的取值范围为 2a  . 点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围 则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。 2.(重庆市 2015 届一诊理 20)已知曲线    21 lnf x a x b x   在点   1, 1f 处的切线的斜率 为 1； （1）若函数  f x 在 2, 上为减函数，求 a 的取值范围； （2）当  1,x  时，不等式   1f x x  恒成立，求 a 的取值范围. 当 1 2 1a  时，  g x 在 11, 2a     上单减， 1 ,2a     上单增，而 1 11 1 0g lna a            ，矛盾； 综上， 0a  . 法二（分离参数）    2 1 ln1 0 1 x xf x x a x        在  1, 上恒成立（端点 1x  自动成立） 设        2 3 1 2ln1 ln 1 1 x xx x xg x g x x x         ，令   1 2lnh x x xx        2 2 2 11 21 0xh x x x x           1 2lnh x x xx     在 1, 上为减函数，则      1 0h x h g x       g x 在  1, 上为减函数，又因    2 1 ln 1lim lim lim 021x x x x xg x xx        ，故实数 a 的取值范围为 0a  （2）若 10 2a  时，则 1 2 1a  ，故  g x 在 11, 2a     上单减， 1 ,2a     上单增，而 1 11 1 0g lna a            ，矛盾； 综上，实数 a 的取值范围为 0a  点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在 x   时得到下确界，值得留 意. （2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类 的层级数，缩短解题步骤。 （3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数    21 1 lng x a x x x     分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数 的零点，对数函数的零点为 1x  ，而二次函数的零点为 1x  及 1 1x a   ，又知当 10 2a  时， 零点 1 1 1x a    ，故易得 1 11 1 0g lna a            ，从而导出矛盾。 【扩展链接】 洛必达法则简介： 法则 1 若函数  f x 和  g x 满足下列条件：（1)  lim 0x a f x  及  lim 0x a g x  ；（2）在点 a 的去心邻域内，  f x 与  g x 可导，且   0g x  ；（3）    limx a f x lg x   ，那么        lim limx a x a f x f x lg x g x    . 法则 2 若函数  f x 和  g x 满足下列条件：（1)  lim 0x f x  及  lim 0x g x  ；（2） 0A  ，  f x 和  g x 在  , A 与  ,A  上可导，且   0g x  ；（3）    limx f x lg x   ，那么        lim limx x f x f x lg x g x    . 法则 3 若函数  f x 和  g x 满足下列条件：（1)  lim 0x a f x  及  lim 0x a g x  ；（2）在点 a 的去心邻域内，  f x 与  g x 可导且   0g x  ；（3）    limx a f x lg x   ，那么        lim limx a x a f x f x lg x g x    . 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①将上面公式中的 ,x a x   换成 , , ,x x x a x a       洛必达法则也成立。 ②洛必达法则可处理 0 00 , ,0 ,1 , ,0 ,0       型。 ③在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 00 , ,0 ,1 , ,0 ,0       型定式，否则滥用洛 必达法则会 出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另 外途径求极限。 ④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 【同步训练】 1．已知函数   lnx af x e x  . （1）若 1a  ，求证：当 1x  时，   2 1f x x  ； （2）若存在 0x e ，使   02lnf x x ，求实数 a 的取值范围. 【思路引导】 (1)由题意对函数求导，然后构造函数   1 ln 2 1xg x e x x    ，结合函数的性质即可证得 题中的结论； (2)结合题意构造函数   ln xeh x x  ，结合其导函数的性质可得实数 a 的取值范围是 a e . 设 h（x）= xe lnx （x≥e），则 h’（x）= x 2 e 1lnxln x x （ ） u=lnx- 1 x ，u’ = 2 1 1 10 u lnxx x x   ＞ ， 在[e，+∞）递增。 x=e 时，u=1- 1 e ＞0，所以 u＞0 在[e,+00）恒成立， h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以 h（x）[e,+∞）递增 x≥e，时 h（x）min=h（e）=ee 需 ea＞ee  a＞e 2．已知   2xf x e ax  ，  g x 是  f x 的导函数． （Ⅰ）求  g x 的极值； （Ⅱ）若   1f x x  在 0x  时恒成立，求实数 a 的取值范围． 【思路引导】 （Ⅰ）求函数 f（x）的导数 g（x）,再对 g(x)进行求导 g’(x),即可求出  g x 的极值；（Ⅱ） 讨论 1 2a  以及 1 2a  时，对应函数 f（x）的单调性，求出满足   1f x x  在 0x  时恒 成立时 a 的取值范围． 【详细解析】 当 1 2a  时，由 1xe x  （ 0x  ）可得 1xe x   （ 0x  ）.       ' 1 2 1 1 2x x x x xh x e a e e e e a        ， 故当   0,ln 2x a 时，  ' 0h x  ， 于是当   0,ln 2x a 时，    0 0h x h  ，   1f x x  不成立. 综上， a 的取值范围为 1, 2     ． 3．已知函数    1 ln ( 0)af x x a x ax      ． （Ⅰ）若 2a   ，求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数  f x 的单调区间； （Ⅲ）设函数   ag x x  ．若对于任意  1,x e ，都有    f x g x 成立，求实数 a 的取值 范围． 【思路引导】 (Ⅰ) 求出  'f x ，可得切线斜率  1 0f   ，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情 况，分别令  ' 0f x  得增区间，  ' 0f x  得减区间； （Ⅲ）对于任意  1,x e ，都有    f x g x 成立等价于 1 ln xa x   恒成立，利用导数研究函数   ln xF x x  的单调性，求 出其最大值，进而可得结果. 【详细解析】 （3）当 1a  ，即 1a   时，    22 2 2 12 1 0xx xf x x x     在 0, 上恒成立， 所以函数  f x 的增区间为 0, ，无减区间. 综上所述： 当 1 0a   时，函数  f x 的增区间为  0, a ，  1, ，减区间为 ,1a ； 当 1a   时，函数  f x 的增区间为 0,1 ，  ,a  ，减区间为 1, a ； 当 1a   时，函数  f x 的增区间为 0, ，无减区间. （Ⅲ）因为对于任意  1,x e ，都有    f x g x 成立， 则  1 ln 0x a x   ，等价于 1 ln xa x   . 令   ln xF x x  ，则当  1,x e 时，  max1a F x  .    2 1 ln ln xF x x   . 因为当  1,ex 时，   0F x  ，所以  F x 在 1,e 上单调递增. 所以    maxF x F e e   . 所以 1a e  . 所以1 0e a   . 4．已知函数 ， . (Ⅰ)当 时，求证：过点 有三条直线与曲线 相切； (Ⅱ)当 时， ，求实数 的取值范围. 【思路引导】 (1) ，设直线与曲线 相切，其切点为 ，求出切线方程，且切 线过点 ，可得 ，判断方程有三个不的根，则结论易得； (2) 易得当 时， ，设 ，则 ， 设 ，则 ，分 、 两种情况讨论函数 的单调性并求出 最小值，即可得出结论； 法二： (1)同法一得 ，设 ，求导判断函数的单调性，判断函数的 零点个数，即可得出结论； (2)同法一. 【详细解析】 (Ⅱ) 当 时， ，即当 时， 当 时， ， 设 ，则 ， 设 ，则 . (1)当 时， ，从而 (当且仅当 时，等号成立) 在 上单调递增， 又 当 时， ，从而当 时， ， 在 上单调递减，又 ， 从而当 时， ，即 于是当 时， ， 在 上单调递增，又 ， 从而当 时， ，即 于是当 时， ， 综合得 的取值范围为 . 当变化时， 变化情况如下表： x 7, 12       7 12  7 7,12 12      7 12 7 ,12       g x  0  0   g x  极大值 28 7 13 12   极小值 28 7 13 12    恰有三个根， 故过点 有三条直线与曲线 相切. (Ⅱ)同解法一. 5．已知函数 （ ）. （1）当曲线 在点 处的切线的斜率大于 时，求函数 的单调区间； （2）若 对 恒成立，求 的取值范围.（提示： ） 【思路引导】 (1)考查函数的定义域 ，且 ，由 ，得 .分类讨论： 当 时， 的单调递增区间为 ； 当 时， 的单调递减区间为 . (2)构造新函数，令 ， ， 则 ， ，分类讨论： ①当 时，可得 . ②当 时， . 综上所述， . 【详细解析】 ②当 时，令 ，得 . 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. 所以当 时， 取得最大值. 故只需 ，即 ， 化简得 ， 令 ，得 （ ）. 令 （ ），则 ， 令 ， ， 所以 在 上单调递增，又 ， ，所以 ， ， 所以 在 上单调递减，在 上递增， 而 ， ，所以 上恒有 ， 即当 时， . 综上所述， . 6 ． 已 知 函 数   e ( 0)axf x bx a   在 点   0, 0f 处 的 切 线 方 程 为 5 1y x  , 且    1 1 12f f  . (Ⅰ)求函数  y f x 的极值； (Ⅱ)若   2 3f x x  在  1,x m 上恒成立，求正整数 m 的最大值. 【思路引导】 ( Ⅰ ) 由 函 数 的 解 析 式 可 得   e 6xf x x  ， 结 合 导 函 数 与 极 值 的 关 系 可 得     ln6ln6 e 6ln6 6 6ln6f x f     极小值 ，无极大值. (Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数 m 的最大值是 5. 【详细解析】  ' 0g x  .∴  y g x 在区间 01, x 上递增，在区间 0,x m 上递减， 又∵      1 2 31 e 2 0, 2 e 5 0, 3 e 6 0,g g g                4 5 64 e 5 0, 5 e 2 0, 6 e 3 0.g g g           ∴当1 5x  时，恒有   0g x  ；当 6x  时，恒有   0g x  ； ∴使命题成立的正整数 m 的最大值为 5. 7．已知函数   2 1 x af x x   ，   3g x x kx  ，其中 a ， Rk  . （1）若  f x 的一个极值点为 1 2 ，求  f x 的单调区间与极小值； （2）当 0a  时，  1 0,2x  ，  2 1,2x  ，    1 2f x g x ，且  g x 在 1,2 上有极 值，求 k 的取值范围. 【思路引导】 （1）求导,由题意 1 02f       ,可得 3 4a   ,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤 求解即可; （2）当 0a  时，   2 1 xf x x   ，求导,酒红色的单调性可得    max 11 2f x f   ,进 而得到   10, 2f x      . 又   23g x x k  ，  1,2x ，分类讨论,可得 3k  或 12k  时，  g x 在 1,2 上无极 值. 若 3 12k  ，通过讨论  g x 的单调性，可得  min 3 kg x g       3 22 3 1 9 2k   ，或    max max 8 2 ,1g x k k   0 ，可得 k 的取值范围. 【详细解析】  f x 的单调递增区间为 12, 2     ，单调递减区间为 ,2 ， 1 ,2     .  f x 的极小值为   12 4f    . 8．已知函数    sin cos 0f x x x x x   . (1)求函数  f x 的图象在 π ,12      处的切线方程； (2)若任意  0,x   ，不等式   3f x ax 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)设   π 2 0 dm f x x  ，      2 6 4 π mg x f xx   ， 证明：  2 1 1 11 1 1 e3 3 3ng g g                             . 【思路引导】 (1) 求导,易得结果为 π π 12 2y x      ; (2) 原 不 等 式 等 价 于 3sin cos 0x x x ax   , 令   3sin cosg x x x x ax   ,    sin 3g x x x ax  , 令    sin 3 , cos 3h x x ax h x x a   ,分 1 3a   , 1 3a  , 1 1 3 3a   三种情况讨论函数 的单调性,则可得结论; (3) 利 用定 积 分求 出 m 的 值, 由(2) 知 , 当 1 3a  时 ,   31 3f x x ,则  g x x , 令    ln 1x x x    , 0x  ,求导并判断函数  u x 的单调性,求出    0 0u x u  , 即  ln 1 x x  在 0,  上恒成立, 令 1 1 1ln 13 3 3n n nx       得 ,则结论易得. 【详细解析】 且  00,x x 时，    0 0h x g x    ，∴  g x 递增，∴    0 0g x g  (不符合 题意) 综上： 1 3a  . 9．已知函数   2f x x x  ，   e 1(exg x ax   为自然对数的底数). (1)讨论函数  g x 的单调性； (2)当 0x  时，    f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【思路引导】 (1)   exg x a   ，分 0a  、 0a  两种情况讨论  g x 的符号，则可得结论；(2) 当 0x  时 ， 原 不 等 式 可 化 为 e 1 1 x a xx x     ， 令   e 1 1( 0) x h x x xx x      ， 则     2 2 e 1 1x x xh x x     ，令     2e 1 1( 0)xx x x x      ，则    e 2xx x   ，进 而判断函数  h x 的单调性，并且求出最小值，则可得结论. 【详细解析】 (1)   exg x a   ①若 a 0 ，   0g x  ，  g x 在 ,   上单调递增； ②若 0a  ，当  ,lnx a  时，   0g x  ，  g x 单调递减； 当  ln ,x a   时，   0g x  ，  g x 单调递增 10．设函数 . （1）当 时,求函数 在点 处的切线方程； （2）对任意的 函数 恒成立，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1）把 0a  代入函数解析式，求导后得到函数在点   ,P e f e 处的切线的斜率，然后利 用直线方程的点斜式得答案；（2）由   0f x  ，得  2 ln 2 1 1 0ax x x a x a      ，求 出函数的导函数，导函数在 1x  处，的导数为零，然后由导函数的导函数在 1, 上大于 零求得 a 的范围，就是满足函数   0f x  恒成立的实数 a 的取值范围. 【详细解析】 （1）当 时, 由 ，则 函数 在点 处的切线方程 为 即 11．设函数   lnxf x ae x x  ，其中 Ra ， e 是自然对数的底数. （Ⅰ）若  f x 是 0, 上的增函数，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 2 2 ea  ，证明：   0f x  . 【思路引导】 （I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得 a 的最小值，由 此 得 到 a 的 取 值 范 围 ；（ II ） 将 原 不 等 式   0f x  ， 转 化 为 e ln 0 xa xx   ， 令   e ln xaF x xx   ，求出  F x 的导数，对 x 分成 0 1, 1x x 两类，讨论函数的最小值， 由此证得   0F x  ，由此证得   0f x  . 【详细解析】 （Ⅱ）   0f x   e ln 0 xa xx   . 令   e ln xaF x xx   （ 0x  ），以下证明当 2 2 ea  时，  F x 的最小值大于 0. 求导得     2 1 e 1xa xF x x x     2 1 1 exa x xx      . ①当 0 1x  时，   0F x  ，    1F x F e 0a  ； ②当 1x  时，     2 1a xF x x    e 1 x x a x      ，令    e 1 x xG x a x    ， 则   exG x   2 1 0 1a x    ，又   2 22 eG a   2e 2 0a a   ， 取  1,2m 且 使   2e1 m a m  ， 即 2 2 e1 e 1 am a    ， 则    e 1 m mG m a m    2 2e e 0   ， 12．已知函数 （ ）与函数 有公共切线． （Ⅰ）求 的取值范围； （Ⅱ）若不等式 对于 的一切值恒成立，求 的取值范围． 【思路引导】 （1）函数 与 有公共切线， 函数 与 的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切 时的临界值，就可求出参数 的取值范围。（2）等价于 在 上恒 成立，令 ，x>0,继续求导 ，令 ，得 。可知 的最小值为 >0,把上式看成解关于 a 的不等 式，利用函数导数解决。 【详细解析】 （Ⅰ） ， ． ∵函数 与 有公共切线，∴函数 与 的图象相切或无交点． 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为 （ ），则 ， （Ⅱ）等价于 在 上恒成立， 令 ， 因为 ，令 ，得 ， 极小值 所以 的最小值为 ， 令 ，因为 ， 令 ，得 ，且 极大值 所以当 时， 的最小值 ， 当 时， 的最小值为 ， 所以 ． 综上得 的取值范围为 ． 13．已知函数 ， . （1）求证： （ ）； （2）设 ，若 时， ，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1）即证 恒成立，令 求导可证；（2） ， ．又 ，因为 时， 恒成立，所以 ，所以只需考虑 。又 ，所以下证 符 合。 【详细解析】 ②当 时，